Utiliser le signe de \(f'\) pour étudier les variations de \(f\)
Déterminer les extremums (locaux et globaux)
Dresser un tableau de variation complet
Résoudre un problème concret d'optimisation
Première spécialité — Chapitre 5
Applications de la dérivation
Variations, extremums, optimisation — et convexité (pour aller plus loin)
Le bénéfice optimal d’un apiculteur
Un producteur de miel vend \(q\) kg au prix \(p(q) = 20 - 0{,}1q\) euros par kilo. Son coût de production est \(C(q) = 2q + 50\) euros. Le bénéfice est \(B(q) = q \cdot p(q) - C(q)\).
Développer \(B(q)\), calculer \(B'(q)\) et trouver la valeur \(q^*\) qui maximise le bénéfice. Quel est le bénéfice maximal ?
Archimède (IIIe siècle av. J.-C.) utilise la méthode d’exhaustion pour trouver les tangentes aux spirales et les extremums d’aires — une anticipation remarquable du calcul différentiel, sans en avoir la formalisation. Ibn al-Haytham (Xe–XIe siècle), connu en Europe sous le nom d’Alhazen, résout le célèbre « problème d’Alhazen » : trouver le point d’un miroir sphérique d’où la lumière réfléchie atteint un observateur donné. C’est un problème d’optimisation géométrique de premier plan.
Sharaf al-Dīn al-Tūsī (XIIe siècle) utilise un procédé équivalent à l’annulation de la dérivée pour trouver les maxima de cubiques — le premier calcul d’optimisation documenté par un calcul algébrique.
Parmi tous les cylindres de volume fixé \(V = \pi r^2 h\), trouver celui qui a la surface totale minimale.
Exprimer la hauteur \(h\) en fonction de \(r\) et \(V\), puis la surface \(S(r)\) en fonction de \(r\) seulement. Dériver et annuler \(S'(r)\) pour trouver le rapport \(h/r\) optimal.
Théorème fondamental — Lien dérivée / variations
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).
\(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
\(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\) \(\Rightarrow\) \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
\(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\) \(\Rightarrow\) \(f\) est constante sur \(I\)
Démonstration (admise en Première). Le sens « \(f'>0\) sur \(I\) ⟹ \(f\) strictement croissante sur \(I\) » est admis au programme de Première Spécialité. Une démonstration rigoureuse s’appuie sur le théorème des accroissements finis, vu en Terminale.
Méthode — Dresser un tableau de variations
Exemple complet
Étudier les variations de \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4\) sur \(\mathbb{R}\).
Définitions — Extremums
Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(a \in I\).
\(f\) admet un maximum local en \(a\) si \(f(x) \leq f(a)\) pour tout \(x\) dans un voisinage de \(a\)
\(f\) admet un minimum local en \(a\) si \(f(x) \geq f(a)\) pour tout \(x\) dans un voisinage de \(a\)
Le maximum global (resp. minimum global) est la plus grande (resp. petite) valeur atteinte sur \(I\)
Propriété — Condition nécessaire
Si \(f\) est dérivable en \(a\) et admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a) = 0\). Attention : la réciproque est fausse ! \(f'(a) = 0\) n’implique pas forcément un extremum.
Démonstration — Condition nécessaire d’extremum
Supposons que \(f\) admette un maximum local en \(a\) et soit dérivable en \(a\).
Pour \(h > 0\) suffisamment petit : \(f(a+h) \leq f(a)\), donc \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0\).
En passant à la limite : \(f'(a) = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0\).
Pour \(h < 0\) suffisamment petit : \(f(a+h) \leq f(a)\), donc \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0\).
En passant à la limite : \(f'(a) = \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \geq 0\).
On a donc \(f'(a) \leq 0\) et \(f'(a) \geq 0\), d’où \(f'(a) = 0\). \(\square\)
Propriété — Condition suffisante (changement de signe de f')
Si \(f'(a) = 0\) et \(f'\) change de signe en \(a\) :
\(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(a\) → \(f\) admet un maximum local en \(a\)
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(a\) → \(f\) admet un minimum local en \(a\)
\(f'\) ne change pas de signe en \(a\) → pas d’extremum en \(a\) (ex : \(f(x) = x^3\) en \(0\))
Justification
Supposons que \(f'(a) = 0\) et que \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(a\).
Alors \(f' > 0\) à gauche de \(a\) : d’après le théorème fondamental (section 1), \(f\) est croissante avant \(a\).
Et \(f' < 0\) à droite de \(a\) : \(f\) est décroissante après \(a\).
Donc \(f\) croît puis décroît autour de \(a\) : la valeur \(f(a)\) est bien un maximum local.
Le raisonnement est symétrique pour un minimum local (\(f'\) passe de \(-\) à \(+\)). \(\square\)
Contre-exemple — f'(a) = 0 sans extremum
Pour \(f(x) = x^3\), \(f'(x) = 3x^2\) donc \(f'(0) = 0\).
Mais \(f'\) ne change pas de signe en 0 (\(f' \geq 0\) partout) → \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n’a pas d’extremum en 0.
Exemple — Suite de l’exemple précédent
Pour \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4\) :
En \(x = 1\) : \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) → maximum local \(f(1) = 1\).
En \(x = 2\) : \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum local \(f(2) = 0\).
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Recherche d’extremums — Déterminer maximums et minimums locaux par le signe de \(f'\)
Extremums sur un segment
Propriété — Extremums sur \([a, b]\)
Une fonction continue sur \([a, b]\) atteint son maximum et son minimum. Ces valeurs extrémales sont atteintes soit :
En un point intérieur ou \(f' = 0\) (extremum local)
En un point ou \(f'\) n’existe pas (exemple : \(|x|\) en 0)
Aux bornes \(a\) ou \(b\) de l’intervalle
Pour trouver le maximum global sur \([a,b]\) : comparer les valeurs de \(f\) en tous les points critiques (y compris les points de non-dérivabilité) et aux bornes.
Résultat admis -- justification intuitive
Ce résultat (théorème des valeurs extrêmes) est admis en Première. Il repose sur la continuité de \(f\) sur un segment fermé borné \([a,b]\).
Intuition : une fonction continue sur un segment ne peut pas « s’échapper » vers l’infini (l’intervalle est borné) ni avoir de « trou » (elle est continue). Elle atteint donc forcément une plus grande et une plus petite valeur.
Pour trouver ces extremums : on compare les valeurs de \(f\) aux points critiques intérieurs (où \(f' = 0\) ou \(f'\) n’existe pas) et aux bornes \(a\) et \(b\).
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Problèmes d’optimisation
Méthode générale
Méthode — Résoudre un problème d’optimisation
Modéliser : identifier la quantité à optimiser et la variable
Exprimer : écrire la quantité comme fonction d’une seule variable
Domaine : préciser l’intervalle de définition (contraintes physiques)
Dériver : calculer la dérivée et étudier son signe
Conclure : dresser le tableau de variations et identifier le maximum/minimum
Exemple 1 — Aire maximale
Un agriculteur dispose de 200 m de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire. Quelle forme maximise l’aire ?
Soit \(x\) la largeur (\(0 < x < 100\)). La longueur est \(200 - 2x\).
Aire : \(A(x) = x(200 - 2x) = -2x^2 + 200x\).
\(A'(x) = -4x + 200 = 0 \Rightarrow x = 50\).
\(A'(x) > 0\) pour \(x < 50\) et \(A'(x) < 0\) pour \(x > 50\), donc \(A\) admet un maximum en \(x = 50\).
\(A(50) = 50 \times 100 = \mathbf{5000}\) m².
Le terrain optimal mesure \(50 \times 100\) m.
Exemple 2 — Coût minimal (optimisation économique)
Une boîte cylindrique de volume \(V = 1\) L \(= 1000\) cm³ doit être fabriquée. Le coût est proportionnel à la surface totale. Trouver le rayon optimal.
Surface : \(S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r} = 2\pi r^2 + \dfrac{2000}{r}\) pour \(r > 0\).
\(S'(r) = 4\pi r - \dfrac{2000}{r^2} = 0 \Rightarrow r^3 = \dfrac{500}{\pi} \Rightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}} \approx 5{,}42\) cm.
\(S'\) passe de \(-\) à \(+\) → minimum. La hauteur optimale est \(h = \dfrac{1000}{\pi r^2} = 2r\) (hauteur = diamètre).
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Optimisation — volume, coût, distance — Boîtes, cylindres, trajets : minimiser un coût ou maximiser un volume
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Convexité et point d’inflexion hors programme
⚠️ Hors programme de Première
Cette section est proposée pour les élèves qui souhaitent aller plus loin. La convexité n’est pas exigible au baccalauréat en Première. Elle sera abordée en Terminale.
Definitions — Convexité
On note \(f''\) la dérivée seconde de \(f\), c’est-a-dire la dérivée de \(f'\). Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\).
\(f\) est convexe sur \(I\) si \(f''(x) \geq 0\) pour tout \(x \in I\) — la courbe est au-dessus de ses tangentes
\(f\) est concave sur \(I\) si \(f''(x) \leq 0\) pour tout \(x \in I\) — la courbe est en dessous de ses tangentes
Un point d’inflexion est un point où \(f''\) change de signe (la courbe change de courbure)
Intuition géométrique
Convexe = « tourne sa concavité vers le haut » (comme une parabole \(x^2\))
Concave = « tourne sa concavité vers le bas » (comme \(-x^2\))
Point d’inflexion = changement de courbure (comme pour \(x^3\) en 0)
Exemple
Pour \(f(x) = x^3 - 3x\) :
\(f'(x) = 3x^2 - 3\), \(f''(x) = 6x\).
\(f''(x) > 0\) pour \(x > 0\) → \(f\) convexe sur \(]0, +\infty[\).
\(f''(x) < 0\) pour \(x < 0\) → \(f\) concave sur \(]-\infty, 0[\).
\(f''(0) = 0\) et \(f''\) change de signe en 0 → point d’inflexion en \((0, 0)\).
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Convexité, concavité, points d’inflexion — Identifier la convexité à partir de \(f''\) et les points d’inflexion
\(B'(q) > 0\) pour \(q < 90\) et \(B'(q) < 0\) pour \(q > 90\) : la fonction \(B\) est croissante puis décroissante. Le maximum est atteint en \(q^* = 90\) kg.
Le bénéfice maximal est de 760 euros pour une production de 90 kg de miel.
Solution de l’énigme — Cylindre de surface minimale à volume fixé
\(h = \frac{V}{\pi r^2}\). La surface totale : \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\). En dérivant : \(S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0\) donne \(r^3 = \frac{V}{2\pi}\), soit \(h = 2r\). Le cylindre optimal a sa hauteur égale à son diamètre.
➡️ Pour la suite
Ch. 6 — Fonction exponentielle
— Tu vas rencontrer la fonction \(\exp\), construite pour être égale à sa propre dérivée, avec de nombreuses applications en modélisation.