Maths Expertes · Math@mine
Un logo est conçu par rotation de 120° autour de l’origine, suivie d’une homothétie de rapport 2. En utilisant les complexes, on peut écrire la transformation composée comme une multiplication par un complexe.
Les transformations géométriques ont des racines profondes dans la géométrie grecque (Euclide étudie les isométries) et islamique. Les pavages et ornements géométriques des mosquées d’Ispahan ou de l’Alhambra de Grenade exploitent systématiquement les symétries, rotations et translations — bien avant la formalisation mathématique.
Felix Klein (XIXe siècle) unifie les différentes géométries par son programme d’Erlangen (1872) : chaque géométrie est caractérisée par le groupe de ses transformations qui laissent invariants certains objets. Les complexes fournissent un outil algébrique idéal pour cette approche.
La transformation \(f(z) = (1+i)z\) est une similitude directe.
La translation de vecteur \(\vec{t}\) d’affixe \(b \in \mathbb{C}\) est l’application :
\[z' = z + b\]
Elle transforme tout point \(M(z)\) en \(M'(z+b)\).
La symétrie centrale de centre \(\Omega(\omega)\) est l’application :
\[z' = 2\omega - z\]
C’est un cas particulier de rotation (d’angle \(\pi\)) ou d’homothétie (de rapport \(-1\)).
La symétrie axiale par rapport à l’axe réel est la conjugaison :
\[z' = \bar{z}\]
Plus généralement, la symétrie par rapport à l’axe imaginaire est \(z' = -\bar{z}\).
Soit \(A(2+i)\). Son image par la translation de vecteur \(\vec{t}\) d’affixe \(-1+3i\) est \(A'(1+4i)\).
Son image par la symétrie de centre \(\Omega(i)\) est \(z' = 2i - (2+i) = -2+i\).
La rotation de centre \(\Omega(\omega)\) et d’angle \(\theta\) est l’application :
\[\boxed{z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)}\]
Autrement dit : \(z' = e^{i\theta} z + \omega(1 - e^{i\theta})\).
On se ramène à une rotation de centre O en travaillant sur les vecteurs \(\overrightarrow{\Omega M}\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}\) d’affixes \(z-\omega\) et \(z'-\omega\). Multiplier par \(e^{i\theta}\) revient à multiplier le module par 1 (conservation des longueurs) et ajouter \(\theta\) à l’argument (rotation d’angle \(\theta\)).
\(\omega = 0\), \(\theta = \pi/2\), donc \(e^{i\pi/2} = i\). L’image de \(z\) est \(z' = iz\).
Image de \(A(1+2i)\) : \(z' = i(1+2i) = i - 2 = -2+i\).
Vérification : \(|z'| = |z| = \sqrt{5}\) ✓ et l’argument a bien augmenté de \(\pi/2\) ✓.
\(\omega = 1+i\), \(e^{i\pi/3} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\).
Image de \(A(3)\) : \(z'-（1+i) = e^{i\pi/3}(3-(1+i)) = \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)(2-i)\)
\(= 1 - \frac{i}{2} + i\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)i\)
Donc \(z' = \left(2+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)i\).
Si on sait que \(z' = az + b\) est une rotation (i.e. \(|a|=1\) et \(a \neq 1\)) :
L'homothétie de centre \(\Omega(\omega)\) et de rapport \(k \in \mathbb{R}^*\) est :
\[z' - \omega = k(z - \omega)\]
Elle multiplie toutes les distances par \(|k|\) et conserve (si \(k>0\)) ou renverse (si \(k<0\)) les orientations.
Une similitude directe est toute application du plan dans lui-même qui s’écrit :
\[\boxed{z' = az + b} \quad \text{avec } a, b \in \mathbb{C},\; a \neq 0\]
Elle est caractérisée par :
On considère \(f : z \mapsto az + b\) avec \(a \neq 0\). Si \(a \neq 1\), \(f\) admet un unique point fixe \(\omega = \dfrac{b}{1-a}\) (démontré au théorème suivant). On peut alors réécrire :
\(z' - \omega = a(z - \omega).\)
Cas \(a = 1\), \(b \neq 0\). Alors \(z' = z + b\) : translation de vecteur d’affixe \(b\).
Cas \(|a| = 1\), \(a \neq 1\). L’image \(M'\) de \(M\) vérifie \(\overrightarrow{\omega M'} = a\,\overrightarrow{\omega M}\) avec \(|a|=1\). Donc \(\omega M' = \omega M\) et l’angle \((\overrightarrow{\omega M}, \overrightarrow{\omega M'}) = \arg(a)\) : c’est une rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\arg(a)\).
Cas \(a \in \mathbb{R}^*\), \(a \neq 1\). Alors \(\arg(a) \in \{0, \pi\}\), donc l’angle de rotation est nul (ou \(\pi\) pour \(a<0\) ce qui est une homothétie de rapport négatif). On a \(\overrightarrow{\omega M'} = a\,\overrightarrow{\omega M}\) : c’est une homothétie de centre \(\omega\) et de rapport \(a\).
Cas général \(|a| \neq 1\) et \(a \notin \mathbb{R}\). L’écriture \(a = |a|\cdot e^{i\arg(a)}\) et \(z' - \omega = a(z-\omega)\) montre que \(f\) est la composée (commutative) de l’homothétie de centre \(\omega\) et rapport \(|a|\) avec la rotation de centre \(\omega\) et angle \(\arg(a)\). ∎
Si \(a \neq 1\), la similitude \(z' = az+b\) admet un unique point fixe \(\omega\) vérifiant \(\omega = a\omega + b\) :
\[\omega = \frac{b}{1-a}\]
On peut alors réécrire la similitude sous la forme \(z' - \omega = a(z-\omega)\), ce qui montre que c’est une rotation (si \(|a|=1\)) ou une composition rotation-homothétie (si \(|a|\neq 1\)) de centre \(\omega\).
Existence et unicité du point fixe. Un point \(\omega\) est fixe par \(f\) ssi \(f(\omega) = \omega\), c’est-à-dire \(a\omega + b = \omega\), soit :
\((1 - a)\omega = b.\)
Comme \(a \neq 1\), on peut diviser par \(1 - a\) (qui est non nul) et on obtient l’unique solution :
\(\omega = \dfrac{b}{1-a}.\)
Forme réduite. On a \(b = \omega(1 - a) = \omega - a\omega\). Donc pour tout \(z\) :
\(z' = az + b = az + \omega - a\omega = \omega + a(z - \omega).\)
En retranchant \(\omega\) des deux membres : \(z' - \omega = a(z - \omega)\). ∎
Soit \(f : z' = (1+i)z + 2 - i\). Identifier la nature de \(f\).
Rapport : \(|1+i| = \sqrt{2}\) — dilatation d’un facteur \(\sqrt{2}\).
Angle : \(\arg(1+i) = \pi/4\) — rotation de \(45°\).
Point fixe : \(\omega = \dfrac{2-i}{1-(1+i)} = \dfrac{2-i}{-i} = \dfrac{(2-i)i}{1} = 2i+1 = 1+2i\).
Vérification : \(f(1+2i) = (1+i)(1+2i)+2-i = 1+2i+i-2+2-i = 1+2i\) ✓
Conclusion : \(f\) est une similitude directe de centre \(1+2i\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\pi/4\).
La composée de \(f : z \mapsto az+b\) et \(g : z \mapsto a'z+b'\) est :
\[g \circ f : z \mapsto a'(az+b)+b' = a'az + a'b+b'\]
C’est encore une similitude directe. L’ensemble des similitudes directes est stable par composition.
Par définition de la composition : pour tout \(z\),
\((g \circ f)(z) = g(f(z)) = g(az + b) = a'(az + b) + b' = (a'a)\,z + (a'b + b').\)
Forme réduite. Notons \(A = a'a\) et \(B = a'b + b'\). Alors \(g \circ f : z \mapsto Az + B\). Comme \(a, a' \neq 0\), on a \(A = a'a \neq 0\) ; \(g \circ f\) est donc bien une similitude directe.
Rapport et angle. \(|A| = |a'a| = |a'|\cdot|a|\) : les rapports se multiplient. De même, \(\arg(A) \equiv \arg(a') + \arg(a) \pmod{2\pi}\) : les angles s'ajoutent. ∎
Soit \(r_1\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\pi/2\) : \(z \mapsto iz\).
Soit \(r_2\) la rotation de centre \(A(1)\) et d’angle \(\pi/2\) : \(z \mapsto iz + (1-i)\). Déterminer \(r_2 \circ r_1\).
Composée \(r_2 \circ r_1\) : \(z \mapsto i(iz)+(1-i) = -z+1-i\).
Ici \(a = -1\) : \(|a|=1\) et \(\arg(-1)=\pi\), donc c’est une rotation d’angle \(\pi\).
Centre : \(\omega = \dfrac{1-i}{1-(-1)} = \dfrac{1-i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\).
La composée de deux rotations d’angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) est :
Les similitudes indirectes (qui renversent l’orientation) s’écrivent \(z' = a\bar{z} + b\). Elles incluent les symétries axiales et les compositions de similitudes directes avec une symétrie axiale. Leur étude forme avec les similitudes directes le groupe complet des similitudes planes.
Chargement de Python (Pyodide)…
On considère le carré de sommets \(1+i\), \(-1+i\), \(-1-i\), \(1-i\). Écrire des fonctions Python pour chaque transformation du plan, puis les appliquer aux sommets du carré :
translation(z, b) : renvoie \(z + b\)rotation(z, omega, theta) : renvoie l’image de \(z\) par la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\)homothetie(z, omega, k) : renvoie l’image de \(z\) par l’homothétie de centre \(\omega\) et de rapport \(k\)similitude(z, a, b) : renvoie \(az + b\)Appliquer une rotation d’angle \(\pi/4\) de centre \(O\), une homothétie de rapport 2 de centre \(O\), puis la similitude \(z' = (1+i)z\).
Rappel Python : cmath.exp(1j*theta) donne \(e^{i\theta}\). Les complexes s’écrivent avec j : 1+1j.
Écrire une fonction analyser_similitude(a, b) qui, étant donné les coefficients complexes \(a\) et \(b\) de la similitude \(z' = az + b\) :
Tester sur : \(z' = (1+i)z + 2-i\), \(z' = iz + 1-i\), \(z' = 2z -2+4i\), \(z' = z + 3+2i\).
Rappel Python : abs(a) donne le module, cmath.phase(a) l’argument, math.degrees(x) convertit en degrés.
On veut vérifier que la composée de deux rotations est une rotation (ou une translation si la somme des angles est un multiple de \(2\pi\)). Écrire :
rotation_affixe(omega, theta) : renvoie le couple \((a, b)\) tel que \(z' = az + b\) pour la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\)composer(a1, b1, a2, b2) : renvoie \((a, b)\) de la composée \(g \circ f\) de deux similitudes \(f : z \mapsto a_1 z + b_1\) et \(g : z \mapsto a_2 z + b_2\)Composer la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\pi/3\) avec celle de centre \(A(2)\) et d’angle \(\pi/6\), puis vérifier que le résultat est une rotation d’angle \(\pi/2\).
Rappel : pour une rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\), on a \(a = e^{i\theta}\) et \(b = \omega(1-a)\). La composée donne \(a = a_2 a_1\) et \(b = a_2 b_1 + b_2\).
On donne \(A = 0\) et \(B = 2\). Construire le point \(C\) pour que le triangle \(ABC\) soit équilatéral, en utilisant une rotation d’angle \(\pi/3\) de centre \(A\).
Rappel : l’image de \(z\) par la rotation de centre \(\omega\) et d’angle \(\theta\) est \(e^{i\theta}(z - \omega) + \omega\).
On considère la similitude \(z' = az\) avec \(a = 0{,}9\,e^{i\pi/6}\) (rapport \(0{,}9\), angle \(30°\)). En partant de \(z_0 = 3\), calculer les itérés \(z_n = a^n z_0\) pour \(n = 0, \ldots, 9\).
Rappel Python : abs(z) pour le module, cmath.phase(z) pour l’argument en radians. Les itérés forment une spirale logarithmique.
| Notion | Définition / Formule | Piège à éviter |
|---|---|---|
| Similitude directe | \(z' = az + b\), rapport \(|a|\), angle \(\arg(a)\) | \(a = 0\) n’est pas une similitude |
| Translation | \(z' = z + b\) (cas \(a = 1\)) | Pas de point fixe (sauf \(b = 0\)) |
| Rotation | \(z' = e^{i\theta} z + b\) (cas \(|a| = 1\)) | Si centre \(\neq O\), chercher le point fixe |
| Homothétie | \(z' = kz + b\) avec \(k \in \mathbb{R}\) | \(k < 0\) : demi-tour en plus |
| Cercle | \(|z - \omega| = r\) | Centre \(= \omega\) (affixe), rayon \(= r > 0\) |
\(1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\) : rapport \(\sqrt{2}\), angle \(\pi/4 = 45°\). Images : \(f(0)=0\), \(f(1)=1+i\), \(f(1+i)=2i\), \(f(i)=-1+i\). Le carré image a pour sommets \(0, 1+i, 2i, -1+i\) : il est tourné de 45° et agrandi d’un facteur \(\sqrt{2}\).
Transformations du plan complexe : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Une rotation d’angle \(\theta\) s’écrit \(z' = z + e^{i\theta}\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Une rotation de centre \(\Omega\) (d’affixe \(z_\Omega\)) et d’angle \(\theta\) s’écrit :
\(z' - z_\Omega = e^{i\theta}(z - z_\Omega)\), soit \(z' = e^{i\theta}(z - z_\Omega) + z_\Omega\).
Si le centre est l’origine : \(z' = e^{i\theta} z\) (multiplication, pas addition !).
Mini-test : la rotation de centre O et d’angle \(\frac{\pi}{2}\) envoie \(z = 1\) sur :
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« Une similitude de rapport \(k\) transforme les aires par un facteur \(k\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Les distances sont multipliées par \(k\), mais les aires sont multipliées par \(k^2\) !
Exemple : une homothétie de rapport 2 double les longueurs, mais quadruple les aires (\(2^2 = 4\)).
Mini-test : une similitude de rapport 3 multiplie les aires par :
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« Une translation de vecteur \(\vec{w}\) s’écrit \(z' = wz\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Une translation s’écrit \(z' = z + w\) (addition, pas multiplication !).
\(z' = wz\) serait une rotation (si \(|w|=1\)) ou une similitude (si \(|w| \neq 1\)), centrée en O.
Mini-test : la translation de vecteur \(3+2i\) envoie \(z = 1+i\) sur :
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« Si \(z' = az + b\) avec \(|a| = 1\) et \(b = 0\), c’est une homothétie. »
Cette identification est-elle correcte ?
\(z' = az\) avec \(|a| = 1\) : le module ne change pas, seul l’argument change. C’est une rotation de centre O et d’angle \(\arg(a)\).
Une homothétie de centre O s’écrirait \(z' = kz\) avec \(k \in \mathbb{R}\) (pas juste \(|k|=1\)).
Mini-test : \(z' = iz\) est :
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« La composée de deux translations est une translation. »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
C’est vrai. Si \(t_1 : z' = z + w_1\) et \(t_2 : z'' = z' + w_2\), alors :
\(z'' = z + w_1 + w_2 = z + (w_1 + w_2)\)
C’est bien une translation de vecteur \(w_1 + w_2\).
Mini-test : la composée de la translation de vecteur \(2+i\) et de celle de vecteur \(-1+3i\) est :
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« L’image de l’origine par \(z' = 2z + 3i\) est \(0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
On substitue \(z = 0\) : \(z' = 2 \times 0 + 3i = 3i\). L’image de l’origine est \(3i\), pas \(0\) !
L’origine est un point fixe seulement si \(f(0) = 0\), c’est-à-dire si \(b = 0\) dans \(z' = az + b\).
Mini-test : le point fixe de \(z' = 2z + 3i\) vérifie \(z = 2z + 3i\), soit :
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