Maths Expertes · Math@mine
Un signal alternatif est modélisé par \(V(t) = 220\sqrt{2}\cos(100\pi t)\). On peut l’écrire sous forme complexe comme la partie réelle de \(220\sqrt{2}\,e^{i\,100\pi t}\).
Al-Battani (IXe–Xe siècle, Syrie) et Nasir al-Din al-Tusi (XIIIe siècle) développent des tables trigonométriques d’une précision remarquable — base indispensable pour les développements futurs. Abraham de Moivre (1722) formule sa célèbre identité \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\).
Euler (1748) unifie trigonométrie et exponentielle complexe avec sa formule \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) — considérée comme la plus belle formule des mathématiques. Le cas particulier \(e^{i\pi} + 1 = 0\) relie les cinq constantes fondamentales.
📜 Cardano et Bombelli : oser l’imaginaire → 📜 Histoire de la trigonométrie →
En utilisant la formule de Moivre, exprimer \(\cos(3\theta)\) et \(\sin(3\theta)\) en termes de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
Posons \(z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) (complexe de module 1 et d’argument \(\theta\)). La notation exponentielle \(e^{i\theta}\) a été introduite au chapitre 2, section 2.5 (Notation exponentielle d’Euler). Alors :
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
Notons \(z = e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\).
Conjugué. Par parité du cosinus et imparité du sinus : \(\cos(-\theta) = \cos\theta\) et \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\). Donc :
\(\bar{z} = \cos\theta - i\sin\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = e^{-i\theta}.\)
Formule du cosinus. On ajoute \(z\) et \(\bar{z}\) :
\(z + \bar{z} = (\cos\theta + i\sin\theta) + (\cos\theta - i\sin\theta) = 2\cos\theta,\)
d’où \(\cos\theta = \dfrac{z + \bar{z}}{2} = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\).
Formule du sinus. On soustrait :
\(z - \bar{z} = 2i\sin\theta,\)
d’où \(\sin\theta = \dfrac{z - \bar{z}}{2i} = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\). ∎
Ces deux formules — \(\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\) et \(\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\) — sont le point de départ de la linéarisation et des formules d’addition. À retenir absolument.
On calcule le produit \(e^{ia} \cdot e^{ib}\) de deux façons :
D’une part : \(e^{ia} \cdot e^{ib} = e^{i(a+b)} = \cos(a+b) + i\sin(a+b)\)
D’autre part :
\((\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)\)
\(= \cos a \cos b - \sin a \sin b + i(\sin a \cos b + \cos a \sin b)\)
En identifiant parties réelle et imaginaire : \(\square\)
En remplaçant \(b\) par \(-b\) (et en utilisant \(\cos(-b)=\cos b\), \(\sin(-b)=-\sin b\)) :
\(\cos\frac{\pi}{12} = \cos\!\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)
On applique les formules d’addition avec \(b = a\) :
\(\cos(2a) = \cos(a+a) = \cos a\cos a - \sin a\sin a = \cos^2 a - \sin^2 a.\)
En utilisant \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), on peut réécrire :
\(\cos(2a) = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = 2\cos^2 a - 1 = (1 - \sin^2 a) - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a.\)
De même :
\(\sin(2a) = \sin(a+a) = \sin a\cos a + \cos a\sin a = 2\sin a\cos a.\) ∎
La linéarisation consiste à exprimer \(\cos^n\theta\) ou \(\sin^n\theta\) en combinaison linéaire de \(\cos(k\theta)\) et \(\sin(k\theta)\). Elle est indispensable pour calculer certaines intégrales ou résoudre des équations différentielles.
On pose \(z = e^{i\theta}\), puis on utilise :
\[2\cos\theta = z + z^{-1} \qquad 2i\sin\theta = z - z^{-1}\]
On développe \((z+z^{-1})^n\) ou \((z-z^{-1})^n\) par le binôme, puis on regroupe les termes conjugués \(z^k + z^{-k} = 2\cos(k\theta)\) ou \(z^k - z^{-k} = 2i\sin(k\theta)\).
On écrit \(2\cos\theta = z + z^{-1}\) donc \((2\cos\theta)^3 = (z+z^{-1})^3\).
\((z+z^{-1})^3 = z^3 + 3z + 3z^{-1} + z^{-3} = (z^3+z^{-3}) + 3(z+z^{-1})\)
\(= 2\cos(3\theta) + 3 \cdot 2\cos\theta\)
Donc \(8\cos^3\theta = 2\cos(3\theta) + 6\cos\theta\), soit :
\[\boxed{\cos^3\theta = \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta}\]
On écrit \(2i\sin\theta = z - z^{-1}\) donc \((2i\sin\theta)^4 = (z-z^{-1})^4\).
Le membre gauche vaut \(16i^4\sin^4\theta = 16\sin^4\theta\).
On développe \((z-z^{-1})^4\) par le binôme :
\(= z^4 - 4z^2 + 6 - 4z^{-2} + z^{-4} = (z^4+z^{-4}) - 4(z^2+z^{-2}) + 6\)
\(= 2\cos(4\theta) - 4 \cdot 2\cos(2\theta) + 6\)
Donc \(16\sin^4\theta = 2\cos(4\theta) - 8\cos(2\theta) + 6\), soit :
\[\boxed{\sin^4\theta = \frac{1}{8}\cos(4\theta) - \frac{1}{2}\cos(2\theta) + \frac{3}{8}}\]
On utilise \(\cos^2\theta\sin^2\theta = \frac{1}{4}\sin^2(2\theta)\) (formule de duplication), puis :
\(\sin^2(2\theta) = \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\)
Donc \(\cos^2\theta\sin^2\theta = \dfrac{1-\cos(4\theta)}{8}\).
En combinant la linéarisation et les outils d’intégration du cours de spécialité (ch7 Terminale), on calcule des intégrales impossibles à primitiver directement. Par exemple :
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta\,d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos(3\theta)+3\cos\theta}{4}\,d\theta = \left[\frac{\sin(3\theta)}{12}+\frac{3\sin\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}\)
\(= \frac{\sin(3\pi/2)}{12}+\frac{3\sin(\pi/2)}{4} = \frac{-1}{12}+\frac{3}{4} = \frac{-1+9}{12} = \frac{2}{3}\)
La technique se systématise en classes préparatoires pour toutes les intégrales de \(\cos^n\) et \(\sin^n\). L’exigence précise n’est pas au programme de Maths Expertes ; cet exemple illustre la puissance de la linéarisation.
On combine les formules d’addition :
\(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b \qquad (1)\)
\(\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b \qquad (2)\)
Produit \(\cos a\cos b\) : en additionnant (1) et (2), les termes en \(\sin a\sin b\) s’éliminent :
\(\cos(a+b) + \cos(a-b) = 2\cos a\cos b\), d’où \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(a-b) + \cos(a+b)\bigr].\)
Produit \(\sin a\sin b\) : en soustrayant (1) à (2), les termes en \(\cos a\cos b\) s’éliminent :
\(\cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a\sin b\), d’où \(\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(a-b) - \cos(a+b)\bigr].\)
Produit \(\sin a\cos b\) : on utilise les formules d’addition du sinus :
\(\sin(a+b) + \sin(a-b) = (\sin a\cos b + \cos a\sin b) + (\sin a\cos b - \cos a\sin b) = 2\sin a\cos b,\)
d’où la troisième formule. ∎
On part des formules de Werner et on pose \(p = a + b\), \(q = a - b\) ; alors \(a = \dfrac{p+q}{2}\) et \(b = \dfrac{p-q}{2}\).
\(\cos p + \cos q\) : d’après Werner, \(2\cos a\cos b = \cos(a-b) + \cos(a+b) = \cos q + \cos p\), donc :
\(\cos p + \cos q = 2\cos\!\dfrac{p+q}{2}\cos\!\dfrac{p-q}{2}.\)
\(\cos p - \cos q\) : \(2\sin a\sin b = \cos(a-b) - \cos(a+b) = \cos q - \cos p\), d’où :
\(\cos p - \cos q = -2\sin a\sin b = -2\sin\!\dfrac{p+q}{2}\sin\!\dfrac{p-q}{2}.\)
\(\sin p + \sin q\) : \(2\sin a\cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b) = \sin p + \sin q\), d’où :
\(\sin p + \sin q = 2\sin\!\dfrac{p+q}{2}\cos\!\dfrac{p-q}{2}.\) ∎
On factorise avec la formule somme → produit :
\(\cos(3x) + \cos(x) = 2\cos\!\left(\frac{3x+x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2\cos(2x)\cos(x) = 0\)
Donc \(\cos(2x) = 0\) ou \(\cos(x) = 0\), soit \(x = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\) ou \(x = \dfrac{\pi}{2}+k\pi\) pour \(k \in \mathbb{Z}\).
On vérifie que \(x = \frac{\pi}{2}+k\pi\) est déjà inclus dans le premier ensemble.
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) trois points distincts du plan complexe. Alors :
\[\arg\!\left(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \widehat{BAC} \pmod{2\pi}\]
où \(\widehat{BAC}\) désigne la mesure orientée de l’angle \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(z_B - z_A\) (chapitre 2). Un argument de ce complexe est, par définition, l’angle orienté entre l’axe des réels \((\overrightarrow{Ox})\) et le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :
\(\arg(z_B - z_A) \equiv (\overrightarrow{Ox},\, \overrightarrow{AB}) \pmod{2\pi}.\)
De même, \(\arg(z_C - z_A) \equiv (\overrightarrow{Ox},\, \overrightarrow{AC}) \pmod{2\pi}\).
D’après la propriété de l’argument d’un quotient (chapitre 2) :
\(\arg\!\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \equiv \arg(z_C - z_A) - \arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}.\)
Par la relation de Chasles sur les angles orientés :
\((\overrightarrow{Ox},\, \overrightarrow{AC}) - (\overrightarrow{Ox},\, \overrightarrow{AB}) \equiv (\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} \pmod{2\pi}.\)
D’où le résultat. ∎
Soient \(A(0)\), \(B(1)\), \(C(e^{i\pi/3})\). Montrer que \(ABC\) est équilatéral.
\(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{e^{i\pi/3} - 0}{1 - 0} = e^{i\pi/3}\)
Module \(= 1\) donc \(AB = AC\). Argument \(= \pi/3\) donc \(\widehat{BAC} = 60°\). Triangle isocèle avec angle de \(60°\) : équilatéral. \(\square\)
Chargement de Python (Pyodide)…
Les formules d’addition donnent \(\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\). Écrire un programme qui :
Rappel Python : math.radians(deg) convertit en radians. math.cos(), math.sin(). Format tableau : f"{val:>12.6f}".
La linéarisation de \(\cos^3\theta\) donne : \(\cos^3\theta = \frac{3}{4}\cos\theta + \frac{1}{4}\cos(3\theta)\). Écrire un programme qui :
Rappel Python : puissance : math.cos(t)**3. Division : (3*math.cos(t) + math.cos(3*t)) / 4.
On veut linéariser \(\cos^n\theta\) pour \(n\) quelconque. La méthode utilise \(\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}\) avec \(z = e^{i\theta}\), puis le binôme de Newton. Écrire un programme qui :
lineariser_cos(n) qui développe \(\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)^n\) et regroupe les termes en \(\cos(k\theta)\){k: coefficient} donnant la décompositionRappel Python : from math import comb. Dictionnaire : d = {}, d[k] = valeur. Formule : \(z^p + z^{-p} = 2\cos(p\theta)\).
Le quotient \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\) permet de déterminer la nature d’un triangle \(ABC\). Écrire un programme qui :
nature_triangle(zA, zB, zC) qui calcule le rapport \(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\)Rappel Python : abs(z) pour le module, cmath.phase(z) pour l’argument. math.degrees() pour convertir en degrés.
Les formules de Werner permettent de transformer une somme en produit : \(\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)\). Écrire un programme qui :
Rappel Python : abs(val) < 1e-9 pour tester si une valeur est quasi nulle. Liste en compréhension : [x for x in range(...) if condition].
| Notion | Définition / Formule | Piège à éviter |
|---|---|---|
| Forme trigonométrique | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}\) | \(r = |z| \geq 0\), toujours positif |
| Module et argument | \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) | L’argument est défini à \(2\pi\) près |
| Formule de Moivre | \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) | Valable uniquement pour \(r = 1\) |
| Formule d’Euler | \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) | \(e^{i\theta} \neq e^i \cdot e^\theta\) |
| Linéarisation | \(\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\), \(\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\) | Dénominateur \(2i\) pour le sinus, pas \(2\) |
En développant : \(\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\). Et \(\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta\). Vérification en \(\theta = \pi/6\) : \(\cos(\pi/2) = 0\) et \(4(\sqrt{3}/2)^3 - 3(\sqrt{3}/2) = 0\). Confirmé.
Forme trigonométrique : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(\arg(\bar{z}) = \arg(z)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(\arg(\bar{z}) = -\arg(z)\), pas \(\arg(z)\). Le conjugué « retourne » l’angle par rapport à l’axe réel.
Exemple : si \(z = e^{i\pi/3}\), alors \(\bar{z} = e^{-i\pi/3}\).
Mini-test : si \(\arg(z) = \frac{2\pi}{3}\), alors \(\arg(\bar{z})\) vaut :
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« \(|e^{i\theta}| = e^{\theta}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(|e^{i\theta}| = 1\) toujours ! Le \(i\) dans l’exposant est essentiel.
\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), donc \(|e^{i\theta}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1\).
Attention : \(|e^{\theta}| = e^{\theta}\) (sans le \(i\)), mais \(|e^{i\theta}| = 1\).
Mini-test : que vaut \(|e^{i\pi}|\) ?
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« Pour passer de la forme algébrique \(a + bi\) à la forme trigonométrique, on calcule \(r = a^2 + b^2\). »
Cette formule pour \(r\) est-elle correcte ?
Le module est \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), pas \(a^2 + b^2\). Il ne faut pas oublier la racine carrée !
\(a^2 + b^2 = |z|^2\) (le carré du module), pas le module lui-même.
Mini-test : le module de \(z = 3 + 4i\) vaut :
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« \(\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1)/\arg(z_2)\). »
Cette formule est-elle correcte ?
Les arguments se soustraient (pas de division !) :
\(\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}\)
C’est analogue au logarithme : \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), pas \(\ln a / \ln b\).
Mini-test : si \(\arg(z_1) = \pi\) et \(\arg(z_2) = \frac{\pi}{2}\), alors \(\arg(z_1/z_2)\) vaut :
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« \(e^{i\pi} + 1 = 0\) (formule d’Euler). »
Cette identité est-elle vraie ?
C’est vrai et c’est l’une des plus belles formules des mathématiques !
\(e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1\), donc \(e^{i\pi} + 1 = 0\).
Cette identité relie les 5 constantes fondamentales : \(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\).
Mini-test : que vaut \(e^{2i\pi}\) ?
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre
« \(\cos\theta + i\sin\theta = \cos\theta + \sin\theta\). »
Cette simplification est-elle correcte ?
Le \(i\) est essentiel ! \(\cos\theta + i\sin\theta\) est un nombre complexe (partie réelle \(\cos\theta\), partie imaginaire \(\sin\theta\)), tandis que \(\cos\theta + \sin\theta\) est un simple réel.
Exemple : pour \(\theta = \pi/4\), \(\cos\theta + i\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\) (un complexe), mais \(\cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\) (un réel).
Mini-test : la partie imaginaire de \(e^{i\pi/6}\) est :
🔗 Travaillé dans les exercices du chapitre