Maths Expertes · Math@mine
Deux usines A et B produisent des vis (V) et des écrous (E) : A produit 200 V et 150 E par jour, B produit 300 V et 100 E par jour. On peut encoder ces données dans une matrice de production.
Le Jiuzhang Suanshu (« Neuf chapitres sur l’art mathématique », Ier siècle av. J.-C., Chine) utilise des tableaux rectangulaires de nombres pour résoudre des systèmes d’équations linéaires par une méthode équivalente au pivot de Gauss — mille ans avant Gauss. Al-Karaji (Xe siècle) développe l’arithmétique des polynômes sous forme tabulaire.
Arthur Cayley (XIXe siècle) fonde la théorie formelle des matrices, définit le produit matriciel et démontre les premières propriétés algébriques (associativité, non-commutativité).
📜 Euler et Markov : des ponts aux matrices de transition → 📜 Al-Karaji et Fibonacci : la Suite du Monde →
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
Une matrice \(A\) de taille \(n \times p\) (ou \(n\) lignes et \(p\) colonnes) est un tableau rectangulaire de nombres réels (ou complexes) :
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{np} \end{pmatrix}\]
Le coefficient \(a_{ij}\) est l’entrée à la ligne \(i\) et colonne \(j\). On note \(A = (a_{ij})\).
\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\) est de taille \(2\times 3\). \(\quad I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). \(\quad O_2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\).
Pour deux matrices \(A\) et \(B\) de même taille \(n\times p\), et \(\lambda \in \mathbb{R}\), on définit l'addition et la multiplication par un scalaire :
\[(A+B)_{ij} = a_{ij}+b_{ij} \qquad (\lambda A)_{ij} = \lambda a_{ij}\]
Si \(A\) est de taille \(n\times p\) et \(B\) de taille \(p\times q\), alors le produit matriciel \(AB\) est de taille \(n\times q\) :
\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj}\]
C’est le produit «ligne par colonne» : la case \((i,j)\) est le produit scalaire de la \(i\)-ème ligne de \(A\) avec la \(j\)-ème colonne de \(B\).
En général \(AB \neq BA\) — même si les deux produits sont définis. C’est la différence fondamentale avec la multiplication des nombres.
\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)
Associativité et distributivité. Elles s’obtiennent en écrivant chaque coefficient comme une somme : pour des matrices \(A \in \mathcal{M}_{n,p}\), \(B \in \mathcal{M}_{p,q}\), \(C \in \mathcal{M}_{q,r}\), le coefficient de ligne \(i\), colonne \(\ell\) du produit \((AB)C\) vaut :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{q}\left(\sum_{j=1}^{p} a_{ij}b_{jk}\right)c_{k\ell} = \sum_{j,k} a_{ij}b_{jk}c_{k\ell}\)
Le même calcul effectué pour \(A(BC)\) donne la même double somme (on peut intervertir l’ordre des deux sommes finies). D’où \((AB)C = A(BC)\). La distributivité se démontre de façon analogue (on admet ces deux résultats par la suite).
Matrice identité. Le coefficient \((i,j)\) de \(AI_p\) vaut \(\sum_{k} a_{ik}\delta_{kj} = a_{ij}\) (où \(\delta_{kj} = 1\) si \(k=j\), \(0\) sinon), donc \(AI_p = A\).
Non-commutativité — contre-exemple. Prenons \(A = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\). Alors :
\(AB = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad BA = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\)
Donc \(AB \neq BA\). La multiplication matricielle n’est pas commutative en général.
Diviseurs de zéro — contre-exemple. Avec les deux mêmes matrices \(A\) et \(B\) non nulles, on peut aussi construire \(A^2 = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} = O\) : une matrice non nulle peut avoir un carré nul. En particulier \(AB = O\) ne force ni \(A = O\) ni \(B = O\). ∎
La puissance d’une matrice carrée \(A\) pour \(n \in \mathbb{N}\) est définie par : \(A^0 = I\), \(A^1 = A\), \(A^n = A^{n-1} \cdot A\).
On peut aussi définir \(A^{-n} = (A^{-1})^n\) si \(A\) est inversible.
Si \(D = \begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}\), alors \(D^n = \begin{pmatrix}\lambda_1^n&0\\0&\lambda_2^n\end{pmatrix}\). Les puissances de matrices diagonales sont immédiates.
Une matrice carrée \(A\) est inversible s’il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que :
\[A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\]
Pour \(A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\), on définit le déterminant \(\det(A) = ad - bc\).
Si \(\det(A) \neq 0\), alors \(A\) est inversible et :
\[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\]
Si \(\det(A) = 0\), \(A\) n’est pas inversible.
Si \(\det(A) = ad - bc \neq 0\), posons \(B = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). On calcule :
\(AB = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{pmatrix} = I\)
Un calcul analogue donne \(BA = I\). Donc \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\).
Si \(\det(A) = 0\), supposons par l’absurde que \(A\) est inversible, d’inverse \(A^{-1}\). Considérons le vecteur \(X = \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}d\\-c\end{pmatrix}\) si \(a=b=0\)). Alors :
\(AX = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-ab+ab\\-bc+ad\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ad-bc\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)
Or \(X \neq 0\) (sinon \(a=b=0\) et on traite l’autre cas). Multiplier par \(A^{-1}\) donnerait \(X = A^{-1}\cdot 0 = 0\), contradiction. Donc \(A\) n’est pas inversible. ∎
\(A = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\) : \(\det(A) = 4-3 = 1\). Donc \(A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\).
Vérification : \(\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) ✓
Pour toutes matrices \(A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) :
\[\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)\]
En conséquence : si \(A\) est inversible, \(\det(A^{-1}) = 1/\det(A)\) (en prenant \(B = A^{-1}\) et \(\det(I) = 1\)).
Posons \(A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}\). Alors :
\(AB = \begin{pmatrix}ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh\end{pmatrix}\)
On calcule \(\det(AB) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg)\).
En développant : \(= aecf + aedh + bgcf + bgdh - afce - afdg - bhce - bhdg\).
Les termes \(aecf\) et \(afce\) s’annulent, de même \(bgdh\) et \(bhdg\). Il reste :
\(aedh + bgcf - afdg - bhce = (ad-bc)(eh-fg) = \det(A)\cdot\det(B)\). ∎
Pour une matrice \(3 \times 3\), on utilise la méthode du pivot de Gauss (résoudre \(AX = I\) colonne par colonne) ou on ramène l’inversion à la résolution d’un système linéaire \(AX = B\). Cette démarche est utilisée en §6.4 sur les systèmes linéaires.
Le déterminant d’une matrice \(3 \times 3\) se calcule par la règle de Sarrus ou un développement par ligne/colonne ; son expression explicite et les formules générales d’inversion (via la comatrice) ne sont pas exigibles au programme de Maths Expertes, mais la caractérisation « \(A\) inversible \(\iff\) le système \(AX = 0\) admet pour seule solution \(X = 0\) » reste valide.
Le système \(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) s’écrit \(AX = B\) avec :
\[A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}\]
Si \(A\) est inversible : \(X = A^{-1}B\).
Équivalence système ↔ équation matricielle. Calculons le produit \(AX\) :
\(AX = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}.\)
L’égalité \(AX = B\) se traduit coefficient par coefficient : \(ax+by = e\) et \(cx+dy = f\) — exactement le système de départ.
Résolution lorsque \(A\) est inversible. On multiplie \(AX = B\) à gauche par \(A^{-1}\) :
\(A^{-1}(AX) = A^{-1}B \Rightarrow (A^{-1}A)X = A^{-1}B \Rightarrow IX = A^{-1}B \Rightarrow X = A^{-1}B.\)
Le système admet alors une unique solution : \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A^{-1}B\). ∎
Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=7\\x+2y=4\end{cases}\).
\(A = \begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\), \(A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}\).
\(X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14-12\\-7+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\).
Solution : \(x=2\), \(y=1\).
Les transformations linéaires du plan (rotations, homothéties, symétries) s’expriment comme des multiplications matricielles. Si \(M\) a pour coordonnées \((x, y)\), son image \(M'\) de coordonnées \((x', y')\) vérifie :
\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]
Méthode générale. Une transformation linéaire \(f\) du plan est entièrement déterminée par les images des deux vecteurs de base \(\vec{i} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{j} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Si \(f(\vec{i}) = \begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}\) et \(f(\vec{j}) = \begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}\), alors la matrice de \(f\) est \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\).
Rotation \(R_\theta\). Par définition du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique :
\(R_\theta(\vec{i}) = \begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix},\qquad R_\theta(\vec{j}) = \begin{pmatrix}\cos(\theta+\pi/2)\\\sin(\theta+\pi/2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\)
D’où \(R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\).
Homothétie \(H_k\). \(H_k(\vec{i}) = k\vec{i} = \begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}\) et \(H_k(\vec{j}) = k\vec{j} = \begin{pmatrix}0\\k\end{pmatrix}\). D’où \(H_k = kI\).
Symétrie \(S_x\) (axe \(Ox\)). \(S_x(\vec{i}) = \vec{i}\) (point sur l’axe, fixe), \(S_x(\vec{j}) = -\vec{j}\). D’où la matrice \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\). Analogue pour \(S_y\).
Symétrie \(S_d\) (droite \(y=x\)). La symétrie échange les coordonnées : \(S_d(\vec{i}) = \vec{j}\), \(S_d(\vec{j}) = \vec{i}\). D’où \(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).
Projection \(P_x\) sur \(Ox\). \(P_x(\vec{i}) = \vec{i}\), \(P_x(\vec{j}) = \vec{0}\). D’où \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\). ∎
La multiplication par \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) dans \(\mathbb{C}\) correspond exactement à la multiplication par \(R_\theta\) dans \(\mathbb{R}^2\) :
\[(x+iy) \times e^{i\theta} \longleftrightarrow R_\theta\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]
Les deux formalismes — complexes et matrices — décrivent les mêmes rotations du plan.
\(R_{\pi/2} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\). Image de \(A(3, 1)\) :
\(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\). Donc \(A'(-1, 3)\).
Vérification complexe : \(i(3+i) = 3i+i^2 = -1+3i\) — même résultat ✓
La composée de la transformation de matrice \(A\) suivie de celle de matrice \(B\) a pour matrice \(BA\) (attention à l’ordre !).
\(R_\alpha \circ R_\beta = R_{\alpha+\beta}\) se traduit par \(R_\alpha \cdot R_\beta = R_{\alpha+\beta}\) — on peut le vérifier par le calcul matriciel et les formules d’addition.
Composée = produit de matrices. Soient \(f\) et \(g\) deux transformations linéaires du plan, de matrices respectives \(A\) et \(B\). Pour tout vecteur \(X \in \mathbb{R}^2\) :
\((g \circ f)(X) = g(f(X)) = g(AX) = B(AX) = (BA)X\)
où l’avant-dernière égalité utilise l’associativité du produit matriciel. Donc la composée \(g \circ f\) a pour matrice \(BA\) — et non \(AB\) : la matrice de la première transformation apparaît à droite.
Composée de deux rotations. Calculons directement \(R_\alpha \cdot R_\beta\) :
\(R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\beta&-\sin\beta\\\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}\)
Coefficient \((1,1)\) : \(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha+\beta)\).
Coefficient \((1,2)\) : \(-\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta = -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) = -\sin(\alpha+\beta)\).
Coefficient \((2,1)\) : \(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta)\).
Coefficient \((2,2)\) : \(-\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha+\beta)\).
D’où :
\(R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta)&-\sin(\alpha+\beta)\\\sin(\alpha+\beta)&\cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix} = R_{\alpha+\beta}\)
On retrouve l’intuition géométrique : composer deux rotations de centre \(O\) donne une rotation d’angle la somme. ∎
Cette section n’est pas au programme obligatoire. Elle prépare aux classes préparatoires.
La diagonalisation est une des techniques les plus puissantes de l’algèbre linéaire. Elle permet de calculer facilement les puissances d’une matrice — avec des applications en suites, en chaînes de Markov (Ch7), et bien au-delà.
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\). Un scalaire \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) s’il existe un vecteur non nul \(X\) tel que :
\[AX = \lambda X\]
Le vecteur \(X\) est alors appelé vecteur propre associé à \(\lambda\).
Polynôme caractéristique :
\(\chi_A(\lambda) = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda-4)\)
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 2\) et \(\lambda_2 = 4\).
Vecteurs propres pour \(\lambda_1 = 2\) :
\((A-2I)X = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x+y=0\). Vecteur propre : \(V_1 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).
Vecteurs propres pour \(\lambda_2 = 4\) :
\((A-4I)X = \begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow y=x\). Vecteur propre : \(V_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
Matrice de passage et diagonalisation :
On forme \(P = \begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}\) (colonnes = vecteurs propres) et \(D = \begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}\).
Alors \(A = PDP^{-1}\), d’où \(A^n = PD^nP^{-1} = P\begin{pmatrix}2^n&0\\0&4^n\end{pmatrix}P^{-1}\).
La suite de Fibonacci est définie par \(F_0=0\), \(F_1=1\) et \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\). On peut l’exprimer matriciellement :
\[\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\]
La matrice \(M = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) s’appelle matrice de Fibonacci. Ses valeurs propres sont \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) (nombre d’or) et \(\hat{\varphi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\).
En diagonalisant \(M\), on obtient la formule de Binet :
\[\boxed{F_n = \frac{\varphi^n - \hat{\varphi}^n}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]}\]
Remarquable : une formule explicite pour \(F_n\), faisant intervenir des irrationnels, qui donne toujours un entier !
Chargement de Python (Pyodide)…
On représente les matrices par des listes de listes. Programmer les fonctions suivantes :
mat_add(A, B) : renvoie la somme \(A + B\)mat_scale(c, A) : renvoie le produit scalaire \(cA\)mat_mul(A, B) : renvoie le produit matriciel \(AB\)Tester avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\). Vérifier que \(AB \neq BA\).
Rappel Python : [[A[i][j] for j in range(m)] for i in range(n)] crée une matrice par compréhension. sum(...) fait la somme d’un itérable.
Résoudre le système \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x + 2y = 4 \end{cases}\) par la méthode \(X = A^{-1}B\). Programmer :
det2(A) : renvoie le déterminant \(ad - bc\) d’une matrice \(2 \times 2\)inv2(A) : renvoie l’inverse \(\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)Rappel : une matrice \(2 \times 2\) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le vecteur colonne \(B\) se représente [[7], [4]].
Écrire une fonction rotation_matrix(theta) qui renvoie la matrice \(R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\), puis :
Rappel Python : math.cos(theta), math.sin(theta) pour les fonctions trigonométriques. cmath.exp(1j*theta) pour \(e^{i\theta}\).
On considère \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). Écrire une fonction eigen2(A) qui calcule les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice \(2 \times 2\), puis :
Rappel : le discriminant du polynôme caractéristique est \(\Delta = \text{tr}(A)^2 - 4\det(A)\). Les colonnes de \(P\) sont les vecteurs propres.
Calculer le \(n\)-ième nombre de Fibonacci \(F_n\) de trois manières différentes et comparer les résultats :
fib_recursif(n) : par la récurrence \(F_0=0\), \(F_1=1\), \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}\) (boucle for)fib_matrice(n) : en utilisant \(\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\) dont le coefficient \((0,1)\) donne \(F_n\)fib_binet(n) : par la formule de Binet \(F_n = \dfrac{\varphi^n - \hat\varphi^n}{\sqrt{5}}\) avec \(\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)Afficher les trois valeurs pour \(n = 0, \ldots, 14\) et vérifier qu’elles coincident.
Rappel Python : math.sqrt(5) pour \(\sqrt{5}\). round(x) arrondit au plus proche (utile pour Binet car les flottants introduisent de petites erreurs).
Observe le calcul iteratif de F8 par la recurrence a, b = b, a+b.
| Notion | Définition / Formule | Piège à éviter |
|---|---|---|
| Matrice \(2 \times 2\) | \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) | Ligne puis colonne : \(a_{ij}\) = ligne \(i\), colonne \(j\) |
| Produit | \((AB)_{ij} = \displaystyle\sum_k a_{ik} b_{kj}\) | \(AB \neq BA\) en général |
| Déterminant | \(\det(A) = ad - bc\) | Attention à l’ordre : \(ad - bc\), pas \(ac - bd\) |
| Inverse | \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) | Existe ssi \(\det(A) \neq 0\) |
| Puissances | Diagonalisation ou récurrence | Ne pas confondre \(A^n\) et \((a_{ij})^n\) |
\(A^2 = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\), \(A^3 = \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\) — on devine \(A^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\).
\(AB = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) mais \(BA = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\). Donc \(AB \neq BA\) : le produit matriciel n’est pas commutatif.
Conséquence : \((A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\) car \(AB \neq BA\). Les identités remarquables ne fonctionnent pas avec les matrices !
Matrices : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Le produit de deux matrices se calcule en multipliant les coefficients qui sont à la même position. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Le produit matriciel se calcule ligne par colonne : \((AB)_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}\). Ce n’est PAS le produit terme à terme (qui s’appelle produit de Hadamard et n’est presque jamais utilisé en maths).
Mini-test : \(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) donne :
« Le produit matriciel est commutatif : \(AB = BA\) pour toutes matrices \(A\) et \(B\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
En général, \(AB \neq BA\). C’est une différence fondamentale avec les nombres réels.
Contre-exemple : \(A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\). \(AB = \begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) mais \(BA = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\).
Conséquence : \((A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\) en général !
Mini-test : peut-on simplifier \((A-B)(A+B)\) en \(A^2 - B^2\) ?
« Si \(AB = O\) (matrice nulle), alors \(A = O\) ou \(B = O\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Contrairement aux nombres réels, le produit de deux matrices non nulles peut donner la matrice nulle.
Contre-exemple : \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\).
Mini-test : si \(A^2 = O\), peut-on conclure que \(A = O\) ?
« Toute matrice carrée admet un inverse. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul : \(\det(A) \neq 0\).
Exemple : \(A = \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) a \(\det(A) = 4-4 = 0\) → non inversible.
Mini-test : \(A = \begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}\). Est-elle inversible ?
« Si \(AB = AC\), alors \(B = C\). »
Peut-on toujours « simplifier par A » ?
On ne peut simplifier que si \(A\) est inversible. Si \(\det(A) = 0\), on ne peut pas conclure \(B = C\).
\(AB = AC \Rightarrow A(B-C) = O\). Si \(A\) n’est pas inversible, \(B-C\) peut être non nul (diviseur de zéro).
Mini-test : \(A\) inversible et \(AB = AC\). Alors :
« Le produit matriciel est associatif : \((AB)C = A(BC)\). »
Cette propriété est-elle vraie ?
C’est vrai ! Le produit matriciel est associatif mais pas commutatif. Ce sont deux propriétés indépendantes.
Associatif : \((AB)C = A(BC)\) — on peut grouper comme on veut. Utile pour \(A^n = A \cdot A \cdots A\).
Ne pas confondre avec la commutativité (\(AB = BA\)) qui, elle, est fausse en général.
Mini-test : pour calculer \(A^4\), on peut faire :
9 énigmes couvrant tout le programme de matrices Expertes · ~1h20
Lecture · Combinaison linéaire · Produit · Puissance · Déterminant · Inverse · Système AX=B · Rotation · Chaîne de Markov