Second degré – Équations, discriminant et parabole – Cours 1re

Les trois formes d’un trinôme

Définition — Trinôme du second degré Un trinôme du second degré (ou polynôme du second degré) est une expression de la forme : $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels avec $a \neq 0$.

Un trinôme peut s’écrire sous trois formes équivalentes, chacune utile selon le contexte :

Les trois formes d’un trinôme et leurs usages
Forme	Expression	Utile pour…
Développée réduite	$ax^2 + bx + c$	Calculer, additionner des polynômes
Canonique	$a(x - \alpha)^2 + \beta$	Trouver le sommet, étudier les variations
Factorisée	$a(x - x_1)(x - x_2)$	Trouver les racines, étudier le signe

Forme canonique

Propriété — Forme canonique Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s’écrire sous forme canonique : $$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = a(x - \alpha)^2 + \beta$$ où $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ est l’abscisse du sommet et $\beta = f(\alpha) = -\dfrac{\Delta}{4a}$ est l’ordonnée du sommet.

Démonstration — Passage à la forme canonique

On complète le carré : \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \end{aligned}

Exemple Mettre $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ sous forme canonique.

$\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2$
$f(2) = 8 - 16 + 5 = -3$
Donc $f(x) = 2(x-2)^2 - 3$.

Discriminant et équation du second degré

Définition — Discriminant Le discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$ est le réel : $$\Delta = b^2 - 4ac$$

Propriété — Résolution de $ax^2 + bx + c = 0$ (Démonstration au programme)

Si $\Delta > 0$ : deux racines distinctes $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \alpha$
Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle

Démonstration au programme — Résolution par forme canonique

Comme $a \neq 0$, on divise par $a$ avant de compléter le carré :

$$ax^2 + bx + c = 0 \iff x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0 \iff \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \dfrac{\Delta}{4a^2}$$

Le dénominateur $4a^2$ est strictement positif, donc le membre droit a toujours le signe de $\Delta$.

Cas 1 : Si $\Delta < 0$, le membre droit est strictement négatif, alors qu’un carré est toujours positif ou nul. Contradiction : pas de solution réelle.

Cas 2 : Si $\Delta = 0$ :

$$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = 0 \implies x = -\dfrac{b}{2a}$$

Cas 3 : Si $\Delta > 0$ :

$$x + \dfrac{b}{2a} = \pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2|a|} = \pm\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \quad (\text{au signe près}) \implies x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \square$$

Exemples

$2x^2 - 5x + 3 = 0$ : $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. $x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1$, $x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2}$.
$x^2 - 4x + 4 = 0$ : $\Delta = 16 - 16 = 0$. $x_0 = \dfrac{4}{2} = 2$ (racine double).
$x^2 + x + 1 = 0$ : $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. Pas de racine réelle.

Relations coefficients-racines (Viète)

Propriété — Formules de Viète Si $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines de $ax^2 + bx + c = 0$ ($\Delta > 0$) : $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$$

Démonstration

Si $\Delta > 0$, le trinôme se factorise : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

En développant : $a(x - x_1)(x - x_2) = a\bigl[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\bigr] = ax^2 - a(x_1+x_2)x + a\,x_1 x_2$.

Par identification avec $ax^2 + bx + c$ :

$b = -a(x_1 + x_2)$ donc $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$

$c = a\,x_1 x_2$ donc $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$ $\square$

Application Pour $2x^2 - 5x + 3 = 0$ avec $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{3}{2}$ :
$x_1 + x_2 = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = -\frac{-5}{2}$ ✓ et $x_1 \times x_2 = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ ✓

Variations et représentation graphique

La courbe représentative d’un trinôme du second degré est une parabole d’axe de symétrie $x = \alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

Propriété — Variations

Si $a > 0$ : la parabole est tournée vers le haut (sourit 😊). $f$ est décroissante sur $]-\infty, \alpha]$ puis croissante sur $[\alpha, +\infty[$. Le sommet $S(\alpha, \beta)$ est un minimum.
Si $a < 0$ : la parabole est tournée vers le bas (pleure 😢). $f$ est croissante sur $]-\infty, \alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha, +\infty[$. Le sommet est un maximum.

Justification

La forme canonique donne $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$.

Le carré $(x - \alpha)^2$ est toujours positif ou nul, et vaut 0 quand $x = \alpha$.

Si $a > 0$ : $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta \geq \beta$ avec égalité en $x = \alpha$. Donc $f$ admet un minimum en $\alpha$. Pour $x < \alpha$, $(x-\alpha)^2$ décroît, donc $f$ décroît. Pour $x > \alpha$, $(x-\alpha)^2$ croît, donc $f$ croît.

Si $a < 0$ : même raisonnement avec les inégalités inversées, ce qui donne un maximum en $\alpha$. $\square$

À explorer Déplacer les curseurs et observer l’influence du signe de $a$ sur les variations et l’influence du signe de $\Delta$ sur les racines.

📐 Activité GeoGebra — Parabole, racines et discriminant (cliquer pour ouvrir)

Déplacez les curseurs a, b, c pour observer l’effet sur la parabole, le discriminant et les racines.

Exemple complet Étudier $f(x) = -x^2 + 4x - 3$.

$a = -1 < 0$ → parabole vers le bas.
$\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \times (-1)} = -\dfrac{4}{-2} = 2$, $\beta = f(2) = -4+8-3 = 1$.
Sommet : $S(2, 1)$ — maximum.
Forme canonique : $f(x) = -(x-2)^2 + 1$.
$\Delta = 16 - 12 = 4 > 0$ → racines : $x_1 = \dfrac{-4-2}{-2} = 3$, $x_2 = \dfrac{-4+2}{-2} = 1$.

Signe d’un trinôme

Règle du signe — À retenir Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Discriminant	Signe de $f(x)$
$\Delta < 0$	$f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
$\Delta = 0$	$f(x_0) = 0$ et $f(x)$ a le signe de $a$ pour $x \neq x_0$
$\Delta > 0$	$f(x)$ a le signe opposé à $a$ entre les racines, le signe de $a$ à l’extérieur

Démonstration

Cas $\Delta < 0$ : le trinôme n’a pas de racine réelle. La forme canonique donne $f(x) = a\bigl[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\bigr]$. Comme $\Delta < 0$, on a $-\frac{\Delta}{4a^2} > 0$, donc le crochet est toujours strictement positif. Ainsi $f(x)$ a le signe de $a$ pour tout $x$.

Cas $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$ où $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Comme $(x-x_0)^2 \geq 0$ avec égalité uniquement en $x_0$, $f(x)$ a le signe de $a$ pour $x \neq x_0$.

Cas $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $x_1 < x_2$. Un tableau de signes du produit $(x-x_1)(x-x_2)$ montre que ce produit est positif à l’extérieur des racines et négatif entre les racines. En multipliant par $a$, on obtient le résultat annoncé. $\square$

Moyen mnémotechnique Quand $\Delta > 0$ : le trinôme est du signe de $a$, sauf entre les racines ou il est de signe oppose.
Autrement dit : entre les racines, le trinôme s’oppose a $a$.

Exemple — Tableau de signes Étudier le signe de $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$.

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$, $x_1 = 1$, $x_2 = \dfrac{3}{2}$, $a = 2 > 0$.

$x$	$-\infty$		$1$		$\frac{3}{2}$		$+\infty$
$f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Inéquations du second degré

Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le signe du trinôme puis on répond selon la question posée.

Exemple 1 — Résoudre $2x^2 - 5x + 3 \leq 0$

$a = 2 > 0$, $\Delta = 1 > 0$, racines $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{3}{2}$.

Tableau de signes de $2x^2 - 5x + 3$
$x$	$-\infty$		$1$		$\frac{3}{2}$		$+\infty$
Signe de $a$		$+$		$+$		$+$
Signe de $f(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

$f(x) \leq 0$ sur $\boxed{[1,\; \tfrac{3}{2}]}$.

Exemple 2 — Résoudre $x^2 - 2x + 5 > 0$

$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ et $a = 1 > 0$.
Donc $f(x) > 0$ pour tout réel $x$ (solution : $\mathbb{R}$).

Exemple 3 — Résoudre $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$

$f(x) = -x^2+4x-3$, $\Delta = 16-12 = 4$, $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $a = -1 < 0$.
$f(x) \geq 0$ entre les racines : solution $[1, 3]$.

Applications et optimisation

Choisir la bonne forme

Forme développée $ax^2+bx+c$ : calculer $f(0) = c$, additionner des polynômes
Forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ : trouver le maximum/minimum $\beta$, résoudre des problèmes d’optimisation
Forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ : résoudre une équation, étudier le signe

Problème d’optimisation Un agriculteur dispose de 120 m de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire adossé à un mur. Quelle est l’aire maximale qu’il peut obtenir ?

Soit $x$ la largeur (perpendiculaire au mur). La longueur est $120 - 2x$.
Aire : $A(x) = x(120 - 2x) = -2x^2 + 120x$ avec $0 < x < 60$.
$a = -2 < 0$ → maximum en $\alpha = -\dfrac{120}{2 \times (-2)} = 30$.
$A(30) = -2 \times 900 + 3600 = 1800$ m².
L’aire maximale est 1800 m² pour une largeur de 30 m.

À retenir — L’essentiel du chapitre

$\Delta = b^2 - 4ac$ : le discriminant détermine le nombre de racines
Forme canonique : $a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$
Le signe de $f(x)$ est celui de $a$, sauf entre les racines (si $\Delta > 0$)
Le sommet $(\alpha, \beta)$ est un minimum si $a > 0$, un maximum si $a < 0$ ; sa valeur est $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Solution du problème d’ouverture — Une arche parabolique

1. Équation de la parabole

L’arche est symétrique par rapport à $x = 0$, de hauteur 8 m en son sommet et de largeur 12 m à la base. On cherche $f(x) = ax^2 + b$ avec :

$f(0) = 8$ (sommet) donc $b = 8$
$f(6) = 0$ (bord de l’arche) donc $36a + 8 = 0$, soit $a = -\dfrac{2}{9}$

$$\boxed{f(x) = -\dfrac{2}{9}\,x^2 + 8}$$

2. Le camion peut-il passer ?

Le camion mesure 4 m de large : il occupe $-2 \leqslant x \leqslant 2$. La hauteur de l’arche au bord du camion est :

$f(2) = -\dfrac{2}{9} \times 4 + 8 = -\dfrac{8}{9} + 8 = \dfrac{64}{9} \approx 7{,}11$ m

Comme $7{,}11 > 5$, le camion de 5 m de haut passe largement. Oui, le camion peut passer sous l’arche.

Solution de l’énigme — Compléter le carré à la manière d’Al-Khwarizmi

$x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4 = 0$. Donc $(x-3)^2 = 4$, soit $x-3 = \pm 2$, d’où $x = 5$ ou $x = 1$. Géométriquement : on transforme le carré imparfait $x^2 - 6x$ en un carré parfait en ajoutant le « coin manquant » $9 = 3^2$.

Bilan — Formules essentielles

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Forme canonique	$a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$	Le signe dans $(x - \alpha)$ : l’extremum est en $+\alpha$, pas $-\alpha$
Discriminant	$\Delta = b^2 - 4ac$	Ne pas oublier le $4$ devant $ac$
Racines si $\Delta > 0$	$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	C’est $-b$, pas $b$ au numérateur
Racine double si $\Delta = 0$	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$	Il y a bien une racine (double), pas zéro racine
Somme et produit	$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$	Le signe moins pour la somme, pas pour le produit
Signe du trinôme	Même signe que $a$ à l’extérieur des racines	Entre les racines, le signe est opposé à $a$
Factorisation	$a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta \geq 0$	Ne pas oublier le coefficient $a$ devant

⚠️ Pièges et contre-exemples

Second degré : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.

Score : 0 / 6 pièges identifiés

1 Formule des racines : signe de $b$

« Si $\Delta > 0$, les racines sont $\dfrac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. »

Cette formule est-elle correcte ?

📖 Explication

Les racines sont $\dfrac{\mathbf{-}b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ — le $b$ est changé de signe.

Mémo : l’abscisse du sommet est $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$. Les racines sont $\alpha \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 Mnémotechnique : La formule du sommet $-b/2a$ rappelle qu’on prend $-b$, pas $b$.

Mini-test : pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$, quelles sont les racines ?

🔗 Travaillé dans les exercices sur le discriminant

2 Minimum de la forme canonique

« $f(x) = (x-3)^2 + 1$ a son minimum en $x = -3$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

📖 Explication

Le minimum est en $x = \mathbf{3}$, pas $-3$. L’expression $(x - 3)^2$ vaut 0 quand $x = 3$.

La forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$ : l’extremum est en $x = \alpha$ (avec le signe qu’on lit dans la parenthèse, opposé au signe affiché). La valeur de l’extremum est $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

💡 Attention au signe : $(x - \alpha)$ → extremum en $+\alpha$. $(x + \alpha)$ → extremum en $-\alpha$. La valeur extremale est toujours $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$.

Mini-test : $g(x) = (x+2)^2 - 5$ a son minimum en :

🔗 Travaillé dans les exercices sur la forme canonique

3 $\Delta < 0$ → trinôme toujours négatif

« Si $\Delta < 0$, le trinôme $ax^2+bx+c$ est toujours négatif. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

Si $\Delta < 0$, le trinôme a le signe de $a$, pas forcément le signe négatif.

Si $a > 0$ et $\Delta < 0$ : $f(x) > 0$ pour tout $x$ (toujours positif).
Si $a < 0$ et $\Delta < 0$ : $f(x) < 0$ pour tout $x$ (toujours négatif).

💡 Mémo : Pas de racines réelles → pas de changement de signe → signe constant = signe de $a$.

Mini-test : $f(x) = 2x^2 + x + 1$. $\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$. $f(x)$ est :

🔗 Travaillé dans les exercices sur le signe du trinôme

4 Signe entre les racines

« Entre les deux racines, le trinôme a le signe de $a$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

C’est l’inverse ! Entre les deux racines, le trinôme a le signe opposé à $a$. C’est à l’extérieur des racines qu’il a le signe de $a$.

Exemple : $f(x) = x^2 - 1$ ($a = 1 > 0$). Entre les racines $-1$ et $1$ : $f(0) = -1 < 0$ (signe opposé à $a$).

💡 Mémo : « entre les racines, le trinôme s’oppose à $a$ ». À l’extérieur, il a le signe de $a$.

Mini-test : $f(x) = x^2 - 4$ ($a = 1 > 0$). Le signe de $f$ sur $]-2, 2[$ est :

🔗 Travaillé dans les exercices sur les tableaux de signes

5 Diviser par $x$ pour résoudre

« Pour résoudre $x^2 = 3x$, on divise par $x$ et on obtient $x = 3$. »

Cette méthode est-elle correcte ?

📖 Explication

En divisant par $x$, on perd la solution $x = 0$ (on ne peut pas diviser par 0).

La bonne méthode : factoriser.

$x^2 = 3x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0$

Produit nul : $x = 0$ ou $x = 3$. Il y a deux solutions.

💡 Règle d’or : Ne jamais diviser par une expression qui peut valoir 0. Toujours ramener à 0 et factoriser.

Mini-test : résoudre $2x^2 = 5x$. Les solutions sont :

🔗 Voir aussi le chapitre Équations (Seconde)

Règle d’or — Ne jamais diviser par l’inconnue Diviser par $x$ (ou par toute expression contenant l’inconnue) fait perdre des solutions. Toujours ramener a zéro et factoriser : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$.

6 Discriminant et nombre de racines

« Si $a > 0$ et $\Delta < 0$, alors $f(x) > 0$ pour tout réel $x$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

C’est vrai ! Si $\Delta < 0$, le trinôme n’a pas de racine réelle : il ne change jamais de signe. Comme $a > 0$, la parabole « sourit » et reste au-dessus de l’axe des abscisses.

Exemple : $f(x) = x^2 + 1$. $\Delta = -4 < 0$ et $a = 1 > 0$, donc $f(x) > 0$ pour tout $x$.

⚠️ Le piège 3 montre que si on oublie de vérifier le signe de $a$, on peut conclure à tort que $\Delta < 0$ implique « toujours négatif ».

💡 Règle : $\Delta < 0$ → signe constant = signe de $a$. Il faut les deux conditions ($a > 0$ et $\Delta < 0$) pour conclure « toujours positif ».

Mini-test : $g(x) = -x^2 - x - 1$. $a = -1 < 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$. $g(x)$ est :

🔗 Travaillé dans les exercices sur le signe du trinôme

✏️ Exercices Ch2 🎯 S’entraîner sur WIMS 📓 Notebook Python

A voir aussi

Ch1 Algorithmique Ch3 Suites Ch4 Dérivation Ch5 Applications dérivation Équations (Seconde)

Discriminant	Signe de \(f(x)\)
\(\Delta < 0\)	\(f(x)\) a le signe de \(a\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
\(\Delta = 0\)	\(f(x_0) = 0\) et \(f(x)\) a le signe de \(a\) pour \(x \neq x_0\)
\(\Delta > 0\)	\(f(x)\) a le signe opposé à \(a\) entre les racines, le signe de \(a\) à l’extérieur

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(\frac{3}{2}\)		\(+\infty\)
Signe de \(a\)		\(+\)		\(+\)		\(+\)
Signe de \(f(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Forme canonique	\(a(x-\alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\)	Le signe dans \((x - \alpha)\) : l’extremum est en \(+\alpha\), pas \(-\alpha\)
Discriminant	\(\Delta = b^2 - 4ac\)	Ne pas oublier le \(4\) devant \(ac\)
Racines si \(\Delta > 0\)	\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)	C’est \(-b\), pas \(b\) au numérateur
Racine double si \(\Delta = 0\)	\(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\)	Il y a bien une racine (double), pas zéro racine
Somme et produit	\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(\quad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\)	Le signe moins pour la somme, pas pour le produit
Signe du trinôme	Même signe que \(a\) à l’extérieur des racines	Entre les racines, le signe est opposé à \(a\)
Factorisation	\(a(x-x_1)(x-x_2)\) si \(\Delta \geq 0\)	Ne pas oublier le coefficient \(a\) devant

Chapitre 2 — Second degré

Équations et fonctions du second degré

Une arche parabolique

Des tablettes babyloniennes à Al-Khayyam

Compléter le carré à la manière d’Al-Khwarizmi

Objectifs du chapitre

Sommaire

Les trois formes d’un trinôme

Forme canonique

Discriminant et équation du second degré

Relations coefficients-racines (Viète)

Variations et représentation graphique

Signe d’un trinôme

Inéquations du second degré

Applications et optimisation

Choisir la bonne forme

Bilan — Formules essentielles

⚠️ Pièges et contre-exemples

A voir aussi

Forme	Expression	Utile pour…
Développée réduite	\(ax^2 + bx + c\)	Calculer, additionner des polynômes
Canonique	\(a(x - \alpha)^2 + \beta\)	Trouver le sommet, étudier les variations
Factorisée	\(a(x - x_1)(x - x_2)\)	Trouver les racines, étudier le signe