Exploiter les propriétés de linéarité de l'espérance
Comprendre l'échantillonnage d'une loi discrète
Première spécialité — Chapitre 11
Variables aléatoires
Loi de probabilité, espérance, variance et écart-type
La loterie et l’espérance de gain
Un jeu de loterie coûte 2 € le ticket. On gagne 10 € avec probabilité \(\dfrac{1}{10}\), 50 € avec probabilité \(\dfrac{1}{100}\), et rien sinon. Un joueur achète 1 ticket.
En moyenne, combien gagne-t-il par ticket acheté ? Le jeu est-il « rentable » pour le joueur ? Comment calculer ce gain moyen ?
Ce « gain moyen » est ce qu’on appelle l'espérance de la variable aléatoire « gain ». C’est l’outil fondamental pour évaluer n’importe quel jeu de hasard, risque financier ou protocole médical.
En 1654, le chevalier de Méré pose un problème à Blaise Pascal (1623–1662) : comment partager les mises d’un jeu interrompu ? La correspondance qui s’ensuit entre Pascal et Pierre de Fermat donne naissance à la théorie des probabilités.
Christiaan Huygens publie en 1657 le premier traité sur le jeu de hasard, introduisant le concept d'espérance mathématique.
Jakob Bernoulli (1654–1705) étudie les expériences répétées à deux issues ; son ouvrage posthume Ars Conjectandi (1713) marque l’entrée des probabilités dans la rigueur mathématique. (Les lois de Bernoulli et binomiale sont étudiées en Terminale.)
Définition — Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire (v.a.) \(X\) est une fonction qui associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un réel.
On dit que \(X\) est discrète si elle prend un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs \(x_1, x_2, \ldots, x_n\).
Définition — Loi de probabilité
La loi de probabilité de \(X\) est le tableau qui donne, pour chaque valeur \(x_i\), la probabilité \(p_i = P(X = x_i)\).
On a nécessairement : \(\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i = 1\) et \(p_i \geq 0\) pour tout \(i\).
Exemple — Lancer d’un dé truqué
On lance un dé. \(X\) vaut 0 si on obtient un nombre pair, 1 sinon. Le dé est truqué : \(P(\text{pair}) = 0{,}6\).
\(x_i\)
0
1
\(P(X = x_i)\)
0,6
0,4
Vérification : \(0{,}6 + 0{,}4 = 1\). ✓
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Espérance d’une variable aléatoire
Définition — Espérance
L'espérance de \(X\), notée \(E(X)\), est la moyenne pondérée par les probabilités :
$$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \times p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$
L’espérance représente la valeur moyenne de \(X\) sur un grand nombre d’expériences (loi des grands nombres).
Exemple — Calcul d'une espérance
Pour le dé truqué (\(X=0\) avec \(P=0{,}6\), \(X=1\) avec \(P=0{,}4\)) :
$$E(X) = 0 \times 0{,}6 + 1 \times 0{,}4 = 0{,}4.$$
En moyenne, sur un grand nombre de lancers, \(X\) vaut environ \(0{,}4\).
Définition — Variance et écart-type
La variance de \(X\) mesure la dispersion autour de l’espérance :
$$V(X) = E\!\left[(X - E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 \times p_i$$
Formule de König-Huygens (plus pratique pour le calcul) :
$$\boxed{V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}$$
L'écart-type est \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Il est exprimé dans la même unité que \(X\).
Interprétation
Un grand écart-type signifie que les valeurs de \(X\) sont très dispersées autour de la moyenne ; un petit écart-type signifie qu’elles sont concentrées.
Exemple de calcul
\(X\) prend les valeurs 1 (prob. 0,3), 2 (prob. 0,5), 4 (prob. 0,2).
Souvent on ne s'intéresse pas directement à \(X\), mais à une variable transformée \(Y = aX + b\) (changement d'unité, prime ajoutée, remise, mise à l'échelle…). Tu dois connaître l'effet d'une transformation affine \(aX + b\) (avec \(a\) et \(b\) réels) sur les trois indicateurs \(E\), \(V\) et \(\sigma\).
Propriété 1 — Espérance (linéarité)
Pour tous réels \(a\), \(b\) et toutes variables aléatoires \(X\), \(Y\) :
$$\boxed{E(aX + b) = a\,E(X) + b} \qquad\text{et}\qquad E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$
Démonstration de \(E(aX + b) = a\,E(X) + b\)
Notons \(x_1,\dots,x_n\) les valeurs de \(X\) et \(p_1,\dots,p_n\) leurs probabilités. À chaque issue, \(Y = aX+b\) est déterminée par \(X\) : \(Y\) prend donc les valeurs \(ax_i+b\) avec les mêmes probabilités \(p_i\). Par définition de l'espérance :
$$E(aX+b) = \sum_{i=1}^n (a x_i + b)\, p_i .$$
On développe \((ax_i+b)p_i = a x_i p_i + b p_i\), puis on sépare la somme en deux et on factorise les constantes \(a\) et \(b\) :
Car \(\sum_i x_i p_i = E(X)\) (définition) et \(\sum_i p_i = 1\) (la somme de toutes les probabilités vaut 1). On conclut :
$$E(aX+b) = a\,E(X) + b. \qquad\square$$
Propriété 2 — Variance et écart-type
Pour tous réels \(a\), \(b\) :
$$\boxed{V(aX + b) = a^2\, V(X)} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)}$$
Ajouter une constante \(b\) (translation) ne change pas la dispersion : \(V\) et \(\sigma\) sont inchangés.
Multiplier par \(a\) (dilatation) multiplie la variance par \(a^2\) et l'écart-type par \(|a|\).
Démonstration de \(V(aX+b) = a^2V(X)\) et \(\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)\)
Posons \(Y = aX + b\). D'après la propriété 1, \(E(Y) = aE(X) + b\). Calculons l'écart à la moyenne :
On écrit \(\sqrt{a^2} = |a|\) (et non \(a\)) car un écart-type est toujours positif ou nul. \(\square\)
Réflexe de calcul
Pour \(Y = aX + b\) : l'espérance suit tout (\(E(Y) = aE(X)+b\)) ; pour la dispersion, seul \(a\) compte (\(V(Y) = a^2V(X)\), \(\sigma(Y) = |a|\sigma(X)\)) — la constante \(b\) n'a aucun effet sur \(V\) et \(\sigma\).
Exemple 1 — Gain à un jeu
On reprend la v.a. \(X\) de l'exemple du dé truqué : \(X=0\) avec \(P=0{,}6\), \(X=1\) avec \(P=0{,}4\), donc \(E(X) = 0\times0{,}6 + 1\times0{,}4 = 0{,}4\).
Un joueur gagne 3 € si \(X=1\) et perd 2 € si \(X=0\) : son gain est \(G = 3X - 2(1-X) = 5X - 2\) (forme affine \(a=5\), \(b=-2\)).
$$E(G) = E(5X - 2) = 5\,E(X) - 2 = 5\times 0{,}4 - 2 = 0.$$
En moyenne le joueur ne gagne ni ne perd : le jeu est équitable.
Exemple 2 — Conversion d'unités (°C → °F)
Soit \(X\) une température en degrés Celsius, avec \(E(X) = 20\) et \(\sigma(X) = 3\). On convertit en Fahrenheit : \(Y = \tfrac{9}{5}X + 32\) (\(a=\tfrac{9}{5}\), \(b=32\)).
\(\sigma(Y) = \tfrac{9}{5}\times 3 = 5{,}4\,°\text{F}\) (le \(+32\) ne change pas l'écart-type)
Exemple 3 — Remise en magasin
Le prix affiché \(X\) d'un article a pour espérance \(E(X) = 50\) € et écart-type \(\sigma(X) = 12\) €. Avec une remise de 20 %, le prix payé est \(Y = 0{,}8\,X\) (\(a=0{,}8\), \(b=0\)).
$$E(Y) = 0{,}8\times 50 = 40\ \text{€}, \qquad \sigma(Y) = 0{,}8\times 12 = 9{,}6\ \text{€}.$$
La remise réduit aussi la dispersion des prix (facteur \(0{,}8\)).
Exemple 4 — Prime fixe
Le salaire mensuel \(X\) (en €) d'un groupe d'employés a pour écart-type \(\sigma(X) = 200\). On ajoute à chacun une prime fixe de 100 € : \(Y = X + 100\) (\(a=1\), \(b=100\)).
$$E(Y) = E(X) + 100, \qquad \sigma(Y) = \sigma(X) = 200.$$
L'espérance augmente de 100 €, mais la dispersion ne change pas : tout le monde reçoit la même prime, les écarts entre salaires sont identiques.
✅ Vérifie que tu as compris
Transformation affine et combinaisons linéaires — Utiliser E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X), σ(aX+b)=|a|σ(X)
Conclusion : en moyenne, le joueur perd 0,50 € par ticket. Le jeu n’est pas rentable pour le joueur. Sur 100 tickets achetés (200 € dépensés), il peut espérer récupérer environ 150 €, soit une perte moyenne de 50 €.
C’est le principe de toute loterie : l’espérance est négative pour le joueur (et positive pour l’organisateur).
Solution de l’énigme — Le paradoxe de Saint-Pétersbourg
P(pile au rang \(n\)) = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\). Espérance = \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} 2^n \times \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} 1 = +\infty\).
L’espérance est infinie ! Pourtant, aucun joueur raisonnable ne paierait plus de quelques euros pour jouer. Ce paradoxe (Bernoulli, 1738) a conduit à la notion d'utilité en économie : le gain marginal d’un euro dépend de la richesse de la personne.