Maths Expertes · Math@mine
Sur une carte, la ville A est repérée par le complexe \(z_A = 2+3i\) et la ville B par \(z_B = 5-i\) (unité : dizaine de km).
Jean-Robert Argand (1806) publie anonymement un court mémoire proposant de représenter les nombres complexes comme des points du plan — le « plan d’Argand ». Carl Friedrich Gauss (1831) reprend cette idée, lui donne une base rigoureuse et la popularise dans la communauté mathématique.
Augustin-Louis Cauchy (XIXe siècle) développe l’analyse complexe à partir de cette représentation géométrique. Les astronomes islamiques connaissaient des représentations de rotations et translations géométriques, préfigurant certains aspects de la géométrie du plan complexe.
Soit \(z\) un nombre complexe de module 1, c’est-à-dire \(|z| = 1\).
On munit le plan d’un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\). On associe à tout complexe \(z = a + bi\) le point \(M\) de coordonnées \((a, b)\). On dit que \(z\) est l'affixe du point \(M\), et on note \(M(z)\) ou \(M \leftrightarrow z\).
Si \(A(z_A)\) et \(B(z_B)\) sont deux points du plan :
Notons \(z_A = x_A + iy_A\) et \(z_B = x_B + iy_B\), de sorte que \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\).
Affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \((x_B - x_A, y_B - y_A)\). Son affixe (nombre complexe associé) est donc :
\((x_B - x_A) + i(y_B - y_A) = (x_B + iy_B) - (x_A + iy_A) = z_B - z_A.\)
Affixe du milieu \(I\) de \([AB]\). Le milieu a pour coordonnées \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\), d’affixe :
\(\dfrac{x_A+x_B}{2} + i\dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{(x_A+iy_A) + (x_B+iy_B)}{2} = \dfrac{z_A+z_B}{2}.\)
Distance \(AB\). Par définition géométrique, \(AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\). Or le module du complexe \(z_B - z_A = (x_B-x_A) + i(y_B-y_A)\) vaut exactement cette quantité : \(|z_B - z_A| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = AB\). ∎
Le module de \(z = a + bi\) est le réel positif :
\[|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \bar{z}}\]
C’est la distance de l’origine au point d’affixe \(z\) dans le plan complexe.
Pour tous \(z, z' \in \mathbb{C}\) :
\(|z \cdot z'|^2 = (z \cdot z')\overline{(z \cdot z')} = z z' \bar{z} \bar{z'} = (z\bar{z})(z'\bar{z'}) = |z|^2 \cdot |z'|^2\)
En prenant la racine carrée (tous les membres sont positifs) : \(|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|\). \(\square\)
On calcule \(|z+z'|^2\) en utilisant \(|w|^2 = w\bar w\) :
\(|z+z'|^2 = (z+z')\overline{(z+z')} = (z+z')(\bar z + \bar{z'}) = z\bar z + z\bar{z'} + z'\bar z + z'\bar{z'}\)
\(= |z|^2 + |z'|^2 + (z\bar{z'} + \overline{z\bar{z'}}) = |z|^2 + |z'|^2 + 2\,\mathrm{Re}(z\bar{z'})\).
Or pour tout complexe \(w\), \(\mathrm{Re}(w) \leq |w|\) (car \(|w|^2 = \mathrm{Re}(w)^2 + \mathrm{Im}(w)^2 \geq \mathrm{Re}(w)^2\) et \(|w| \geq 0\)). Donc \(\mathrm{Re}(z\bar{z'}) \leq |z\bar{z'}| = |z| \cdot |z'|\).
Il vient \(|z+z'|^2 \leq |z|^2 + |z'|^2 + 2|z||z'| = (|z|+|z'|)^2\).
Les deux membres étant positifs, en prenant la racine carrée : \(|z+z'| \leq |z|+|z'|\). ∎
Interprétation géométrique : les points \(O\), \(M(z)\) et \(M'(z+z')\) forment un triangle dans lequel la longueur d’un côté est majorée par la somme des deux autres — d’où le nom « inégalité triangulaire ».
L’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z - z_0| = R\) est le cercle de centre \(\Omega(z_0)\) et de rayon \(R\). C’est l’analogue complexe de l’équation cartésienne du cercle.
Soit \(z \neq 0\). Un argument de \(z\) est tout angle \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que :
\[\cos\theta = \frac{a}{|z|} \qquad \text{et} \qquad \sin\theta = \frac{b}{|z|}\]
où \(z = a + bi\). L’argument est défini modulo \(2\pi\) : si \(\theta\) est un argument, alors \(\theta + 2k\pi\) aussi pour tout \(k \in \mathbb{Z}\).
On note \(\arg(z)\) un argument de \(z\) (ou l’ensemble de ses arguments). L'argument principal est l’unique argument dans \(]{-\pi}, \pi]\).
La formule \(\theta = \arctan(b/a)\) ne donne pas le bon quadrant. Il faut utiliser les deux conditions \(\cos\theta = a/|z|\) et \(\sin\theta = b/|z|\) simultanément.
Pour \(z = a + bi\) avec \(z \neq 0\) :
Pour tous \(z, z' \in \mathbb{C}^*\), et \(n \in \mathbb{Z}\) :
Écrivons \(z\) et \(z'\) sous forme trigonométrique : \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) et \(z' = r'(\cos\theta' + i\sin\theta')\) avec \(r, r' > 0\).
Produit. On calcule :
\(zz' = rr'\bigl[(\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\cos\theta\sin\theta' + \sin\theta\cos\theta')\bigr]\)
En utilisant les formules d’addition du cosinus et du sinus :
\(zz' = rr'\bigl(\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta')\bigr).\)
C’est la forme trigonométrique de \(zz'\) : son module vaut \(rr'\) et l’un de ses arguments est \(\theta + \theta' = \arg(z) + \arg(z')\) (à \(2\pi\) près).
Conjugué. \(\bar{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))\). Donc \(\arg(\bar{z}) \equiv -\theta = -\arg(z) \pmod{2\pi}\).
Quotient. \(\dfrac{1}{z'} = \dfrac{\bar{z'}}{|z'|^2} = \dfrac{1}{r'}\bigl(\cos(-\theta') + i\sin(-\theta')\bigr)\), donc \(\arg\!\left(\dfrac{1}{z'}\right) \equiv -\theta' \pmod{2\pi}\). En appliquant la règle du produit à \(\dfrac{z}{z'} = z \cdot \dfrac{1}{z'}\) : \(\arg\!\left(\dfrac{z}{z'}\right) \equiv \theta - \theta' \pmod{2\pi}\).
Puissance. Par récurrence sur \(n \in \mathbb{N}\) : vrai pour \(n = 0\) (\(\arg(1) \equiv 0\)) et \(n = 1\). Si \(\arg(z^n) \equiv n\theta\), alors \(\arg(z^{n+1}) = \arg(z^n \cdot z) \equiv n\theta + \theta = (n+1)\theta\). Pour \(n < 0\), on utilise \(z^n = 1/z^{-n}\). ∎
Tout complexe \(z \neq 0\) s’écrit sous la forme :
\[z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\]
où \(r = |z| > 0\) est le module et \(\theta = \arg(z)\) est un argument de \(z\). Cette écriture est appelée forme trigonométrique (ou polaire) de \(z\).
Existence. Soit \(z = a + ib \neq 0\). On pose \(r = |z| = \sqrt{a^2+b^2} > 0\), puis \(\cos\theta = a/r\) et \(\sin\theta = b/r\). Ces deux réels vérifient \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = (a^2+b^2)/r^2 = 1\), donc il existe bien un angle \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos\theta = a/r\) et \(\sin\theta = b/r\) (définition de l’argument, §2.3). Alors \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = a + ib = z\). ✓
Unicité (modulo \(2\pi\)). Supposons \(r(\cos\theta + i\sin\theta) = r'(\cos\theta' + i\sin\theta')\) avec \(r, r' > 0\). En prenant les modules : \(r = r'\) (le module est unique, §2.2). Il reste \(\cos\theta + i\sin\theta = \cos\theta' + i\sin\theta'\), d’où, en identifiant parties réelle et imaginaire, \(\cos\theta = \cos\theta'\) et \(\sin\theta = \sin\theta'\). Ceci impose \(\theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}\). ∎
Conclusion : pour \(z \neq 0\), la donnée de \(z\) équivaut exactement à celle du couple \((r, \theta)\) avec \(r > 0\) et \(\theta\) défini modulo \(2\pi\).
Soient \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) et \(z' = r'(\cos\theta' + i\sin\theta')\). Alors :
\[z \cdot z' = rr'\bigl(\cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\bigr)\]
\[\frac{z}{z'} = \frac{r}{r'}\bigl(\cos(\theta - \theta') + i\sin(\theta - \theta')\bigr)\]
Multiplier deux complexes revient à multiplier les modules et additionner les arguments.
\(z \cdot z' = rr'(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta')\)
\(= rr'\bigl[\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta' + i(\cos\theta\sin\theta' + \sin\theta\cos\theta')\bigr]\)
\(= rr'\bigl[\cos(\theta+\theta') + i\sin(\theta+\theta')\bigr]\)
en utilisant les formules d’addition de la trigonométrie. \(\square\)
Calculer \((1+i)(\sqrt{3}+i)\) en forme trigonométrique puis algébrique.
\(1+i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\) et \(\sqrt{3}+i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)
Produit : module \(= \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}\), argument \(= \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12}\).
Vérification algébrique : \((1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2 = (\sqrt{3}-1) + (1+\sqrt{3})i\).
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) et tout \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\]
Si \(z = \cos\theta + i\sin\theta\), alors \(|z| = 1\) et \(\arg(z) = \theta\). La formule du produit donne \(z^n = 1^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\). \(\square\)
En développant \((\cos\theta + i\sin\theta)^n\) par le binôme, puis en identifiant les parties réelle et imaginaire avec \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\), on obtient des expressions de \(\cos(n\theta)\) et \(\sin(n\theta)\) en fonction des puissances de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
On développe \((\cos\theta + i\sin\theta)^3\) :
\(= \cos^3\theta + 3\cos^2\theta (i\sin\theta) + 3\cos\theta(i\sin\theta)^2 + (i\sin\theta)^3\)
\(= \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta + i(3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta)\)
Par Moivre, la partie réelle est \(\cos(3\theta)\) et la partie imaginaire est \(\sin(3\theta)\) :
\[\cos(3\theta) = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\]
\[\sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta\]
La notation exponentielle pose par convention \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\). Cette notation, due à Euler, rend les calculs très élégants :
On note alors \(z = re^{i\theta}\) pour un complexe de module \(r\) et d’argument \(\theta\). Cette notation sera systématique au lycée et à l’université.
Chargement de Python (Pyodide)…
Pour une liste de nombres complexes, écrire un programme qui affiche sous forme de tableau :
Rappel Python : module : abs(z). Argument : cmath.phase(z) (en radians). Conversion : math.degrees(theta).
Écrire deux fonctions de conversion entre forme algébrique et forme trigonométrique :
forme_trigo(z) : prend un complexe \(z = a+bi\) et renvoie \((r, \theta)\)depuis_trigo(r, theta) : prend \((r, \theta)\) et renvoie le complexe \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)Rappel Python : abs(z) pour le module, cmath.phase(z) pour l’argument. Reconstruction : cmath.rect(r, theta) ou r*cos(theta) + r*sin(theta)*1j.
La formule de Moivre affirme que \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\). Écrire un programme qui :
Rappel Python : math.cos(), math.sin() pour les fonctions trigonométriques. complex(a, b) pour construire \(a + bi\). Module de la différence : abs(z1 - z2).
Les solutions de \(z^n = 1\) sont les \(n\) racines \(n\)-ièmes de l’unité, régulièrement réparties sur le cercle unité. Écrire un programme qui :
racines_unite(n) qui renvoie la liste des \(n\) racines : \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) pour \(k = 0, \ldots, n-1\)Rappel Python : cmath.rect(r, theta) construit \(r\,e^{i\theta}\). cmath.phase(z) donne l’argument. math.degrees() convertit en degrés.
On sait que \(\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\). Écrire un programme qui vérifie cette identité numériquement :
Rappel Python : conversion degrés vers radians : math.radians(deg). Puissance : math.cos(t)**3. Notation scientifique : :.2e.
| Notion | Définition / Formule | Piège à éviter |
|---|---|---|
| Affixe du milieu | \(\displaystyle z_I = \frac{z_A + z_B}{2}\) | Ne pas oublier de diviser par 2 |
| Distance | \(AB = |z_B - z_A|\) | C’est le module de la différence, pas de la somme |
| Translation | \(z' = z + t\) | \(t\) est l’affixe du vecteur, pas du centre |
| Rotation centre O angle \(\theta\) | \(z' = e^{i\theta} z\) | L’angle est en radians, pas en degrés |
| Similitude | \(z' = az + b\) avec \(a, b \in \mathbb{C}\) | Rapport \(= |a|\), angle \(= \arg(a)\) |
Si \(|z|=1\), alors \(\frac{1}{z} = \bar{z}\) (le conjugué). Donc \(z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re}(z) \in \mathbb{R}\). Si \(z = e^{i\theta}\), alors \(\frac{1}{z} = e^{-i\theta}\), et \(z + \frac{1}{z} = e^{i\theta}+e^{-i\theta} = 2\cos\theta\).
Complexes et géométrie : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|\). »
Cette égalité est-elle toujours vraie ?
C’est l'inégalité triangulaire : \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\), avec égalité seulement si \(z_1\) et \(z_2\) ont le même argument (même direction).
Exemple : \(z_1 = 1\), \(z_2 = i\). \(|1+i| = \sqrt{2} \approx 1{,}41\), mais \(|1|+|i| = 2\).
Mini-test : si \(z_1 = 3\) et \(z_2 = -2\), \(|z_1+z_2|\) vaut :
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« L’affixe du milieu de \([AB]\) est \(z_A + z_B\). »
Cette formule est-elle correcte ?
L’affixe du milieu est \(\dfrac{z_A + z_B}{2}\), pas \(z_A + z_B\). Il ne faut pas oublier de diviser par 2 !
Exemple : \(A(2)\) et \(B(6)\). Milieu : \(\frac{2+6}{2} = 4\), pas \(8\).
Mini-test : milieu de \([AB]\) avec \(z_A = 1+3i\) et \(z_B = 5+i\) :
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« \(\arg(z_1 \times z_2) = \arg(z_1) \times \arg(z_2)\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Les arguments s’ajoutent, ils ne se multiplient pas !
\(\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}\)
De même : \(\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\).
Mini-test : si \(\arg(z_1)=\frac{\pi}{3}\) et \(\arg(z_2)=\frac{\pi}{6}\), alors \(\arg(z_1 z_2)\) vaut :
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« Si \(|z| = 1\), alors \(z = 1\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(|z|=1\) signifie que \(z\) est sur le cercle unité. Il y a une infinité de tels nombres : \(z = e^{i\theta}\) pour tout \(\theta\).
Exemples : \(z = 1\), \(z = -1\), \(z = i\), \(z = -i\), \(z = \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\), etc.
Mini-test : quel est le module de \(z = e^{i\pi/4}\) ?
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« La distance entre deux points d’affixes \(z_1\) et \(z_2\) est \(|z_2 - z_1|\). »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
C’est vrai. Si \(z_1 = x_1 + iy_1\) et \(z_2 = x_2 + iy_2\), alors :
\(|z_2 - z_1| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = AB\)
C’est exactement la formule de la distance euclidienne.
Mini-test : distance entre \(z_1 = 1+i\) et \(z_2 = 4+5i\) :
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« Le conjugué de \(z\) est le symétrique par rapport à l’axe \((Oy)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Le conjugué \(\bar{z}\) est le symétrique par rapport à l’axe \((Ox)\) (axe réel), pas \((Oy)\).
Si \(z = a + bi\), alors \(\bar{z} = a - bi\) : la partie réelle reste, la partie imaginaire change de signe → réflexion par rapport à l’axe des abscisses.
Mini-test : le symétrique de \(z = 2+3i\) par rapport à l’axe réel est :
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