Première — Chapitre 6 : Fonction exponentielle

Définition et propriétés algébriques

Définition — Fonction exponentielle La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant : $$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$ Le réel $e$ est appelé le nombre d’Euler : $e \approx 2{,}718\,28$. On écrit indifféremment $\exp(x)$ ou $e^x$.

Propriété — Règles de calcul (pour tous réels $a$ et $b$) $$e^{a+b} = e^a \times e^b \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}$$ Cas particuliers : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$.

Caractérisation : la tangente à la courbe en $(0\,;\,1)$ a pour pente $1$, ce qui traduit $f'(0) = f(0) = 1$.

Démonstration de $e^{a+b} = e^a \times e^b$

Lemme préliminaire : pour tout réel $x$, on a $e^x \times e^{-x} = 1$.

Posons $h(x) = e^x \times e^{-x}$. Par dérivée d’un produit : $h'(x) = e^x \cdot e^{-x} + e^x \cdot (-e^{-x}) = 0$, donc $h$ est constante. Or $h(0) = e^0 \times e^0 = 1 \times 1 = 1$. Donc $h(x) = 1$ pour tout $x$. ✓

Preuve principale. Fixons $b$ et posons $g(x) = e^{x+b} \times e^{-b}$. Alors $g'(x) = e^{x+b} \times e^{-b} = g(x)$, et $g(0) = e^b \times e^{-b} = 1$ par le lemme.

Or la fonction exponentielle est l’unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$. Par unicité : $g(x) = e^x$, soit $e^{x+b} \times e^{-b} = e^x$. En multipliant par $e^b$ : $e^{x+b} = e^x \times e^b$. $\square$

Les autres règles s’en déduisent : $e^{a-b} = e^{a+(-b)} = e^a \times e^{-b} = \frac{e^a}{e^b}$ (avec $e^{-b} = 1/e^b$ par le lemme) et $(e^a)^n = e^{na}$ par récurrence sur $n$.

Exemples de simplifications Simplifier : $$e^3 \times e^5 = \dots \qquad \dfrac{e^7}{e^3} = \dots \qquad (e^2)^4 = \dots \qquad e^{-2} \times e^5 = \dots$$ $$e^{5x+1} = \dots \qquad \dfrac{e^{4x-1}}{e^{x+2}} = \dots \qquad (e^{x-1})^3 = \dots$$

$$e^3 \times e^5 = e^8 \qquad \dfrac{e^7}{e^3} = e^4 \qquad (e^2)^4 = e^8 \qquad e^{-2} \times e^5 = e^3$$ $$e^{5x+1} = e^{5x} \times e \qquad \dfrac{e^{4x-1}}{e^{x+2}} = e^{3x-3} \qquad (e^{x-1})^3 = e^{3x-3}$$

Erreurs fréquentes $e^{a+b} \neq e^a + e^b$ et $(e^a)^b = e^{ab} \neq e^{a^b}$
La fonction exponentielle n’est pas une puissance de la variable : $e^x \neq x^e$.

Signe et variations

Propriété — Signe de l’exponentielle Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ ; elle ne s’annule jamais.

Démonstration

Étape 1 — Positivité large. Pour tout réel $x$, on a $e^x = e^{x/2 + x/2} = e^{x/2} \times e^{x/2} = (e^{x/2})^2$ (relation fonctionnelle).

Or un carré réel est toujours positif ou nul. Donc $e^x \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Étape 2 — $e^x$ ne s'annule jamais. Supposons par l'absurde qu'il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $e^a = 0$. On utilise la relation $e^a \times e^{-a} = e^{a + (-a)} = e^0 = 1$. On aurait alors $0 \times e^{-a} = 1$, soit $0 = 1$ — contradiction.

Donc $e^x \neq 0$ pour tout $x$. En combinant avec l'étape 1, $e^x > 0$ pour tout réel $x$. $\square$

Propriété — Croissance de l’exponentielle La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Conséquences pour tous réels $a$ et $b$ : $$e^a = e^b \Longleftrightarrow a = b \qquad \text{et} \qquad e^a < e^b \Longleftrightarrow a < b$$

Démonstration

La dérivée de $f(x) = e^x$ est $f'(x) = e^x$. Or $e^x > 0$ pour tout $x$ (propriété précédente), donc $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.

D’après le lien dérivée/variations (chapitre 5) : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. $\square$

La fonction $e^x$ est strictement positive et strictement croissante ; elle tend vers 0 à gauche et vers $+\infty$ à droite

Tableau de variations de $e^x$ sur $\mathbb{R}$ — la dérivée $(e^x)' = e^x > 0$ donc $e^x$ est strictement croissante

Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété — Dérivée de $e^x$ La fonction $f(x) = e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $$\boxed{(e^x)' = e^x}$$ C’est la propriété caractéristique : la fonction exponentielle est sa propre dérivée.

Justification

C’est la propriété fondamentale qui définit la fonction exponentielle : l’unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$ est la fonction exponentielle.

Donc $(e^x)' = e^x$ par définition. $\square$

Propriété — Dérivée de $e^{u(x)}$ (composition) Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $$\boxed{\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}}$$ (Au programme : $u(x) = ax+b$. Le cas général est un complément utile.)

Démonstration pour $u(x) = ax + b$

Posons $f(x) = e^{ax+b} = e^b \times e^{ax}$. Posons $g(x) = e^{ax}$. Le taux de variation de $g$ est :

$\dfrac{g(x+h) - g(x)}{h} = \dfrac{e^{a(x+h)} - e^{ax}}{h} = e^{ax} \times \dfrac{e^{ah} - 1}{h}$

On admet que $\lim_{h \to 0} \frac{e^{ah}-1}{h} = a$ (conséquence de $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$, qui découle de la définition de $e^x$).

Donc $g'(x) = a \cdot e^{ax}$ et $f'(x) = e^b \times a \cdot e^{ax} = a \cdot e^{ax+b} = u'(x) \cdot e^{u(x)}$. $\square$

Exemples de dérivées Calculer la dérivée de chaque fonction :

$f(x) = e^{3x}$
$f(x) = e^{x^2}$
$f(x) = e^{-2x+1}$
$f(x) = e^{\sqrt{x}} = e^{x^{1/2}}$

$f'(x) = 3e^{3x}$
$f'(x) = 2x\,e^{x^2}$
$f'(x) = -2\,e^{-2x+1}$
$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,e^{\sqrt{x}}$

Signe de la dérivée Comme $e^{u(x)} > 0$ toujours, le signe de $\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}$ est le même que celui de $u'(x)$.
En particulier, $x \mapsto e^{ax+b}$ est croissante si $a > 0$, décroissante si $a < 0$.

Équations et inéquations

Propriété — Résolution d’équations et d’inéquations Puisque $x \mapsto e^x$ est strictement croissante de $\mathbb{R}$ vers $\,]0\,;\,+\infty[$ : $$e^u = e^v \Longleftrightarrow u = v$$ $$e^u < e^v \Longleftrightarrow u < v$$ $$e^u = k \text{ avec } k \leq 0 \Longrightarrow \text{aucune solution}$$

Justification

La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (propriété démontrée ci-dessus).

Une fonction strictement croissante est injective : si $e^u = e^v$, nécessairement $u = v$ (sinon, si par exemple $u < v$, on aurait $e^u < e^v$, contradiction).

De même, la croissance stricte donne directement $e^u < e^v \Leftrightarrow u < v$.

Enfin, comme $e^x > 0$ pour tout $x$, l’équation $e^x = k$ avec $k \leq 0$ n’a aucune solution. $\square$

Exemples d’équations

Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$
Résoudre $e^{x^2} = e^{3x-2}$
Résoudre $e^x = -3$

$e^{2x-1} = e^{x+3}$ $\Leftrightarrow$ $2x-1 = x+3$ $\Leftrightarrow$ $x = 4$
$e^{x^2} = e^{3x-2}$ $\Leftrightarrow$ $x^2 = 3x-2$ $\Leftrightarrow$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow$ $x = 1$ ou $x = 2$
$e^x = -3$ : aucune solution (car $e^x > 0$ toujours)

Exemple d’inéquation Résoudre $e^{2x} > e^{x+1}$.

Puisque $x \mapsto e^x$ est croissante : $2x > x+1 \Leftrightarrow x > 1$.
L’ensemble solution est $\,]1\,;\,+\infty[$.

Étude de fonctions contenant $e^x$

Méthode — Étudier une fonction du type $f(x) = P(x)\,e^{u(x)}$

Dériver en appliquant la formule du produit : $\big(P(x)\,e^{u(x)}\big)' = \big(P'(x) + P(x)\,u'(x)\big)\,e^{u(x)}$
Factoriser par $e^{u(x)}$ : comme $e^{u(x)} > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du facteur polynomial
Résoudre $P'(x) + P(x)\,u'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques
Dresser le tableau de variations et calculer les valeurs remarquables (extremums)

Cas particulier $f(x) = (ax+b)\,e^x$ On a $f'(x) = (ax + a + b)\,e^x$, donc $f'(x)$ s’annule en $x = -1 - \dfrac{b}{a}$. C’est le cas le plus fréquent au Bac.

Exemple complet — Étude de $f(x) = (x-1)e^x$

Étudier les variations de $f(x) = (x-1)e^x$ et déterminer son minimum.

Domaine : $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = e^x(1 + x - 1) = xe^x$.

Signe de $f'(x)$ : $e^x > 0$ toujours, donc $f'(x)$ a le signe de $x$.
— $f'(x) < 0$ pour $x < 0$ → $f$ décroissante
— $f'(x) > 0$ pour $x > 0$ → $f$ croissante
— $f'(0) = 0$ → minimum en $x = 0$.

Valeur minimale : $f(0) = (0-1)e^0 = -1$.

Exemple — Factorisation par $e^x$ Étudier le signe de $g(x) = e^{2x} - e^x$.

On factorise : $g(x) = e^x(e^x - 1)$.
Comme $e^x > 0$, le signe de $g(x)$ est celui de $e^x - 1$.
$e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > e^0 \Leftrightarrow x > 0$.
Donc $g(x) > 0$ si $x > 0$, $g(x) < 0$ si $x < 0$, $g(0) = 0$.

Modélisation exponentielle

Modèles de base

Croissance exponentielle : $N(t) = N_0 \times e^{kt}$ avec $k > 0$. Exemples : population bactérienne, intérêts continus.
Décroissance exponentielle : $N(t) = N_0 \times e^{-kt}$ avec $k > 0$. Exemples : désintégration radioactive, refroidissement.

$N_0 = N(0)$ est la valeur initiale.

Demi-vie La demi-vie $T_{1/2}$ est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2 : $$N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \Longrightarrow e^{-kT_{1/2}} = \frac{1}{2} \Longrightarrow e^{kT_{1/2}} = 2$$ Pour résoudre exactement cette équation, on a besoin du logarithme népérien (voir ci-dessous).

Décroissance radioactive du carbone 14 : $N(t) = N_0 \times e^{-1{,}21 \times 10^{-4}\,t}$. La demi-vie est $T_{1/2} = 5\,730$ ans. Un fossile contenant $30\,\%$ du $^{14}\text{C}$ initial date d'environ $9\,950$ ans.

Résoudre $e^x = a$ — le logarithme népérien Lorsque $a > 0$, l’équation $e^x = a$ admet une unique solution, notée $x = \ln(a)$ (logarithme népérien de $a$).

Autrement dit : $e^x = a \Longleftrightarrow x = \ln(a)$, pour tout $a > 0$.

La fonction $\ln$ est disponible sur toute calculatrice scientifique (touche ln). Par exemple :
$\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$ $\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$ $\ln(2) \approx 0{,}693$ $\ln(0{,}5) \approx -0{,}693$

Résultat admis -- justification intuitive

L’existence et l’unicité de la solution $x = \ln(a)$ pour $a > 0$ sont admises en Première (le logarithme est étudié en Terminale).

Intuition : comme $e^x$ est strictement croissante, continue, tend vers 0 quand $x \to -\infty$ et vers $+\infty$ quand $x \to +\infty$, elle prend toutes les valeurs strictement positives exactement une fois. Donc pour tout $a > 0$, il existe un unique réel $x$ tel que $e^x = a$.

Exemples de résolution avec ln

Résoudre $3e^x = 5$
Résoudre $2e^x = 1$
Résoudre $e^{2x} = 7$

$3e^x = 5 \Leftrightarrow e^x = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = \ln\!\left(\dfrac{5}{3}\right) \approx 0{,}511$
$2e^x = 1 \Leftrightarrow e^x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\ln(2) \approx -0{,}693$
$e^{2x} = 7 \Leftrightarrow 2x = \ln(7) \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln(7)}{2} \approx 0{,}973$

Exemple — Carbone 14 $N(t) = N_0 \times e^{-1{,}21 \times 10^{-4}\,t}$ (en années). Si $N(t) = 0{,}3\,N_0$, à quel moment cela se produit-il ?

$e^{-1{,}21 \times 10^{-4}\,t} = 0{,}3$, donc $-1{,}21 \times 10^{-4}\,t = \ln(0{,}3)$.
$t = \dfrac{\ln(0{,}3)}{-1{,}21 \times 10^{-4}} = \dfrac{-1{,}204}{-1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 9\,950$ ans.

Lien avec les suites géométriques Pour tout réel $a$, la suite $(u_n) = (e^{na})$ est une suite géométrique de raison $q = e^a$.
En effet : $u_{n+1} = e^{(n+1)a} = e^{na} \times e^a = u_n \times e^a$.

Bilan — Formules essentielles

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Définition	Unique $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$	Les deux conditions sont nécessaires (l’une seule ne suffit pas)
Signe	$e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$	$e^{-100}$ reste strictement positif (très petit, mais > 0)
Variations	Strictement croissante sur $\mathbb{R}$, $e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2{,}718$	$e^a < e^b \iff a < b$ (même sens)
Dérivée	$(e^x)' = e^x$ $\bigl(e^{u(x)}\bigr)' = u'(x)\,e^{u(x)}$	Ne jamais oublier le facteur $u'(x)$
Algèbre — produit	$e^{a+b} = e^a \times e^b$	$e^{a+b} \neq e^a + e^b$
Algèbre — inverse	$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ $e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$	Le signe $-$ passe en exposant, pas devant l’expression
Algèbre — puissance	$(e^a)^n = e^{na}$	$(e^a)^b = e^{ab}$, pas $e^{a^b}$
Équation	$e^u = e^v \iff u = v$	$e^x = k$ avec $k \leq 0$ → aucune solution
Inéquation	$e^u < e^v \iff u < v$	Pas d’inversion (croissante stricte)
Suite $u_n = e^{na}$	Suite géométrique de raison $q = e^a$, premier terme $u_0 = 1$	La raison est $e^a$, pas $a$

⚠️ Pièges et contre-exemples

Inspiré des Vrai/Faux des manuels Transmath et Indice (1^re 2019). Teste ton intuition, puis lis l’explication.

Score : 0 / 6 pièges identifiés

1 Signe de $e^{-100}$

« $e^{-100} < 0$. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

📖 Explication

Faux. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ tout entier : $e^x > 0$ pour tout réel $x$, même très négatif.

$e^{-100} = \dfrac{1}{e^{100}}$ est un nombre extrêmement petit (≈ $3{,}7 \times 10^{-44}$) mais strictement positif.

💡 Mémo : $e^x > 0$ toujours. Penser à $e^x = (e^{x/2})^2$ qui est un carré non nul.

Mini-test : que vaut le signe de $e^{-1\,000\,000}$ ?

2 Existence de $x$ tel que $e^x + e^{-x} = 0$

« Il existe un réel $x$ tel que $e^x + e^{-x} = 0$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

Faux. Pour tout réel $x$ : $e^x > 0$ et $e^{-x} > 0$. Donc $e^x + e^{-x} > 0$ — somme strictement positive.

L’équation $e^x + e^{-x} = 0$ n’a aucune solution. On peut même montrer que $e^x + e^{-x} \geq 2$ pour tout $x$ (minimum atteint en $x = 0$).

💡 Mémo : Une somme de termes strictement positifs reste strictement positive.

Mini-test : $e^x + e^{-x}$ atteint son minimum en quelle valeur de $x$ ?

3 Signe de $e^x - 1$

« L’expression $e^x - 1$ ne peut pas prendre de valeur négative. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

Faux. Bien que $e^x > 0$, l’expression $e^x - 1$ peut être négative.

$e^x - 1 < 0 \iff e^x < 1 \iff e^x < e^0 \iff x < 0$ (croissance stricte).

Pour $x < 0$, $e^x - 1$ est négatif. Exemple : $e^{-1} - 1 \approx 0{,}368 - 1 = -0{,}632 < 0$.

💡 Mémo : $e^x > 0$ ne signifie pas $e^x > 1$. On a $e^x > 1 \iff x > 0$.

Mini-test : pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $e^x - 1 > 0$ ?

4 Caractérisation par $f' = f$ seule

« Si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifie $f' = f$, alors $f = \exp$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

Faux. La condition $f' = f$ seule n’identifie pas $\exp$. Il manque $f(0) = 1$.

Contre-exemple : $f(x) = 0$ (fonction nulle) vérifie $f' = f$ mais $f \neq \exp$.
Plus généralement, toute fonction $f(x) = C \cdot e^x$ (avec $C$ constante) vérifie $f' = f$. C’est $f(0) = 1$ qui force $C = 1$.

💡 Mémo : La caractérisation utilise deux conditions : $f' = f$ et $f(0) = 1$.

Mini-test : laquelle de ces fonctions vérifie $f' = f$ sans être l’exponentielle ?

5 Équivalence $f = \exp \iff f(0) = 1$

« $f = \exp \iff f(0) = 1$. »

Cette équivalence est-elle correcte ?

📖 Explication

Faux. Le sens « $f = \exp \Rightarrow f(0) = 1$ » est correct, mais la réciproque ne l’est pas.

Énormément de fonctions vérifient $f(0) = 1$ sans être l’exponentielle : $f(x) = \cos(x)$, $f(x) = 1 + x$, $f(x) = x^2 + 1$, etc.

💡 Mémo : $f(0) = 1$ est nécessaire mais pas suffisant. Il faut aussi $f' = f$ (et que $f$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$).

Mini-test : laquelle de ces fonctions vérifie $f(0) = 1$ sans être $\exp$ ?

6 Existence de $x$ tel que $e^x = 2$

« Il existe un réel $x$ tel que $e^x = 2$. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

C’est vrai ! La fonction $x \mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, prend toutes les valeurs dans $]0\,;\,+\infty[$. Comme $2 > 0$, il existe un unique $x$ tel que $e^x = 2$.

Ce nombre se note $\ln 2$ (logarithme népérien de 2, étudié en Terminale) : $\ln 2 \approx 0{,}693$.

⚠️ Attention : l’équation $e^x = k$ admet une unique solution uniquement si $k > 0$. Pour $k \leq 0$, aucune solution.

💡 Règle : $e^x = k$ → unique solution si $k > 0$, aucune solution sinon.

Mini-test : combien de solutions a l’équation $e^x = -3$ ?

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Solution du problème d’ouverture — Le carbone 14

On cherche $t$ tel que $N(t) = 0{,}30 \times N_0$, soit :

$$N_0 \times e^{-kt} = 0{,}30 \times N_0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-kt} = 0{,}30$$

Avec les outils de Première, on sait que $e^{-kt} = 0{,}30$ a une unique solution (car $x \mapsto e^x$ est strictement croissante et prend toutes les valeurs $> 0$).

La valeur exacte nécessite le logarithme népérien (Terminale) : $t = \dfrac{-\ln(0{,}30)}{k} = \dfrac{\ln(10/3)}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 9\ 950$ ans.

Ce fossile aurait donc environ 10 000 ans — fin du Paléolithique supérieur.

Solution de l’énigme — Une fonction qui ne change pas en se dérivant

Si $f' = f$, alors $f'' = (f')' = f' = f$, et plus généralement $f^{(n)} = f$ pour tout $n$. Comme $f(0) = 1 > 0$ et $f' = f$, la fonction est positive sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante.

L’unique fonction vérifiant ces conditions est la fonction exponentielle : $f(x) = e^x$.

Notion	Définition / Formule	Piège à éviter
Définition	Unique \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\)	Les deux conditions sont nécessaires (l’une seule ne suffit pas)
Signe	\(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)	\(e^{-100}\) reste strictement positif (très petit, mais > 0)
Variations	Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), \(e^0 = 1\), \(e^1 = e \approx 2{,}718\)	\(e^a < e^b \iff a < b\) (même sens)
Dérivée	\((e^x)' = e^x\) \(\bigl(e^{u(x)}\bigr)' = u'(x)\,e^{u(x)}\)	Ne jamais oublier le facteur \(u'(x)\)
Algèbre — produit	\(e^{a+b} = e^a \times e^b\)	\(e^{a+b} \neq e^a + e^b\)
Algèbre — inverse	\(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)	Le signe \(-\) passe en exposant, pas devant l’expression
Algèbre — puissance	\((e^a)^n = e^{na}\)	\((e^a)^b = e^{ab}\), pas \(e^{a^b}\)
Équation	\(e^u = e^v \iff u = v\)	\(e^x = k\) avec \(k \leq 0\) → aucune solution
Inéquation	\(e^u < e^v \iff u < v\)	Pas d’inversion (croissante stricte)
Suite \(u_n = e^{na}\)	Suite géométrique de raison \(q = e^a\), premier terme \(u_0 = 1\)	La raison est \(e^a\), pas \(a\)

Chapitre 6 — Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Le carbone 14 et la datation des fossiles

Jacob Bernoulli et le nombre \(e\)

Une fonction qui ne change pas en se dérivant

Sommaire

Définition et propriétés algébriques

Signe et variations

Dérivée de la fonction exponentielle

Équations et inéquations

Étude de fonctions contenant \(e^x\)

Modélisation exponentielle

Bilan — Formules essentielles

⚠️ Pièges et contre-exemples

📐 Applets GeoGebra — fonction exponentielle