Définitions, sens de variation, suites arithmétiques et géométriques, récurrence et limites
Un capital de 1 000 euros est placé à 3 % d’intérêts annuels composés. Chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.
Al-Karaji (Xe–XIe siècle, Bagdad) pose les bases du raisonnement par récurrence. Fibonacci (1170–1250), formé à Béjaïa en Algérie, introduit les chiffres arabes en Europe et présente dans son Liber Abaci (1202) la suite qui porte son nom — via un problème de reproduction de lapins. C’est déjà une suite récurrente : chaque terme dépend des deux précédents.
Des siècles plus tard, ce même principe — l’état de demain dépend de l’état d’aujourd’hui — a permis de modéliser des épidémies. En 1763, des soldats britanniques donnent délibérément des couvertures contaminées par la variole à des Amérindiens. Une seule personne infectée au départ. Neuf jours plus tard : 900 malades sur 1 000. Les suites récurrentes expliquent pourquoi une étincelle peut tout embraser.
📖 En savoir plus — le modèle SIR et le Fort Pitt →
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La suite de Fibonacci est définie par \(u_1 = 1\), \(u_2 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\).
(Ici l’indice démarre à 1. Certains auteurs partent de \(u_0 = 0, u_1 = 1\). L’indice de départ peut varier selon les contextes.)
Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou sur un sous-ensemble de \(\mathbb{N}\)) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On note généralement une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Le réel \(u_n\) est le terme général de la suite, ou le terme de rang \(n\) (ou d'indice \(n\)).
\(u_n = 2n + 1\) : on obtient \(u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7, \ldots\)
\(v_n = n^2\) : on obtient \(v_0 = 0, v_1 = 1, v_2 = 4, v_3 = 9, \ldots\)
\(w_n = (-1)^n\) : on obtient \(w_0 = 1, w_1 = -1, w_2 = 1, w_3 = -1, \ldots\)
Une suite est définie par formule explicite lorsqu’on peut exprimer directement \(u_n\) en fonction de \(n\) :
\[u_n = f(n)\]
On peut calculer directement n’importe quel terme sans connaître les termes précédents.
\(u_n = 3n - 2\) → \(u_{100} = 3 \times 100 - 2 = 298\) (calcul direct)
\(u_n = 2^n\) → \(u_{10} = 2^{10} = 1024\)
\(u_n = \dfrac{n}{n+1}\) → \(u_{99} = \dfrac{99}{100}\)
Une suite est définie par récurrence (ou par une relation de récurrence) lorsqu’on connaît le premier terme et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent :
\[u_0 = a \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n)\]
\(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n\) : on obtient \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\)
\(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = u_n + 3\) : on obtient \(0, 3, 6, 9, 12, \ldots\)
\(u_1 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{u_n + 1}\) : suite définie par récurrence non linéaire
Le \(n\)-ième nombre triangulaire est le nombre de points dans un triangle équilatéral de côté \(n\) :
\[T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}\]
On obtient : \(T_1 = 1, T_2 = 3, T_3 = 6, T_4 = 10, T_5 = 15, \ldots\)
On peut aussi définir \(T_n\) par récurrence : \(T_1 = 1\) et \(T_{n+1} = T_n + (n+1)\).
Une même suite peut être définie de plusieurs façons. Par exemple la suite \(u_n = 3n\) peut s’écrire :
Passer d’une définition par récurrence à une formule explicite est souvent un objectif important.
Une suite \((u_n)\) est :
Méthode 1 — Signe de \(u_{n+1} - u_n\)
Méthode 2 — Rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (utilisable uniquement si \(u_n > 0\) pour tout \(n\))
Si les termes \(u_n\) peuvent être négatifs ou nuls, la méthode du rapport n’est pas valide : préférer la méthode 1 (signe de \(u_{n+1} - u_n\)).
Méthode 3 — Fonction associée
Si \(u_n = f(n)\), étudier les variations de \(f\) sur \([0, +\infty[\).
| Situation | Méthode recommandée |
|---|---|
| Suite quelconque | Méthode 1 — Signe de \(u_{n+1} - u_n\) |
| Suite à termes strictement positifs | Méthode 2 — Rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) comparé à 1 |
| \(u_n = f(n)\) avec \(f\) dérivable | Méthode 3 — Variations de \(f\) |
| Suite arithmétique | Signe de la raison \(r\) |
| Suite géométrique | Signe de \(u_0\) + comparaison de \(q\) à 1 |
Étudier le sens de variation de \(u_n = n^2 - 3n\).
\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 3(n+1) - (n^2 - 3n) = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 - n^2 + 3n = 2n - 2\)
On étudie le signe de \(2n - 2\) :
Ainsi, \((u_n)\) n’est pas monotone sur \(\mathbb{N}\) tout entier : elle décroît de \(n=0\) à \(n=1\), puis croît à partir de \(n=1\).
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant d'un entier naturel \(n \geq n_0\). Pour démontrer que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq n_0\), il suffit de :
Conclusion : si l'initialisation et l'hérédité sont vérifiées, alors \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq n_0\).
Imaginons une rangée infinie de dominos. Si on prouve (1) que le premier tombe, et (2) que chaque domino fait tomber le suivant, alors tous les dominos tombent. La récurrence formalise cette intuition.
Démontrer que pour tout \(n \geq 1\), \(\;P(n) : \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(\sum_{k=1}^{1} k = 1\) et \(\dfrac{1 \times 2}{2} = 1\). ✓
Hérédité : supposons \(P(n)\) vraie pour un certain \(n \geq 1\), c'est-à-dire \(\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}.\)
C'est \(P(n+1)\). Conclusion : par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq 1\). \(\square\)
Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout réel \(a \geq 0\), \(\;(1+a)^n \geq 1 + na\).
Initialisation (\(n=0\)) : \((1+a)^0 = 1\) et \(1 + 0 \times a = 1\). ✓
Hérédité : supposons \((1+a)^n \geq 1 + na\). Alors, comme \(1 + a \geq 0\) :
\((1+a)^{n+1} = (1+a)^n (1+a) \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a.\)
(la dernière inégalité utilise \(na^2 \geq 0\)). Donc \(P(n+1)\) est vraie. \(\square\)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\). Démontrer que \((u_n)\) est croissante.
Initialisation : \(u_0 = 1\), \(u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73\). On a \(u_1 \geq u_0\). ✓
Hérédité : supposons \(u_{n+1} \geq u_n\). Alors \(u_{n+1} + 2 \geq u_n + 2\), et comme la racine carrée est croissante sur \([0, +\infty[\), \(\sqrt{u_{n+1} + 2} \geq \sqrt{u_n + 2}\), soit \(u_{n+2} \geq u_{n+1}\). Donc \((u_n)\) est croissante. \(\square\)
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si pour tout entier \(n\) :
\[u_{n+1} = u_n + r\]
Autrement dit, chaque terme s’obtient en ajoutant une constante \(r\) au terme précédent.
Terme général : Si \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\) :
\[u_n = u_0 + nr\]
Plus généralement : \(u_n = u_p + (n-p)r\) pour tous entiers \(n, p\).
Sens de variation :
Somme des termes :
\[u_0 + u_1 + \cdots + u_n = (n+1) \times \frac{u_0 + u_n}{2}\]
Autrement dit : somme = nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.
Attention : de \(u_0\) à \(u_n\), il y a \(n+1\) termes (pas \(n\)), car on commence à l’indice 0.
Par récurrence : \(u_1 = u_0 + r\), \(u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r\), …, \(u_n = u_0 + nr\). ✓
Plus rigoureusement : \(u_n = u_0 + \underbrace{r + r + \cdots + r}_{n \text{ fois}} = u_0 + nr\). ✓
Ex 1. Suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(r = 5\) :
\(u_n = 3 + 5n\). Donc \(u_{10} = 3 + 50 = 53\).
Ex 2. Somme \(1 + 2 + 3 + \cdots + 100\) :
C’est une suite arithmétique de premier terme 1, raison 1, dernier terme 100. Il y a 100 termes (de \(u_1 = 1\) a \(u_{100} = 100\) : le nombre de termes est \(100 - 1 + 1 = 100\)).
\(S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2} = 100 \times \dfrac{1 + 100}{2} = 5050\)
Un salarié gagne 2 000 € le premier mois et reçoit une augmentation fixe de 50 € par mois.
Son salaire au mois \(n\) est : \(u_n = 2000 + 50n\) — c’est une suite arithmétique de raison 50.
Au bout de 3 ans (36 mois) : \(u_{36} = 2000 + 50 \times 36 = 3800\) €.
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si pour tout entier \(n\) :
\[u_{n+1} = q \times u_n \quad (u_n \neq 0)\]
Autrement dit, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante \(q\).
Terme général : Si \((u_n)\) est géométrique de premier terme \(u_0 \neq 0\) et de raison \(q\) :
\[u_n = u_0 \times q^n\]
Plus généralement : \(u_n = u_p \times q^{n-p}\).
Sens de variation :
| \(u_0 > 0\) | \(u_0 < 0\) | |
|---|---|---|
| \(q > 1\) | Strictement croissante | Strictement décroissante |
| \(0 < q < 1\) | Strictement décroissante | Strictement croissante |
| \(q = 1\) | Constante | |
| \(q = 0\) | \(u_n = 0\) pour \(n \geq 1\) (constante à partir du rang 1) | |
| \(q < 0\) | Alternée (ni croissante ni décroissante) | |
Somme des termes (si \(q \neq 1\)) :
\[u_0 + u_1 + \cdots + u_n = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]
En particulier : \(1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\)
Posons \(S = 1 + q + q^2 + \cdots + q^n\). Alors :
\(qS = q + q^2 + \cdots + q^n + q^{n+1}\)
\(S - qS = 1 - q^{n+1}\) donc \(S(1-q) = 1 - q^{n+1}\)
Si \(q \neq 1\) : \(S = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\). ✓
Ex 1. Suite géométrique de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(q = 3\) :
\(u_n = 2 \times 3^n\). Donc \(u_5 = 2 \times 243 = 486\).
Ex 2. Somme \(1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{10}\) :
\(S = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 2048}{-1} = 2047\)
Un capital de 1 000 € est placé à un taux annuel de 3 %.
Après \(n\) années : \(C_n = 1000 \times 1{,}03^n\) — c’est une suite géométrique de raison \(q = 1{,}03\).
Après 10 ans : \(C_{10} = 1000 \times 1{,}03^{10} \approx 1344\) €.
Une évolution à taux fixe est toujours modélisée par une suite géométrique.
Une substance radioactive perd 10 % de sa masse par an. Si la masse initiale est \(m_0\) :
\(m_n = m_0 \times 0{,}9^n\) — suite géométrique de raison \(q = 0{,}9 < 1\) → décroissante.
Une suite \((u_n)\) est arithmético-géométrique si elle vérifie une relation de la forme :
\[u_{n+1} = au_n + b \quad \text{avec } a \neq 0, a \neq 1, b \neq 0\]
Pour trouver la formule explicite de \(u_{n+1} = au_n + b\) :
Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 2u_n + 3\).
Étape 1 : \(\ell = 2\ell + 3 \Rightarrow \ell - 2\ell = 3 \Rightarrow -\ell = 3 \Rightarrow \ell = -3\)
Étape 2 : \(v_n = u_n + 3\)
Étape 3 : \(v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2(u_n + 3) = 2v_n\)
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison 2.
Étape 4 : \(v_0 = u_0 + 3 = 5\), donc \(v_n = 5 \times 2^n\)
Ainsi : \(u_n = v_n - 3 = 5 \times 2^n - 3\)
Vérification : \(u_0 = 5 \times 1 - 3 = 2\) ✓ et \(u_1 = 2 \times 2 + 3 = 7 = 5 \times 2 - 3\) ✓
Une population de bactéries double chaque heure mais 100 bactéries meurent à chaque cycle.
\(u_{n+1} = 2u_n - 100\) — suite arithmético-géométrique avec \(a = 2, b = -100\).
Point fixe : \(\ell = 2\ell - 100 \Rightarrow \ell - 2\ell = -100 \Rightarrow \ell = 100\). Donc \(u_n = 100 + (u_0 - 100) \times 2^n\).
Sur des exemples, on peut observer le comportement d’une suite quand \(n\) devient très grand :
Toute formalisation de la notion de limite est hors programme en Première.
Ces résultats sont admis en Première. Voici une justification intuitive :
Si \(|q| < 1\) : multiplier par un nombre de valeur absolue strictement inférieure à 1 fait diminuer la valeur absolue à chaque étape. Par exemple, \(0{,}5^n\) donne \(1,\ 0{,}5,\ 0{,}25,\ 0{,}125,\ldots\) qui se rapproche de 0.
Si \(q > 1\) : multiplier par un nombre strictement supérieur à 1 fait augmenter sans borne. Par exemple, \(2^n\) donne \(1, 2, 4, 8, 16,\ldots\) qui tend vers \(+\infty\).
Si \(q = 1\) : \(1^n = 1\) pour tout \(n\), évidemment.
Si \(q \leq -1\) : le signe alterne à chaque étape et la valeur absolue ne diminue pas, donc la suite ne peut pas converger.
Un algorithme de seuil permet de trouver le plus petit entier \(n\) à partir duquel les termes d’une suite vérifient une certaine condition (dépasser un seuil, rester en dessous d’un seuil, etc.).
Cas 1 : trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n > S\) (dépasser un seuil) :
Cas 2 : trouver le plus petit \(n\) tel que \(u_n < S\) (passer sous un seuil) :
La condition du « Tant que » est toujours l’opposée de ce qu’on cherche.
A partir de quel rang \(n\) a-t-on \(0{,}9^n < 0{,}01\) ?
On teste \(n = 0, 1, 2, \ldots\) pas a pas. Le tableau ci-dessous montre quelques étapes clés :
| \(n\) | \(0{,}9^n\) | Condition \(< 0{,}01\) |
|---|---|---|
| 40 | 0,01478 | Non |
| 43 | 0,01075 | Non |
| 44 | 0,00967 | Oui ✓ |
Le plus petit rang est \(n = 44\). On vérifie aussi par le calcul : \(0{,}9^{44} \approx 0{,}0097 < 0{,}01\).
On modélise le capital par une suite géométrique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 1000\) et de raison \(q = 1{,}03\) :
$$u_n = 1000 \times 1{,}03^n$$
1. Capital après 10 ans
\(u_{10} = 1000 \times 1{,}03^{10} \approx 1000 \times 1{,}3439 \approx \mathbf{1\,343{,}92}\) euros.
2. Doublement du capital
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n \geqslant 2000\), c’est-à-dire \(1{,}03^n \geqslant 2\).
Par calculs successifs : \(1{,}03^{23} \approx 1{,}974 < 2\) et \(1{,}03^{24} \approx 2{,}033 \geqslant 2\).
Il faut attendre 24 ans pour que le capital ait doublé.
3. Modélisation
C’est une suite géométrique de raison \(q = 1{,}03 > 1\) : chaque année, le capital est multiplié par 1,03. La relation de récurrence est \(u_{n+1} = 1{,}03 \times u_n\). La suite est strictement croissante et tend vers \(+\infty\).
Termes : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. Rapports : 1, 2, 1.5, 1.667, 1.6, 1.625, 1.615, 1.619… Ils convergent vers le nombre d’or \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618\). Si le rapport converge vers \(L\), alors \(L = 1 + \frac{1}{L}\), soit \(L^2 = L + 1\), équation dont la solution positive est précisément \(\varphi\).
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.