Géométrie repérée

Vecteurs dans un repère

Définition — Coordonnées d’un vecteur Dans un repère $(O\,;\,\vec{i},\vec{j})$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ a pour coordonnées : $$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$$

Propriété — Opérations sur les vecteurs Si $\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ : $$\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix}a+c\\b+d\end{pmatrix} \qquad k\vec{u} = \begin{pmatrix}ka\\kb\end{pmatrix} \qquad \|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Justification de la norme

Le vecteur $\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ a pour représentant le segment de l’origine $O(0,0)$ au point $M(a,b)$.

Par le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $OHM$ (où $H(a,0)$ est le projeté de $M$ sur l’axe des abscisses) : $\|\vec{u}\|^2 = a^2 + b^2$, d’où $\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$. $\square$

Propriété — Colinéarité Deux vecteurs $\vec{u} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ sont colinéaires si et seulement si : $$ad - bc = 0$$ Ce produit $ad - bc$ s’appelle le déterminant de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Démonstration

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$, c’est-à-dire $c = ka$ et $d = kb$.

Alors $ad - bc = a(kb) - b(ka) = kab - kab = 0$.

Réciproquement, si $ad - bc = 0$ et $a \neq 0$ : posons $k = c/a$, alors $d = bc/a = kb$, donc $\vec{v} = k\vec{u}$. Si $a = 0$ et $b \neq 0$ : alors $bc = 0$ donc $c = 0$, et on a $\vec{u} = \begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix}0\\d\end{pmatrix}$ qui sont bien colinéaires. $\square$

Exemple $A(1,-2)$, $B(4,1)$, $C(-2,-5)$.

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-3\\-3\end{pmatrix}$.
Déterminant : $3 \times (-3) - 3 \times (-3) = -9 + 9 = 0$. Donc $A$, $B$, $C$ sont alignés.

Distance et milieu

Propriété — Milieu d’un segment Le milieu $I$ du segment $[AB]$ avec $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ a pour coordonnées : $$I = \left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\frac{y_A + y_B}{2}\right)$$

Démonstration

$I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.

En coordonnées : $\begin{pmatrix}x_I - x_A \\ y_I - y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_B - x_I \\ y_B - y_I\end{pmatrix}$, soit $2x_I = x_A + x_B$ et $2y_I = y_A + y_B$. $\square$

Propriété — Distance entre deux points $$AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Démonstration — Formule de distance

On applique le théorème de Pythagore au triangle rectangle de côtés $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$ et d’hypoténuse $AB$.
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$, d’où $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. $\square$

Exemple $A(1, 3)$ et $B(5, 6)$.

Milieu : $I = \left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{3+6}{2}\right) = \left(3\,;\,\dfrac{9}{2}\right)$.
Distance : $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Équations de droites

Définition — Équation cartésienne de droite Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme : $$ax + by + c = 0 \quad (a, b) \neq (0, 0)$$ — Si $b \neq 0$ : on peut écrire $y = mx + p$ (forme réduite) avec $m = -\dfrac{a}{b}$ (pente) et $p = -\dfrac{c}{b}$ (ordonnée à l’origine).
— Si $b = 0$ : la droite est verticale, d’équation $x = k$.

Propriété — Équation d’une droite passant par deux points La droite passant par $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ (avec $x_A \neq x_B$) a pour pente : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ et pour équation : $y - y_A = m(x - x_A)$.

Justification

La pente $m$ mesure l’accroissement de $y$ par unité d’accroissement de $x$. Entre $A$ et $B$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

Un point $M(x,y)$ est sur la droite $(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si le taux de variation entre $A$ et $M$ est le même : $\frac{y - y_A}{x - x_A} = m$, soit $y - y_A = m(x - x_A)$. $\square$

Exemple Droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 8)$.

$m = \dfrac{8-2}{3-1} = \dfrac{6}{2} = 3$.
Équation : $y - 2 = 3(x - 1)$, soit $y = 3x - 1$, soit encore $3x - y - 1 = 0$.

Propriété — Droites parallèles et perpendiculaires Deux droites de pentes $m_1$ et $m_2$ sont :

Parallèles (ou confondues) si et seulement si $m_1 = m_2$
Perpendiculaires si et seulement si $m_1 \times m_2 = -1$

Démonstration de la perpendicularité

Soient $\vec{u}_1 = \begin{pmatrix}1\\m_1\end{pmatrix}$ et $\vec{u}_2 = \begin{pmatrix}1\\m_2\end{pmatrix}$ des vecteurs directeurs des deux droites.

Les droites sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0$ (produit scalaire nul, chapitre 7).

En coordonnées dans un repère orthonormé : $\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \times 1 + m_1 \times m_2 = 1 + m_1 m_2$.

Donc les droites sont perpendiculaires si et seulement si $1 + m_1 m_2 = 0$, soit $m_1 \times m_2 = -1$. $\square$

Vecteur directeur et vecteur normal

Définition — Vecteur directeur Un vecteur directeur de la droite $ax + by + c = 0$ est tout vecteur non nul colinéaire à la droite.
On peut prendre $\vec{u} = \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ (ou tout multiple non nul).

Définition — Vecteur normal Un vecteur normal à la droite $ax + by + c = 0$ est tout vecteur non nul perpendiculaire à la droite.
On peut prendre $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ (les coefficients de $x$ et $y$).

Lien vecteur normal ↔ équation Si on connaît un vecteur normal $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ et un point $A(x_0, y_0)$ de la droite, alors l’équation est : $$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$$

Exemple Droite $d : 2x - 3y + 7 = 0$.

Vecteur directeur : $\vec{u} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Vecteur normal : $\vec{n} = \begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Pente : $m = -\dfrac{2}{-3} = \dfrac{2}{3}$.

Distance d’un point à une droite

Propriété — Formule de la distance La distance du point $A(x_0, y_0)$ à la droite $d : ax + by + c = 0$ est : $$d(A, d) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Démonstration (par le produit scalaire — chapitre 7)

Données. Soient la droite $\mathcal{D} : ax + by + c = 0$, le point $A(x_0, y_0)$, et $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ un vecteur normal à $\mathcal{D}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$ (point de $\mathcal{D}$ le plus proche de $A$). Par définition, $d(A, \mathcal{D}) = AH$.

Étape 1 — Vecteurs en jeu. Choisissons un point $M(x_1, y_1)$ quelconque sur $\mathcal{D}$. On a alors $ax_1 + by_1 + c = 0$ ($\star$). On décompose le vecteur $\overrightarrow{MA}$ en passant par $H$ : $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HA}.$$

Étape 2 — Orthogonalité. Les points $M$ et $H$ appartiennent tous les deux à $\mathcal{D}$, donc $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à un vecteur directeur de la droite. Par définition d'un vecteur normal, $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{D}$, donc : $$\overrightarrow{MH} \cdot \vec{n} = 0.$$

Étape 3 — Produit scalaire avec $\vec{n}$. En multipliant scalairement la décomposition de l'étape 1 par $\vec{n}$ : $$\overrightarrow{MA} \cdot \vec{n} = \underbrace{\overrightarrow{MH} \cdot \vec{n}}_{= 0} + \overrightarrow{HA} \cdot \vec{n} = \overrightarrow{HA} \cdot \vec{n}.$$ Or $\overrightarrow{HA}$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$ au point $H$, donc colinéaire à $\vec{n}$. Les deux vecteurs ayant la même direction, leur produit scalaire vaut, au signe près, le produit de leurs normes : $$|\overrightarrow{HA} \cdot \vec{n}| = \|\overrightarrow{HA}\| \cdot \|\vec{n}\| = AH \cdot \|\vec{n}\|.$$ On en déduit : $$AH = \frac{|\overrightarrow{MA} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}.$$

Étape 4 — Calcul en coordonnées. Avec $\overrightarrow{MA} = \begin{pmatrix} x_0 - x_1 \\ y_0 - y_1 \end{pmatrix}$ et $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ (en repère orthonormé, la formule du produit scalaire en coordonnées s'applique) : $$\overrightarrow{MA} \cdot \vec{n} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) = (ax_0 + by_0) - (ax_1 + by_1).$$ En utilisant ($\star$) : $ax_1 + by_1 = -c$. D'où : $$\overrightarrow{MA} \cdot \vec{n} = ax_0 + by_0 + c.$$ Par ailleurs $\|\vec{n}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Conclusion. En remplaçant dans $AH = \dfrac{|\overrightarrow{MA} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$ : $$\boxed{d(A, \mathcal{D}) \;=\; AH \;=\; \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.}$$ $\square$

Remarque : le résultat ne dépend pas du choix du point $M$ sur la droite, puisqu'on a utilisé la relation $ax_1 + by_1 = -c$ qui caractérise tous les points de $\mathcal{D}$.

Exemple Distance du point $A(2, -1)$ à la droite $d : 3x - 4y + 1 = 0$.

$d(A, d) = \dfrac{|3(2) - 4(-1) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|6 + 4 + 1|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{11}{\sqrt{25}} = \dfrac{11}{5} = 2{,}2$.

Application : position d’un point par rapport à une droite Si $ax_0 + by_0 + c > 0$, le point $A$ est dans le demi-plan correspondant à $ax + by + c > 0$.
Si $ax_0 + by_0 + c = 0$, le point est sur la droite.

Cercles dans le plan

Définition — Équation d’un cercle Le cercle de centre $\Omega(a, b)$ et de rayon $r > 0$ est l’ensemble des points $M(x, y)$ tels que $\Omega M = r$. Son équation est : $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Forme développée En développant, on obtient : $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$.
Réciproquement, toute équation de la forme $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ représente un cercle (si $d^2 + e^2 - 4f > 0$), un point, ou est sans solution.

Exemple 1 — Identifier centre et rayon $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 25$. Centre $\Omega = (3, -1)$, rayon $r = 5$.

Exemple 2 — Écrire l’équation Cercle de centre $\Omega(2, -3)$ passant par $A(5, 1)$.

$r = \Omega A = \sqrt{(5-2)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
Équation : $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.

Propriété — Intersection droite-cercle Pour trouver les points d’intersection d’une droite $d$ et d’un cercle $\mathcal{C}$, on substitue l’expression de $y$ (tirée de l’équation de la droite) dans l’équation du cercle, ce qui donne une équation du second degré en $x$.

$\Delta > 0$ : 2 points d’intersection (la droite est sécante)
$\Delta = 0$ : 1 point (la droite est tangente)
$\Delta < 0$ : aucun point (la droite est extérieure au cercle)

Justification

Les points d’intersection vérifient simultanément l’équation de la droite et celle du cercle. En substituant, on obtient une équation du second degré en $x$.

Le nombre de solutions réelles de cette équation (0, 1 ou 2) dépend du signe du discriminant $\Delta$, d’après le cours sur le second degré (chapitre 2). On retrouve ainsi la classification sécante / tangente / extérieure. $\square$

✏️ Exercices Ch9 → 🎯 S’entraîner sur Wims → 🎲 Ch10 Probabilités →

À voir aussi

Ch8 Trigonométrie Ch7 Produit scalaire Ch10 Probabilités conditionnelles

Solution du problème d’ouverture — Le GPS et les distances dans le plan

Formule de distance : la distance entre un point $M(x_0, y_0)$ et le centre $C(3, -2)$ est donnée par :

$$d(M, C) = \sqrt{(x_0 - 3)^2 + (y_0 + 2)^2}$$

Condition « être dans un rayon de 5 km » : on écrit $d(M, C) \leqslant 5$, soit :

$$\sqrt{(x_0 - 3)^2 + (y_0 + 2)^2} \leqslant 5$$

En élevant au carré (les deux membres sont positifs) :

$$(x_0 - 3)^2 + (y_0 + 2)^2 \leqslant 25$$

Figure géométrique : l’ensemble des points $M(x_0, y_0)$ vérifiant $(x_0 - 3)^2 + (y_0 + 2)^2 = 25$ est un cercle de centre $C(3, -2)$ et de rayon 5. La condition avec $\leqslant$ décrit le disque (intérieur + bord du cercle).

C’est exactement l’équation d’un cercle $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ avec $a = 3$, $b = -2$, $r = 5$.

Solution de l’énigme — Le point le plus proche

Le point le plus proche de $A$ sur $d$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $A$ sur $d$. La droite perpendiculaire à $3x - 4y + 5 = 0$ passant par $A(1,3)$ a pour équation $4x + 3y = 4\cdot1 + 3\cdot3 = 13$. En résolvant le système $\begin{cases}3x-4y+5=0\\4x+3y=13\end{cases}$, on trouve le pied $H = \left(\dfrac{37}{25}\,,\,\dfrac{59}{25}\right)$. La distance vaut alors $AH = \dfrac{|3(1)-4(3)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{|-4|}{5} = \dfrac{4}{5}$.

Bilan — Formules essentielles

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Coordonnées d’un vecteur	$\vec{AB} = (x_B - x_A\,;\, y_B - y_A)$	Attention à l’ordre B − A
Distance	$AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$	Ne pas oublier la racine
Milieu	$I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)$
Colinéarité	$\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0$ (avec $\vec{u}=(a,b)$, $\vec{v}=(c,d)$)	Le déterminant est nul pour des vecteurs colinéaires
Équation de droite	$ax + by + c = 0$	$\vec{n} = (a,b)$ est normal, $\vec{d} = (-b,a)$ est directeur
Coefficient directeur	$y = mx + p$, $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$	Droites verticales : pas de coefficient directeur
Distance point-droite	$d(M, \mathcal{D}) = \frac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Cercle	Centre $\Omega(a,b)$, rayon $r$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Pièges et contre-exemples

Géométrie repérée : teste d’abord ton intuition.

Score : 0 / 6 pièges identifiés

1 Même vecteur directeur = confondues ?

« Deux droites de même vecteur directeur sont confondues. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Faux. Deux droites de même vecteur directeur sont parallèles, mais pas forcément confondues. Elles peuvent être strictement parallèles (sans point commun).

Même direction ⇒ parallèles. Confondues seulement si elles ont aussi un point commun.

Mini-test : $y = 2x + 1$ et $y = 2x + 3$ ont le même vecteur directeur. Sont-elles confondues ?

2 Même norme = vecteurs égaux ?

« Deux vecteurs de même norme sont égaux. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Faux. Deux vecteurs peuvent avoir la même longueur mais des directions ou des sens différents. Pour être égaux, ils doivent avoir même direction, même sens et même norme.

Égalité de vecteurs = même direction + même sens + même norme.

Mini-test : $\vec{u} = (1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1)$ ont la même norme. Sont-ils égaux ?

3 Équation du cercle : $r$ ou $r^2$ ?

« L’équation d’un cercle de centre $(a,b)$ et rayon $r$ est $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Faux. L’équation est $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, avec $r$ au carré. Erreur très fréquente !

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. Ne pas oublier le carré sur le rayon.

Mini-test : cercle de centre $(0,0)$ et rayon 5. Son équation est :

4 Produit scalaire et orthogonalité

« Si $\vec{AB} \perp \vec{CD}$ alors $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Faux. Si deux vecteurs sont orthogonaux, leur produit scalaire vaut 0, pas 1.

Orthogonalité ⇔ produit scalaire = 0. Retenir : perpendiculaire = produit nul.

Mini-test : $\vec{u} = (1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1)$ sont perpendiculaires. $\vec{u} \cdot \vec{v} = $ ?

5 Milieu d’un segment

« Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $(x_B - x_A, y_B - y_A)$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Faux. Ce sont les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$, pas du milieu. Le milieu a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Milieu = moyenne des coordonnées : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Mini-test : milieu de $A(2, 4)$ et $B(6, 8)$ :

6 Formule de la distance

« La distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

C’est vrai ! C’est une application directe du théorème de Pythagore dans un repère orthonormé.

Distance = $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$. C’est Pythagore dans le plan repéré.

Mini-test : distance entre $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$ :

Chapitre 9 — Géométrie repérée

Le GPS et les distances dans le plan

Descartes et la révolution des coordonnées

Le point le plus proche

Objectifs du chapitre

Sommaire

Vecteurs dans un repère

Distance et milieu

Équations de droites

Vecteur directeur et vecteur normal

Distance d’un point à une droite

Cercles dans le plan

À voir aussi

Bilan — Formules essentielles

Pièges et contre-exemples

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Coordonnées d’un vecteur	\(\vec{AB} = (x_B - x_A\,;\, y_B - y_A)\)	Attention à l’ordre B − A
Distance	\(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\)	Ne pas oublier la racine
Milieu	\(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right)\)
Colinéarité	\(\det(\vec{u},\vec{v}) = ad - bc = 0\) (avec \(\vec{u}=(a,b)\), \(\vec{v}=(c,d)\))	Le déterminant est nul pour des vecteurs colinéaires
Équation de droite	\(ax + by + c = 0\)	\(\vec{n} = (a,b)\) est normal, \(\vec{d} = (-b,a)\) est directeur
Coefficient directeur	\(y = mx + p\), \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)	Droites verticales : pas de coefficient directeur
Distance point-droite	\(d(M, \mathcal{D}) = \frac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Cercle	Centre \(\Omega(a,b)\), rayon \(r\) : \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)