Algorithmique et raisonnement
Contenus
- Quantificateurs ∀ et ∃
- Implication, équivalence, contraposée, réciproque
- Raisonnement par l’absurde
- Raisonnement par récurrence
- Algorithmes : tris, recherche dichotomique
Capacités attendues
- Nier une proposition avec quantificateur
- Identifier et utiliser la contraposée d’une implication
- Mener un raisonnement par l’absurde ou par récurrence
- Implémenter et analyser un algorithme de tri ou de recherche
Algèbre
Contenus
- Trinôme du second degré : forme développée, canonique, factorisée
- Discriminant Δ, racines réelles
- Signe du trinôme
- Équations et inéquations du second degré
- Somme et produit des racines
Capacités attendues
- Passer d’une forme à l’autre du trinôme
- Résoudre une équation et une inéquation du second degré
- Étudier le signe d’un trinôme
- Résoudre des problèmes d’optimisation quadratique
Démonstrations
- Expression de la forme canonique
- Signe du trinôme selon le discriminant
Contenus
- Définition d’une suite : explicite, par récurrence
- Suite arithmétique : raison, somme des termes
- Suite géométrique : raison, somme des termes
- Sens de variation d’une suite
- Suites et algorithmes
Capacités attendues
- Calculer des termes d’une suite définie explicitement ou par récurrence
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
- Calculer la somme des n premiers termes
- Étudier les variations d’une suite
Démonstrations
- Formule de la somme d’une suite arithmétique
- Formule de la somme d’une suite géométrique
Analyse
Contenus
- Nombre dérivé, tangente à une courbe
- Fonction dérivée ; dérivées usuelles : constante, xⁿ, √x, 1/x
- Opérations sur les dérivées : somme, produit, quotient, composition
Capacités attendues
- Calculer la dérivée d’une fonction par les formules
- Déterminer l’équation de la tangente en un point
- Dériver une fonction composée
Démonstrations
- Dérivée de xⁿ pour n entier
- Dérivée d’un produit
Contenus
- Lien entre signe de f' et monotonie
- Extremums locaux et globaux
- Tableau de variations complet
- Optimisation
Capacités attendues
- Dresser le tableau de variations d’une fonction à partir de sa dérivée
- Déterminer les extremums d’une fonction
- Résoudre un problème d’optimisation
Démonstrations
- Lien entre signe de f' et sens de variation de f
Contenus
- Définition de exp par exp' = exp et exp(0) = 1
- Propriétés algébriques : exp(a+b), exp(-a)
- Croissance de exp devant les polynômes
- Équations et inéquations avec exp
Capacités attendues
- Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle
- Résoudre des équations et inéquations avec exp
- Modéliser une situation de croissance/décroissance exponentielle
Démonstrations
- Dérivée de exp
- exp(a+b) = exp(a)·exp(b)
Contenus
- Cercle trigonométrique, radians
- Fonctions cosinus et sinus : définitions, périodicité, parité
- Valeurs exactes pour π/6, π/4, π/3, π/2
- Équations sin x = a, cos x = a
- Formules d’addition (admises)
Capacités attendues
- Utiliser la périodicité de sin et cos
- Résoudre des équations trigonométriques
- Calculer des valeurs exactes avec les formules d’addition
Démonstrations
- Périodicité de sin et cos
Géométrie
Contenus
- Définition par projection orthogonale et par les cosinus
- Formule en coordonnées : u⃗·v⃗ = xx' + yy'
- Orthogonalité de vecteurs
- Cercle de diamètre [AB] (caractérisation par le produit scalaire)
- Équation de cercle
Capacités attendues
- Calculer un produit scalaire par les différentes formules
- Démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs ou de deux droites
- Déterminer une équation de cercle
Démonstrations
- Formule du produit scalaire en coordonnées
- Caractérisation d’un cercle par le produit scalaire
Contenus
- Vecteur directeur, vecteur normal d’une droite
- Équation cartésienne d’une droite
- Distance d’un point à une droite
- Cercle : équation (x-a)²+(y-b)²=r²
Capacités attendues
- Déterminer l’équation d’une droite selon les informations disponibles
- Calculer la distance d’un point à une droite
- Reconnaître et utiliser l’équation d’un cercle
Probabilités et statistiques
Contenus
- Probabilité conditionnelle P(B|A)
- Événements indépendants
- Formule des probabilités totales
- Arbres pondérés
Capacités attendues
- Calculer une probabilité conditionnelle
- Appliquer la formule des probabilités totales
- Utiliser un arbre pondéré pour calculer des probabilités
- Reconnaître l’indépendance de deux événements
Démonstrations
- Formule des probabilités totales
Contenus
- Variable aléatoire réelle discrète, loi de probabilité
- Espérance, variance, écart-type
- Loi binomiale B(n,p) : coefficients binomiaux, propriétés
- Espérance et variance de la loi binomiale
Capacités attendues
- Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire discrète
- Reconnaître et utiliser un schéma de Bernoulli et la loi binomiale
- Calculer des probabilités avec la loi binomiale
Démonstrations
- Espérance de la loi binomiale