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Chapitre 5 — Complexes en géométrie et transformations du plan

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Ch4 📖 Cours ✏️ Exercices

Rotations et translations

1

Images par des transformations

Soit \(A(2+i)\), \(B(-1+3i)\), \(C(4-2i)\). Calculer les images par :

  1. La translation de vecteur d’affixe \(b = 1 - 2i\).
  2. La rotation de centre \(O\) et d’angle \(\pi/2\).
  3. La rotation de centre \(\Omega(1+i)\) et d’angle \(\pi\).
  4. La symétrie centrale de centre \(I(2)\).
Correction
  1. \(A'=3-i\), \(B'=2i\), \(C'=5-4i\).
  2. \(e^{i\pi/2}=i\). \(A'=i(2+i)=-1+2i\), \(B'=i(-1+3i)=-3-i\), \(C'=i(4-2i)=2+4i\).
  3. Rotation d’angle \(\pi\) de centre \(\Omega(1+i)\) : \(z'=2(1+i)-z\). \(A'=2+2i-(2+i)=i\). \(B'=2+2i-(-1+3i)=3-i\). \(C'=2+2i-(4-2i)=-2+4i\).
  4. \(z'=2\times2-z=4-z\). \(A'=2-i\), \(B'=5-3i\), \(C'=0+2i\).
2

Triangle équilatéral

Soient \(A(0)\) et \(B(4)\). On cherche \(C\) tel que \(ABC\) soit équilatéral (direct).

  1. Exprimer \(z_C\) comme image de \(z_B\) par une rotation de centre \(A\).
  2. Calculer \(z_C\).
  3. Vérifier que \(AB = BC = CA\).
Correction
  1. C est l’image de B par la rotation de centre A et d’angle \(\pi/3\) (sens direct).
  2. \(z_C - 0 = e^{i\pi/3}(4-0) = 4\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2+2i\sqrt{3}\).
  3. \(AB=4\). \(BC=|z_C-z_B|=|2+2i\sqrt{3}-4|=|-2+2i\sqrt{3}|=\sqrt{4+12}=4\). \(CA=|z_A-z_C|=|{-2-2i\sqrt{3}}|=4\). ✓
3

Reconnaître une transformation

Pour chaque application \(f\), identifier la transformation, son type, son centre (ou vecteur) et son angle (ou rapport) :

  1. \(f(z) = iz + 2 - 2i\)
  2. \(f(z) = -z + 4 + 2i\)
  3. \(f(z) = 3z - 6\)
  4. \(f(z) = (1+i\sqrt{3})z + 2\)
Correction
  1. \(a=i\), \(|a|=1\), \(\arg(i)=\pi/2\). Rotation d’angle \(\pi/2\). Centre : \(\omega=\frac{2-2i}{1-i}=\frac{(2-2i)(1+i)}{2}=\frac{2+2i-2i+2}{2}=2\). Centre \(\Omega(2)\).
  2. \(a=-1\), \(|a|=1\), \(\arg(-1)=\pi\). Rotation d’angle \(\pi\) = symétrie centrale. Centre : \(\omega=\frac{4+2i}{2}=2+i\).
  3. \(a=3\in\mathbb{R}\), \(b=-6\). Homothétie de rapport 3. Centre : \(\omega=\frac{-6}{1-3}=\frac{-6}{-2}=3\). Centre \(\Omega(3)\).
  4. \(a=1+i\sqrt{3}\), \(|a|=2\), \(\arg(a)=\pi/3\). Similitude directe de rapport 2 et d’angle \(\pi/3\). Centre : \(\omega=\frac{2}{1-(1+i\sqrt{3})}=\frac{2}{-i\sqrt{3}}=\frac{2i}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}i\).

Similitudes et compositions

4

Similitude définie par deux points

Il existe une unique similitude directe qui envoie \(A(1)\) sur \(A'(i)\) et \(B(2)\) sur \(B'(3i)\).

  1. En écrivant \(z' = az + b\), former un système de deux équations et résoudre.
  2. Déterminer le type, le rapport, l’angle et le centre de cette similitude.
Correction
  1. Système : \(\{a+b=i \text{ et } 2a+b=3i\}\). Soustraction : \(a=2i\). Donc \(b=i-2i=-i\). La similitude est \(z'=2iz-i\).
  2. \(a=2i\) : \(|a|=2\) (rapport 2), \(\arg(2i)=\pi/2\) (angle \(\pi/2\)). Centre : \(\omega=\frac{-i}{1-2i}=\frac{-i(1+2i)}{5}=\frac{-i+2}{5}=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i\).
5

Composée de deux rotations

Soit \(r_1\) la rotation de centre \(A(1)\) et d’angle \(\pi/2\), et \(r_2\) la rotation de centre \(B(i)\) et d’angle \(\pi/2\).

  1. Écrire \(r_1\) et \(r_2\) sous la forme \(z'=az+b\).
  2. Calculer \(r_2 \circ r_1\). De quel type est cette transformation ?
  3. Déterminer son centre si c’est une rotation, ou son vecteur si c’est une translation.
Correction
  1. \(r_1 : z'=iz+1(1-i)=iz+(1-i)\). \(r_2 : z'=iz+i(1-i)=iz+(i+1)=iz+(1+i)\).
  2. \(r_2\circ r_1 : z\mapsto i(iz+(1-i))+(1+i)=-z+i(1-i)+(1+i)=-z+(i+1+1+i)=-z+2+2i\).
  3. \(a=-1\) : \(|a|=1\), \(\arg(-1)=\pi\). Rotation d’angle \(\pi\) (symétrie centrale). Centre : \(\omega=\frac{2+2i}{2}=1+i\).
6

Synthèse

Carré et rotation

Soit \(ABCD\) un carré de centre \(\Omega\), parcouru dans le sens direct. On note \(r\) la rotation de centre \(\Omega\) et d’angle \(\pi/2\).

  1. Montrer que \(r(A)=B\), \(r(B)=C\), \(r(C)=D\), \(r(D)=A\).
  2. En déduire que les diagonales d’un carré sont perpendiculaires et de même longueur.
  3. Si \(A(0)\) et \(B(2+2i)\), calculer \(\Omega\), \(C\) et \(D\).
Correction
  1. Par définition du carré : les sommets se déduisent l’un de l’autre par rotation de \(\pi/2\) autour du centre. \(r\) envoie chaque sommet sur le suivant.
  2. Les diagonales \(AC\) et \(BD\) ont pour milieu commun \(\Omega\). \(r\) envoie \(A\) sur \(B\) et \(C\) sur \(D\), donc \(\overrightarrow{\Omega B}\) est l’image de \(\overrightarrow{\Omega A}\) par rotation de \(\pi/2\) : perpendiculaires et même longueur.
  3. \(\Omega\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\). \(C\) est l’image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega\). On utilise \(r\) : \(z_B - z_\Omega = i(z_A - z_\Omega)\). Et \(z_\Omega = \frac{z_A+z_C}{2}\). Plutôt : \(z_B = iz_A + (1-i)z_\Omega\)… Méthode directe : \(z_C - z_A = i(z_B - z_A)\) (rotation de \(\pi/2\) autour de A pour les côtés du carré… non, ce n’est pas le bon centre). On a \(\Omega = \frac{A+C}{2}=\frac{B+D}{2}\). On utilise \(z_B-z_A=2+2i\) et la rotation de \(\pi/2\) autour du milieu de \(AB\) pour trouver \(D\) et \(C\). \(\overrightarrow{AB}\) d’affixe \(2+2i\), donc \(\overrightarrow{AD} = i\cdot(-\overrightarrow{AB})\)… Simplement : \(z_D = z_A + i(z_B-z_A) \cdot (-1) \) non. Pour un carré \(ABCD\) direct : \(z_D = z_A + i(z_A-z_B) \cdot... \) Méthode : \(z_C = z_B + i(z_B-z_A)\) (tourner \(\overrightarrow{BA}\) de \(\pi/2\)). \(z_C = 2+2i + i(2+2i) = 2+2i+2i-2 = 4i\). \(z_D = z_A + i(z_A - z_B) \cdot... \) \(z_D = z_A + (z_C - z_B) = 0 + 4i - 2-2i = -2+2i\). \(\Omega = \frac{0+4i}{2} = 2i\). Vérif : \(\frac{z_B+z_D}{2}=\frac{2+2i+(-2+2i)}{2}=\frac{4i}{2}=2i\) ✓.
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Problème

Spirale de similitudes

On considère la similitude \(f : z' = \dfrac{1+i}{2} z\).

  1. Identifier le type, le rapport et l’angle de \(f\).
  2. Calculer les 8 premières images de \(A(4)\) par itération de \(f\).
  3. Montrer que \(f^8\) est une homothétie. Quel est son rapport ?
Correction
  1. \(a = \frac{1+i}{2}\) : \(|a| = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (rapport), \(\arg(a)=\pi/4\) (angle). Similitude de rapport \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) et d’angle \(\pi/4\), de centre \(O\).
  2. \(z_0=4\), \(z_1=2(1+i)=2+2i\), \(z_2=2i\), \(z_3=-1+i\), \(z_4=-1\), \(z_5=\frac{-1-i}{2}\times...\) (par itération \(z_n = a^n \cdot 4\)). Les points s’enroulent en spirale vers 0.
  3. \(f^8 : z' = a^8 z\). \(a^8 = \left(\frac{1+i}{2}\right)^8 = \frac{(1+i)^8}{256}\). \((1+i)^2=2i\), \((1+i)^4=-4\), \((1+i)^8=16\). Donc \(a^8=\frac{16}{256}=\frac{1}{16}\). \(f^8\) est l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(\frac{1}{16}\).
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