Cercle trigonométrique, cosinus, sinus, valeurs remarquables et équations
Une balançoire oscille. À l’instant \(t\) (en secondes), la hauteur du siège par rapport au sol (en mètres) est donnée par \(h(t) = 1{,}2 - 0{,}8\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)\).
Ce modèle en cosinus décrit tout phénomène périodique : marée, courant alternatif, signal sonore, mouvement d’un pendule…
Hipparque de Nicée (IIe siècle av. J.-C.) est considéré comme le père de la trigonométrie. Pour calculer les positions des planètes, il construit la première table des cordes (ancêtre du sinus) d’un cercle.
Al-Battani (850–929, Syrie) introduit le sinus tel qu’on le connaît aujourd’hui — remplaçant les cordes d’Hipparque — et établit les premières formules reliant sinus et cosinus.
Euler (1748) unifie tout dans sa notation moderne \(\sin x\), \(\cos x\) et établit la célèbre formule \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) qui relie l’exponentielle et la trigonométrie — une des équations les plus belles des mathématiques.
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Un point \(M\) se déplace sur un cercle de centre \(O\) et de rayon 1. On note \(x\) l’angle (en radians) entre \(\overrightarrow{OA}\) (où \(A = (1,0)\)) et \(\overrightarrow{OM}\), mesuré dans le sens direct.
Cercle trigonométrique : les angles usuels en radians
Méthode. Les valeurs remarquables s’obtiennent par des constructions géométriques élémentaires dans le cercle trigonométrique.
\(x = \dfrac{\pi}{4}\) (45°). Le point \(M\) du cercle trigonométrique associé à \(\pi/4\) est sur la bissectrice du premier quadrant. Ses coordonnées \((\cos\tfrac{\pi}{4}, \sin\tfrac{\pi}{4})\) vérifient \(\cos = \sin\) (bissectrice) et \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) (cercle unité). D’où \(2\cos^2\tfrac{\pi}{4} = 1\), soit :
\(\cos\tfrac{\pi}{4} = \sin\tfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.\)
\(x = \dfrac{\pi}{3}\) (60°). On considère un triangle équilatéral de côté 1 inscrit dans le cercle unité. En projetant un sommet sur l’axe des abscisses, on obtient un triangle rectangle de côtés \(1, \cos\tfrac{\pi}{3}, \sin\tfrac{\pi}{3}\). Par la symétrie du triangle équilatéral, le sommet projeté coupe le côté au milieu : \(\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2}\). Par Pythagore : \(\sin^2\tfrac{\pi}{3} = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\), donc :
\(\cos\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, \qquad \sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\)
\(x = \dfrac{\pi}{6}\) (30°). Puisque \(\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\), les formules \(\cos(\tfrac{\pi}{2} - a) = \sin a\) et \(\sin(\tfrac{\pi}{2} - a) = \cos a\) (angles complémentaires) donnent :
\(\cos\tfrac{\pi}{6} = \sin\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\tfrac{\pi}{6} = \cos\tfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}.\)
Valeurs particulières \(0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}, 2\pi\). Elles se lisent directement sur le cercle trigonométrique en identifiant le point correspondant :
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| Transformation | \(\cos\) | \(\sin\) |
|---|---|---|
| Opposé : \(-x\) | \(\cos(-x) = \cos x\) | \(\sin(-x) = -\sin x\) |
| Supplément : \(\pi - x\) | \(\cos(\pi-x) = -\cos x\) | \(\sin(\pi-x) = \sin x\) |
| Antipodal : \(\pi + x\) | \(\cos(\pi+x) = -\cos x\) | \(\sin(\pi+x) = -\sin x\) |
| Complémentaire : \(\frac{\pi}{2}-x\) | \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x\) | \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x\) |
| Tour complet : \(x + 2\pi\) | \(\cos(x+2\pi) = \cos x\) | \(\sin(x+2\pi) = \sin x\) |
Sur le cercle trigonométrique, le point associé à \(-x\) est le symétrique du point associé à \(x\) par rapport à l’axe des abscisses. Il a donc la même abscisse et l’ordonnée opposée :
\(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\).
Formule du supplément : le point associé à \(\pi - x\) est le symétrique du point associé à \(x\) par rapport à l’axe des ordonnées. Donc \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi - x) = \sin x\).
Formule de l’antipodal : \(\pi + x\) correspond au point diamétralement opposé, donc \(\cos(\pi+x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi+x) = -\sin x\). \(\square\)
Ce sont des conséquences directes des formules des angles associés (section 4) :
\(\cos(-x) = \cos x\) signifie exactement que cosinus est paire.
\(\sin(-x) = -\sin x\) signifie exactement que sinus est impaire. \(\square\)
Sur le cercle trigonométrique, ajouter \(2\pi\) à l’angle revient à faire un tour complet : on retombe sur le même point \(M\). Les coordonnées de \(M\) (c’est-à-dire \(\cos x\) et \(\sin x\)) sont donc inchangées. \(\square\)
Courbes de \(\cos x\) (bleu) et \(\sin x\) (vert) sur \([0\,;\,2\pi]\)
La démonstration rigoureuse de \((\sin x)' = \cos x\) repose sur la limite \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\) (admise en Première).
Idée : \(\dfrac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \sin x \cdot \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \dfrac{\sin h}{h}\).
Quand \(h \to 0\) : \(\frac{\cos h - 1}{h} \to 0\) et \(\frac{\sin h}{h} \to 1\), d’où \((\sin x)' = \cos x\).
Pour cosinus : \(\cos x = \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\), donc \((\cos x)' = -\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = -\sin x\). \(\square\)
Le programme de Première demande de résoudre \(\cos x = a\) et \(\sin x = a\) sur un intervalle donné (ex. \([0\,;\,2\pi]\) ou \([-\pi\,;\,\pi]\)). La résolution dans \(\mathbb{R}\) avec \(+ 2k\pi\) est l’approche générale, formalisée en Terminale. On la présente ici pour préparer la suite.
Soit \(a \in [-1\,;\,1]\) et \(x_0\) tel que \(\cos x_0 = a\) (ou \(\sin x_0 = a\)) avec \(x_0 \in [0\,;\,\pi]\) (resp. \([-\frac{\pi}{2}\,;\,\frac{\pi}{2}]\)).Pour \(\cos x = a\) : sur le cercle trigonométrique, la droite verticale \(X = a\) (avec \(|a| \leq 1\)) coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses. L’un correspond à l’angle \(x_0\), l’autre à \(-x_0\). Par périodicité (\(2\pi\)), on ajoute \(2k\pi\).
Pour \(\sin x = a\) : la droite horizontale \(Y = a\) coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. L’un correspond à l’angle \(x_0\), l’autre à \(\pi - x_0\) (supplément). Par périodicité, on ajoute \(2k\pi\). \(\square\)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\), on considère deux vecteurs unitaires :
\(\vec{u}(\cos a\,;\,\sin a)\) et \(\vec{v}(\cos b\,;\,\sin b)\).
Produit scalaire (coordonnées) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).
Produit scalaire (angle) : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) = \cos(a - b)\) (l'angle entre les deux vecteurs unitaires est \(a-b\)).
D'où \(\boxed{\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b}\). Les autres formules s'en déduisent en remplaçant \(b\) par \(-b\) (parité de cos, imparité de sin) et en utilisant \(\sin(x) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\). ∎
On écrit \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}\). Alors :
\(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} - \dfrac{\sqrt 3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} = \dfrac{\sqrt 2 - \sqrt 6}{4}\)
On utilise \(1 - 2\sin^2 x = \cos(2x)\) avec \(2x = \dfrac{\pi}{6}\), donc \(x = \dfrac{\pi}{12}\) :
\(\sin^2\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1 - \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{2} = \dfrac{1 - \frac{\sqrt 3}{2}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt 3}{4}\)
Donc \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt 3}}{2}\) (racine positive car \(\dfrac{\pi}{12} > 0\)).
On a \(h(t) = 1{,}2 - 0{,}8\cos\!\left(\dfrac{\pi t}{2}\right)\).
Hauteur à \(t = 0\) : \(h(0) = 1{,}2 - 0{,}8\cos(0) = 1{,}2 - 0{,}8 \times 1 = \mathbf{0{,}4}\) m.
Hauteur à \(t = 2\) : \(h(2) = 1{,}2 - 0{,}8\cos(\pi) = 1{,}2 - 0{,}8 \times (-1) = 1{,}2 + 0{,}8 = \mathbf{2{,}0}\) m.
Période : la fonction \(\cos\) a une période de \(2\pi\). On résout \(\dfrac{\pi T}{2} = 2\pi\), soit \(T = \mathbf{4}\) secondes. La balançoire effectue un cycle complet toutes les 4 secondes.
Hauteur minimale : quand \(\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right) = 1\) (maximum du cosinus), \(h\) est minimale : \(h_{\min} = 1{,}2 - 0{,}8 = \mathbf{0{,}4}\) m.
Hauteur maximale : quand \(\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right) = -1\) (minimum du cosinus), \(h\) est maximale : \(h_{\max} = 1{,}2 + 0{,}8 = \mathbf{2{,}0}\) m.
L’amplitude d’oscillation est \(\frac{h_{\max} - h_{\min}}{2} = 0{,}8\) m et la hauteur moyenne est \(\frac{h_{\max} + h_{\min}}{2} = 1{,}2\) m, ce qui correspond aux paramètres de la fonction \(h(t) = \underbrace{1{,}2}_{\text{moyenne}} - \underbrace{0{,}8}_{\text{amplitude}}\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)\).
Les coordonnées de \(M\) sont \((\cos x, \sin x)\) donc \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). L’angle correspondant est \(x = \dfrac{\pi}{4}\) (soit 45°).
\(\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\). Cette relation est toujours vraie : c’est le théorème de Pythagore appliqué au cercle unité.
Certains exercices WIMS ci-dessous utilisent la dérivée de \(\cos(ax+b)\) et \(\sin(ax+b)\). Ces formules ne sont pas explicitement au programme de Première mais en découlent directement :
C’est la règle de dérivation de \(u \mapsto \cos(u)\) et \(\sin(u)\) avec \(u(x) = ax+b\), \(u'(x) = a\).