Maths Expertes · Math@mine
Les rotations d’un carré autour de son centre — 0°, 90°, 180°, 270° — peuvent se composer : tourner de 90° puis de 180° revient à tourner de 270°. Cette structure satisfait-elle les axiomes d’un groupe ?
Évariste Galois (1811–1832) invente la théorie des groupes à 20 ans pour répondre à une question vieille de siècles : pourquoi les équations de degré supérieur ou égal à 5 ne sont-elles pas résolubles par radicaux ? Il mourra en duel à 21 ans. Al-Khayyam (XIe siècle) avait approché le problème des cubiques sans disposer des outils de Galois.
Emmy Noether (1882–1935) fonde la théorie abstraite des anneaux et des corps, donnant un cadre unifié aux structures algébriques. Son théorème reliant symétries et lois de conservation est l’un des résultats les plus profonds de la physique mathématique.
📜 Lire l’article — Galois et Noether : la symétrie cachée des équations →
Montrer que \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +)\) est un groupe cyclique d’ordre 5 et trouver tous ses générateurs.
Une loi de composition interne sur un ensemble \(E\) est une application \(\star : E \times E \to E\), notée \((a, b) \mapsto a \star b\).
Soit \(\star\) une loi sur \(E\). On dit que \(\star\) est :
Un élément \(e \in E\) est un élément neutre si \(\forall a\in E,\ e\star a = a\star e = a\).
Si \(e\) existe, un élément \(a'\) est le symétrique (ou inverse) de \(a\) si \(a\star a' = a'\star a = e\).
Si une loi admet un élément neutre, celui-ci est unique. De même, si l’inverse d’un élément existe, il est unique.
Unicité du neutre. Soient \(e\) et \(e'\) deux éléments neutres. Alors \(e = e\star e'\) (car \(e'\) est neutre) et \(e\star e' = e'\) (car \(e\) est neutre). Donc \(e = e'\). ∎
Unicité de l’inverse. Supposons que \(a'\) et \(a''\) soient tous deux des inverses de \(a\). Alors :
\(a' = a'\star e = a'\star(a\star a'') = (a'\star a)\star a'' = e\star a'' = a''\). ∎
| Ensemble | Loi | Associative | Commutative | Neutre | Inverse |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbb{Z}\) | \(+\) | oui | oui | 0 | \(-a\) |
| \(\mathbb{Z}\) | \(\times\) | oui | oui | 1 | non (sauf ±1) |
| \(\mathbb{R}^*\) | \(\times\) | oui | oui | 1 | \(1/a\) |
| \(M_2(\mathbb{R})\) | \(\times\) | oui | non | \(I_2\) | si det≠0 |
| \(\mathbb{N}\) | \(-\) | non | non | — | — |
Un groupe est un couple \((G, \star)\) où \(\star\) est une loi interne sur \(G\) vérifiant :
Si de plus \(\star\) est commutative, le groupe est dit abélien (ou commutatif).
Dans un groupe \((G, \star)\) :
1–2. Déjà démontrés (unicité du neutre et de l’inverse, section I).
3. \((a^{-1})^{-1}\) est l’inverse de \(a^{-1}\). Or \(a\star a^{-1} = e\) et \(a^{-1}\star a = e\), donc \(a\) est bien l’inverse de \(a^{-1}\). Par unicité : \((a^{-1})^{-1} = a\). ∎
4. Vérifions que \(b^{-1}\star a^{-1}\) est l’inverse de \(a\star b\) :
\((a\star b)\star(b^{-1}\star a^{-1}) = a\star(b\star b^{-1})\star a^{-1} = a\star e\star a^{-1} = a\star a^{-1} = e\). ∎
5. Existence : \(x = a^{-1}\star b\) est solution de \(a\star x = b\). Unicité : si \(a\star x = a\star y\), alors \(x = a^{-1}\star(a\star x) = a^{-1}\star(a\star y) = y\). ∎
Une partie \(H\) d’un groupe \((G, \star)\) est un sous-groupe de \(G\) si :
\(H \subseteq G\) est un sous-groupe si et seulement si \(H \neq \emptyset\) et :
\(\forall a, b \in H,\quad a\star b^{-1} \in H\)
⟹ Si \(H\) est un sous-groupe, alors \(b\in H\Rightarrow b^{-1}\in H\), puis \(a,b^{-1}\in H\Rightarrow a\star b^{-1}\in H\). ✓
⟸ Supposons \(H\neq\emptyset\) et \(\forall a,b\in H,\ a\star b^{-1}\in H\).
∎
Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les ensembles de la forme \(n\mathbb{Z}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
On a déjà vu que \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe pour tout \(n\).
Réciproquement, soit \(H\) un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\). Si \(H=\{0\}=0\mathbb{Z}\), c’est bon. Sinon, \(H\) contient un élément non nul, et puisque \(H\) est stable par opposé, il contient un élément strictement positif. Soit \(n\) le plus petit élément strictement positif de \(H\) (il existe par bon ordre de \(\mathbb{N}\)).
Clairement \(n\mathbb{Z}\subseteq H\). Montrons \(H\subseteq n\mathbb{Z}\). Soit \(a\in H\). La division euclidienne donne \(a=nq+r\) avec \(0\le r\lt n\). Alors \(r=a-nq\in H\) (car \(a\in H\) et \(nq\in n\mathbb{Z}\subseteq H\)). Par minimalité de \(n\), \(r=0\). Donc \(a=nq\in n\mathbb{Z}\). ∎
Pour \(n\ge2\), on note \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) \(= \{\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{n-1}\}\) l’ensemble des classes de congruence modulo \(n\), muni de l’addition \(\bar{a}+\bar{b} = \overline{a+b}\).
\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) est un groupe abélien d’ordre \(n\).
Si \(G\) est un groupe fini d’ordre \(|G|\) et \(H\) un sous-groupe de \(G\), alors \(|H|\) divise \(|G|\).
L'ordre d’un élément \(a\) dans un groupe fini \(G\) est le plus petit \(k\ge1\) tel que \(a^k = e\). Il divise \(|G|\). En particulier, \(a^{|G|} = e\).
L’ensemble \(H = \langle a\rangle = \{e, a, a^2, \ldots, a^{k-1}\}\) (où \(k\) est l’ordre de \(a\)) est un sous-groupe de \(G\) d’ordre \(k\). Par Lagrange, \(k\mid|G|\). Donc \(|G|=km\) pour un entier \(m\), et \(a^{|G|}=(a^k)^m=e^m=e\). ∎
Dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) :
| Élément \(\bar a\) | \(\bar1\) | \(\bar2\) | \(\bar3\) | \(\bar4\) | \(\bar5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Ordre | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
Les ordres (1, 2, 3, 6) divisent bien \(|G|=6\).
Un groupe \(G\) est cyclique s’il existe \(g\in G\) tel que tout élément de \(G\) est une puissance de \(g\) : \(G = \langle g\rangle\). On dit que \(g\) est un générateur de \(G\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), l'indicatrice d’Euler \(\varphi(n)\) est le nombre d’entiers \(a\) tels que \(1 \leqslant a \leqslant n\) et \(\pgcd(a, n) = 1\) :
\[\varphi(n) = \#\{a \in \{1, 2, \ldots, n\} \mid \pgcd(a, n) = 1\}.\]
Exemples : \(\varphi(1) = 1\), \(\varphi(p) = p - 1\) pour \(p\) premier, \(\varphi(pq) = (p-1)(q-1)\) pour \(p, q\) premiers distincts.
\(\bar a\) est un générateur de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) si et seulement si \(\pgcd(a, n) = 1\).
Le nombre de générateurs est \(\varphi(n)\).
\(\bar a\) est générateur ssi \(\langle\bar a\rangle = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), i.e. ssi on peut atteindre \(\bar1\) par des multiples de \(\bar a\) : \(\exists k\in\mathbb{Z},\ ka\equiv1\pmod n\), ce qui équivaut à \(\pgcd(a,n)=1\) (existence de l’inverse de \(a\) mod \(n\)). ∎
Un anneau est un triplet \((A, +, \times)\) où :
Si \(\times\) est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Dans tout anneau \((A, +, \times)\) :
1. \(0\times a = (0+0)\times a = 0\times a + 0\times a\). En ajoutant \(-(0\times a)\) des deux côtés : \(0 = 0\times a\). ∎
2. \((-a)\times b + a\times b = (-a+a)\times b = 0\times b = 0\). Donc \((-a)\times b = -(a\times b)\). ∎
3. \((-a)\times(-b) = -(a\times(-b)) = -(-(a\times b)) = a\times b\). ∎
Dans un anneau \(A\), un élément \(a\neq0\) est un diviseur de zéro s’il existe \(b\neq0\) tel que \(ab=0\).
Un anneau commutatif sans diviseur de zéro est dit intègre.
Un corps est un anneau commutatif \((K, +, \times)\) dans lequel tout élément non nul est inversible pour \(\times\) :
\(\forall a \in K\setminus\{0\},\ \exists a^{-1}\in K,\quad a\times a^{-1} = 1\)
Autrement dit : \((K\setminus\{0\}, \times)\) est un groupe abélien.
Pour tout nombre premier \(p\), \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times)\) est un corps.
Il faut montrer que tout élément \(\bar a \neq \bar 0\) est inversible modulo \(p\), i.e. que \(ax\equiv1\pmod p\) a une solution.
Puisque \(\bar a \neq \bar 0\), on a \(p\nmid a\). Comme \(p\) est premier, \(\pgcd(a,p)=1\). Par le théorème de Bézout, il existe \(u,v\in\mathbb{Z}\) tels que \(au+pv=1\), donc \(au\equiv1\pmod p\). Ainsi \(\bar u = \bar a^{-1}\). ∎
Tout corps est un anneau intègre.
Soit \(K\) un corps et \(a, b\in K\) avec \(ab=0\) et \(a\neq0\). Alors \(a\) est inversible : \(b = a^{-1}\cdot(ab) = a^{-1}\cdot0 = 0\). ∎
\((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
⟸ Déjà prouvé ci-dessus.
⟹ Si \(n\) est composé, \(n=ab\) avec \(1\lt a,b\lt n\). Alors \(\bar a\neq\bar0\) et \(\bar b\neq\bar0\) mais \(\bar a\cdot\bar b=\bar n=\bar0\). Donc \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) a des diviseurs de zéro, n’est pas intègre, donc pas un corps. ∎
Il existe un corps fini à \(q\) éléments si et seulement si \(q = p^k\) pour un premier \(p\) et un entier \(k\ge1\). Ces corps sont notés \(\mathbb{F}_{p^k}\) ou \(\mathrm{GF}(p^k)\) (Galois Field).
Soient \((G,\star)\) et \((H,\cdot)\) deux groupes. Une application \(f:G\to H\) est un homomorphisme si :
\(\forall a,b\in G,\quad f(a\star b) = f(a)\cdot f(b)\)
Un homomorphisme bijectif est un isomorphisme. Si \(G=H\), c’est un automorphisme.
Soit \(f:G\to H\) un homomorphisme de groupes. Alors :
1. \(f(e_G)\cdot f(e_G) = f(e_G\star e_G)=f(e_G)=f(e_G)\cdot e_H\). En simplifiant par \(f(e_G)\) : \(f(e_G)=e_H\). ∎
2. \(f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\star a^{-1})=f(e_G)=e_H\), donc \(f(a^{-1})=f(a)^{-1}\). ∎
3. \(f(G)\ni e_H\) (par 1). Soient \(f(a),f(b)\in f(G)\) : \(f(a)\cdot f(b)^{-1}=f(a)\cdot f(b^{-1})=f(a\star b^{-1})\in f(G)\). Par le critère des sous-groupes, \(f(G)\) est un sous-groupe. ∎
4. \(e_G\in\ker f\) (par 1). Soient \(a,b\in\ker f\) : \(f(a\star b^{-1})=f(a)\cdot f(b)^{-1}=e_H\cdot e_H^{-1}=e_H\), donc \(a\star b^{-1}\in\ker f\). ∎
Un homomorphisme \(f:G\to H\) est injectif si et seulement si \(\ker(f)=\{e_G\}\).
⟹ Si \(f\) est injective et \(f(a)=e_H=f(e_G)\), alors \(a=e_G\). Donc \(\ker f=\{e_G\}\). ∎
⟸ Si \(\ker f=\{e_G\}\) et \(f(a)=f(b)\), alors \(f(a\star b^{-1})=f(a)\cdot f(b)^{-1}=e_H\), donc \(a\star b^{-1}\in\ker f=\{e_G\}\), soit \(a\star b^{-1}=e_G\), d’où \(a=b\). ∎
Écrire une fonction table_cayley(n, op) qui affiche la table de Cayley de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
op vaut 'add' ou 'mul' selon l’opération choisie (addition ou multiplication modulo \(n\)).Rappel Python : (a + b) % n pour l’addition modulo \(n\). lambda a, b: expr pour une fonction anonyme. f-string : f"{x:2d}" pour un entier sur 2 caractères.
Étudier l’ordre des éléments et les générateurs du groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\).
ordre_element(a, n) qui retourne le plus petit \(k > 0\) tel que \(k \cdot a \equiv 0 \pmod{n}\).generateurs(n) qui retourne la liste des générateurs de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\), c’est-a-dire les \(a\) tels que \(\pgcd(a, n) = 1\).Rappel Python : math.gcd(a, n) pour le PGCD. L’ordre de \(a\) divise toujours \(n\) (théorème de Lagrange).
Déterminer pour quelles valeurs de \(n\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps (tout élément non nul est inversible pour \(\times\)).
est_corps(n) qui vérifie si chaque élément non nul de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) possède un inverse multiplicatif.inverses_mult(n) qui retourne un dictionnaire des inverses multiplicatifs.Rappel Python : any(condition for b in range(...)) teste si au moins un élément vérifie la condition. \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
Vérifier expérimentalement que certaines fonctions classiques sont des homomorphismes de groupes.
est_homomorphisme(f, G_elements, H_op, n_H) qui teste si \(f(a + b) = f(a) \star f(b)\) pour tout \(a, b\).Rappel Python : lambda k: k % 6 pour une fonction anonyme. math.exp(x) pour l’exponentielle. assert pour vérifier une condition.
Illustrer le théorème de Cayley : tout groupe fini \(G\) est isomorphe a un sous-groupe du groupe des permutations de \(G\).
groupe_ZnZ(n) qui retourne les éléments et la table de \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\).representation_cayley(elems, table) qui associe a chaque élément \(g\) la permutation \(L_g : x \mapsto g \star x\) (translation a gauche).Rappel Python : dictionnaire en compréhension : {(a, b): expr for a in ... for b in ...}. Composition : [fg[fh[x]] for x in elems].
Ce chapitre est hors programme (préparation classes préparatoires).
| Notion | Définition / Formule | Piège à éviter |
|---|---|---|
| Groupe \((G, \star)\) | Associativité, élément neutre, inverse pour tout élément | Vérifier les 4 axiomes (fermeture, associativité, neutre, inverse) |
| Sous-groupe | Partie non vide stable par \(\star\) et par passage à l’inverse | Ne pas oublier de vérifier que la partie est non vide |
| Anneau \((A, +, \times)\) | \((A, +)\) groupe abélien, \((A, \times)\) monoïde, distributivité de \(\times\) sur \(+\) | La multiplication n’est pas nécessairement commutative |
| Corps | Anneau commutatif où tout élément non nul est inversible | L’élément nul \(0\) n’est jamais inversible |
| \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)\) | Corps si et seulement si \(n\) est premier | Si \(n\) n’est pas premier, il y a des diviseurs de zéro |
Pour \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}, +)\) : l’élément 1 engendre tout le groupe (\(1,2,3,4,0\)), de même 2, 3 et 4 : tout élément non nul est générateur. Pour \((\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}^*, \times)\) : \(2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1\) — 2 est un générateur. De même, 3 est un générateur (\(3,4,2,1\)). Les générateurs sont donc 2 et 3.
Structures algébriques : teste d’abord ton intuition.
« \((\mathbb{Z}, \times)\) est un groupe. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est faux ! Pour être un groupe, il faudrait que tout élément ait un inverse pour la multiplication. Or, l’inverse de 2 serait \(1/2\), qui n’appartient pas à \(\mathbb{Z}\). En fait, les seuls éléments inversibles de \((\mathbb{Z}, \times)\) sont 1 et −1.
Mini-test : quels sont les éléments inversibles de \((\mathbb{Z}, \times)\) ?
Voir section 2
« Si une partie \(H\) d’un groupe \(G\) est stable par la loi, alors \(H\) est un sous-groupe de \(G\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est faux ! La stabilité seule ne suffit pas. Il faut aussi vérifier que \(H\) contient le neutre et que tout élément de \(H\) a son inverse dans \(H\). Par exemple : \(\mathbb{N}\) est stable dans \((\mathbb{Z}, +)\) mais n’est pas un sous-groupe (−1 n’a pas d’opposé dans \(\mathbb{N}\)).
Mini-test : \(\mathbb{N}\) est-il un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\) ?
Voir section 2
« \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps pour tout \(n \geq 2\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est faux ! \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier. Par exemple, dans \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\), l’élément \(\bar{2}\) n’est pas inversible car \(\pgcd(2,6) \neq 1\). De plus, \(\bar{2} \times \bar{3} = \bar{0}\) : il y a des diviseurs de zéro.
Mini-test : \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est :
Voir section 5
« Un morphisme de groupes envoie nécessairement tout élément sur l’élément neutre. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est faux ! C’est la description du morphisme trivial, qui est un cas particulier. Un morphisme \(f: G \to G'\) vérifie \(f(xy) = f(x)f(y)\), ce qui implique \(f(e_G) = e_{G'}\), mais les autres éléments peuvent avoir des images variées. Par exemple, \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(x \mapsto 2x\) est un morphisme de \((\mathbb{Z},+)\).
Mini-test : \(f(x) = 2x\) de \((\mathbb{Z},+)\) vers \((\mathbb{Z},+)\). On a \(f(3) =\) :
Voir section 6
« La soustraction dans \(\mathbb{Z}\) est une loi de composition interne associative. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est faux ! La soustraction est bien une LCI sur \(\mathbb{Z}\) (stable), mais elle n’est pas associative. Contre-exemple : \((5 - 3) - 2 = 0\), mais \(5 - (3 - 2) = 4\). Donc \((\mathbb{Z}, -)\) n’est pas un groupe.
Mini-test : \((10 - 4) - 3\) et \(10 - (4 - 3)\) valent respectivement :
Voir section 1
« L’image d’un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe d’arrivée. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
C’est vrai ! Si \(f: G \to G'\) est un morphisme, alors \(\text{Im}(f) = f(G)\) est un sous-groupe de \(G'\). En effet : le neutre \(e_{G'} = f(e_G) \in \text{Im}(f)\) ; si \(f(a), f(b) \in \text{Im}(f)\), alors \(f(a) \cdot f(b)^{-1} = f(a) \cdot f(b^{-1}) = f(ab^{-1}) \in \text{Im}(f)\).
Mini-test : \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(x \mapsto 3x\). L’image de \(f\) est :
Voir section 6