Chapitre 6 – Fonction exponentielle

Propriétés algébriques · Signe et variations · Équations et inéquations · Étude de fonctions · Modélisation

Groupe 1 — Propriétés algébriques ▼
1
Simplifier les expressions suivantes :
a. \(e^3 \times e^5\)   b. \(\dfrac{e^7}{e^3}\)   c. \(\left(e^2\right)^4\)   d. \(e^{-2} \times e^5\)   e. \(\dfrac{e^{3x}}{e^x}\)   f. \(e^x \times e^{-x}\)
Calcul algébriqueWims
a. \(e^8\)   b. \(e^4\)   c. \(e^8\)   d. \(e^3\)   e. \(e^{2x}\)   f. \(e^0 = 1\)
2
Écrire sous la forme \(e^{ax+b}\) :
a. \(e^{2x} \times e^{3x+1}\)   b. \(\dfrac{e^{4x-1}}{e^{x+2}}\)   c. \(\left(e^{x-1}\right)^3\)   d. \(e^{5x} \times e^{-3x+4}\)
Calcul algébriqueWims
a. \(e^{5x+1}\)   b. \(e^{3x-3}\)   c. \(e^{3x-3}\)   d. \(e^{2x+4}\)
3
Montrer que les expressions suivantes sont des entiers ou des formes simples :
a. \(\left(e^x + e^{-x}\right)\left(e^x - e^{-x}\right)\)   b. \(\left(e^x + 1\right)^2 - \left(e^x - 1\right)^2\)   c. \(\dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\)
Identités remarquablesWims
a. \(e^{2x} - e^{-2x}\) (différence de carrés, pas un entier mais forme simplifiée)
b. \((e^x+1)^2 - (e^x-1)^2 = [(e^x+1)+(e^x-1)][(e^x+1)-(e^x-1)] = 2e^x \times 2 = 4e^x\)
c. \(\dfrac{e^{2x}-1}{e^x} = e^x - e^{-x}\)
4
Factoriser les expressions suivantes :
a. \(e^{3x} + e^{2x}\)   b. \(e^{2x} - e^x\)   c. \(e^{4x} - e^{2x}\)   d. \(2e^x + 3e^{2x}\)
FactorisationWims
a. \(e^{2x}(e^x + 1)\)
b. \(e^x(e^x - 1)\)
c. \(e^{2x}(e^{2x} - 1)\)
d. \(e^x(2 + 3e^x)\)
5
On donne \(e^a = 3\). Exprimer en fonction de \(3\) :
a. \(e^{2a}\)   b. \(e^{-a}\)   c. \(e^{a+1}\)   d. \(e^{3a-1}\)
Calcul algébriqueWims
a. \((e^a)^2 = 9\)
b. \(\dfrac{1}{e^a} = \dfrac{1}{3}\)
c. \(e^a \times e^1 = 3e\)
d. \(\dfrac{(e^a)^3}{e^1} = \dfrac{27}{e}\)
Groupe 2 — Signe et variations de la fonction exponentielle ▼
6
Étudier le signe des expressions suivantes :
a. \(e^x - 1\) selon les valeurs de \(x\)   b. \(e^{2x} - e^x\)   c. \(e^x - e^3\)   d. \(2 - e^x\)
SigneWims
a. \(e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > e^0 \Leftrightarrow x > 0\). Positif sur \(]0\,;+\infty[\), négatif sur \(]-\infty\,;0[\).
b. \(e^x(e^x-1)\) : \(e^x > 0\) toujours, donc signe de \(e^x - 1\) : positif si \(x > 0\).
c. \(e^x - e^3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
d. \(2 - e^x > 0 \Leftrightarrow e^x < 2 \Leftrightarrow x < \ln 2\). Positif sur \(]-\infty\,;\ln 2[\).
7
Comparer les nombres suivants (sans calculatrice) :
a. \(e^2\) et \(e^3\)   b. \(e^{-1}\) et \(e^{-2}\)   c. \(e^{\pi}\) et \(e^3\) (sachant que \(\pi \approx 3{,}14\))   d. \(e^{0{,}5}\) et \(1\)
VariationsWims
Exp est croissante donc \(a > b \Rightarrow e^a > e^b\).
a. \(3 > 2\) donc \(e^3 > e^2\).
b. \(-1 > -2\) donc \(e^{-1} > e^{-2}\).
c. \(\pi > 3\) donc \(e^{\pi} > e^3\).
d. \(0{,}5 > 0\) donc \(e^{0{,}5} > e^0 = 1\).
8
Montrer que pour tout réel \(x\), on a \(e^x \geq x + 1\). (Indication : étudier \(f(x) = e^x - x - 1\).)
InégalitéDérivation
Posons \(f(x) = e^x - x - 1\).
\(f'(x) = e^x - 1\).
\(f'(x) < 0\) si \(x < 0\), \(f'(x) > 0\) si \(x > 0\). Donc \(f\) a un minimum en \(x = 0\).
\(f(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).
Donc \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), i.e. \(e^x \geq x + 1\). \(\square\)
9
La suite \(\left(e^{n}\right)_{n \geq 0}\) est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser la raison ou la différence. Calculer \(e^0 + e^1 + e^2 + e^3\) en fonction de \(e\).
Suite géométrique
\(\dfrac{e^{n+1}}{e^n} = e\) (constante) : suite géométrique de raison \(e\) et de premier terme \(e^0 = 1\).
Somme : \(e^0 + e^1 + e^2 + e^3 = 1 + e + e^2 + e^3 = \dfrac{e^4 - 1}{e - 1}\).
10
Vrai ou faux ? Justifier.
a. \(e^x\) peut être négatif pour certaines valeurs de \(x\).
b. \(e^x = 0\) admet une solution réelle.
c. Si \(e^{2x} = e^{x+3}\), alors \(2x = x + 3\).
d. \(e^x < e^{x+1}\) pour tout réel \(x\).
Vrai/FauxWims
a. Faux : \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
b. Faux : même raison, \(e^x\) ne s’annule jamais.
c. Vrai : \(e^a = e^b \Leftrightarrow a = b\).
d. Vrai : \(x+1 > x\) donc \(e^{x+1} > e^x\) par croissance de exp.
Groupe 3 — Équations et inéquations avec l’exponentielle ▼
11
Résoudre les équations suivantes :
a. \(e^{2x+1} = e^{3}\)   b. \(e^{x^2} = e^{2x}\)   c. \(e^{3x-2} = 1\)   d. \(e^{x+4} = e^{2x-1}\)
ÉquationsWims
a. \(2x+1 = 3 \Rightarrow x = 1\).
b. \(x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 2\).
c. \(e^{3x-2} = e^0 \Rightarrow 3x-2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}\).
d. \(x+4 = 2x-1 \Rightarrow x = 5\).
12
Résoudre les inéquations suivantes :
a. \(e^{3x} > e^{6}\)   b. \(e^{-x} \leq e^{2}\)   c. \(e^{x^2 - 3} \leq e^{2x}\)   d. \(e^{2x+1} > e^{x-3}\)
InéquationsWims
Exp croissante : \(e^u > e^v \Leftrightarrow u > v\).
a. \(3x > 6 \Rightarrow x > 2\). \(S = ]2\,;+\infty[\).
b. \(-x \leq 2 \Rightarrow x \geq -2\). \(S = [-2\,;+\infty[\).
c. \(x^2 - 3 \leq 2x \Rightarrow x^2 - 2x - 3 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) \leq 0\). \(S = [-1\,;\,3]\).
d. \(2x+1 > x-3 \Rightarrow x > -4\). \(S = ]-4\,;+\infty[\).
13
Résoudre en effectuant un changement de variable \(X = e^x\) :
a. \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\)   b. \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)   c. \(e^{2x} - e^x - 2 \geq 0\)
Changement de variableWims
a. Posons \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\) → \((X-1)(X-2) = 0\) → \(X = 1\) ou \(X = 2\).
\(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\) ; \(e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2\).
b. \(X^2 - 5X + 6 = 0\) → \((X-2)(X-3) = 0\) → \(x = \ln 2\) ou \(x = \ln 3\).
c. \((X-2)(X+1) \geq 0\) avec \(X > 0\) : \(X+1 > 0\) toujours, donc \(X \geq 2\), soit \(e^x \geq 2\), soit \(x \geq \ln 2\). \(S = [\ln 2\,;+\infty[\).
14
Résoudre \(e^x + e^{-x} = 2\). (Indication : multiplier par \(e^x\).)
ÉquationChangement de variable
Multiplions par \(e^x > 0\) : \(e^{2x} + 1 = 2e^x\), soit \(e^{2x} - 2e^x + 1 = 0\), soit \((e^x - 1)^2 = 0\).
Donc \(e^x = 1\), i.e. \(x = 0\). Solution unique : \(S = \{0\}\).
15
Algorithme : On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(e^n > 1000\).
a. Écrire un algorithme Python qui détermine ce \(n\).
b. Vérifier en justifiant que \(n = 7\) convient (sachant que \(e \approx 2{,}718\) et \(\ln 1000 \approx 6{,}908\)).
PythonAlgorithmique
a. 
import math
n = 0
while math.exp(n) <= 1000:
    n += 1
print(f"Le plus petit entier n tel que e^n > 1000 est n = {n}")
b. \(e^7 \approx 2{,}718^7 \approx 1096{,}6 > 1000\) et \(e^6 \approx 403{,}4 < 1000\). Donc \(n = 7\) est bien le plus petit.
Groupe 4 — Étude de fonctions contenant l’exponentielle ▼
16
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
a. \(f(x) = e^{3x}\)   b. \(g(x) = e^{-2x+1}\)   c. \(h(x) = x\,e^x\)   d. \(k(x) = (2x+1)e^x\)
DérivationWims
a. \(f'(x) = 3e^{3x}\)
b. \(g'(x) = -2e^{-2x+1}\)
c. \(h'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x\)
d. \(k'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x\)
17
Étudier les variations de \(f(x) = (x-1)e^x\) sur \(\mathbb{R}\) et dresser son tableau de variations complet.
Étude de fonctionWims
\(f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x\).
Comme \(e^x > 0\) : \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0\) et \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow x < 0\).
Minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 = -1\).
Tableau : \(f\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), minimum \(-1\) en \(0\), croissante sur \([0\,;+\infty[\).
18
Soit \(f(x) = \dfrac{e^x}{x+1}\) définie sur \(]-1\,;+\infty[\).
a. Calculer \(f'(x)\).
b. Étudier le signe de \(f'(x)\) et les variations de \(f\).
Étude de fonctionQuotient
a. \(f'(x) = \dfrac{e^x(x+1) - e^x \times 1}{(x+1)^2} = \dfrac{e^x \cdot x}{(x+1)^2}\).
b. \((x+1)^2 > 0\) et \(e^x > 0\) toujours. Signe de \(f'(x)\) = signe de \(x\).
\(f\) décroissante sur \(]-1\,;\,0]\), minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = 1\), croissante sur \([0\,;+\infty[\).
19
Étudier les variations de \(f(x) = e^x - e^{-x}\) et montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
DérivationVariations
\(f'(x) = e^x + e^{-x}\).
Or \(e^x > 0\) et \(e^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), donc \(f'(x) > 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
20
Optimisation : Une entreprise modélise son bénéfice (en milliers d’euros) par \(B(t) = t \cdot e^{-t}\) pour \(t \geq 0\) (en années).
a. Calculer \(B'(t)\).
b. À quel instant le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximum ?
OptimisationApplication
a. \(B'(t) = e^{-t} + t \times (-e^{-t}) = (1-t)e^{-t}\).
b. \(e^{-t} > 0\) toujours, donc \(B'(t) > 0 \Leftrightarrow t < 1\) et \(B'(t) < 0 \Leftrightarrow t > 1\).
Maximum en \(t = 1\) : \(B(1) = 1 \times e^{-1} = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368\) milliers d’euros.
Groupe 5 — Modélisation : croissance et décroissance exponentielle ▼
21
Une population de bactéries évolue selon \(N(t) = 500 \times e^{0{,}3t}\), où \(t\) est en heures.
a. Quelle est la population initiale ?
b. Calculer \(N(2)\) et \(N(10)\) (valeurs approchées).
c. Résoudre \(N(t) = 1000\) pour déterminer le temps de doublement.
CroissanceModélisationWims
a. \(N(0) = 500 \times e^0 = 500\) bactéries.
b. \(N(2) = 500e^{0{,}6} \approx 500 \times 1{,}822 \approx 911\). \(N(10) = 500e^3 \approx 500 \times 20{,}09 \approx 10043\).
c. \(500e^{0{,}3t} = 1000 \Rightarrow e^{0{,}3t} = 2 \Rightarrow 0{,}3t = \ln 2 \approx 0{,}693 \Rightarrow t \approx 2{,}31\) h.
22
La décroissance radioactive d’un élément suit \(m(t) = m_0 \times e^{-0{,}05t}\), où \(t\) est en années et \(m_0 = 200\) g.
a. Calculer la masse après 10 ans et après 50 ans.
b. Déterminer la demi-vie \(T_{1/2}\) (temps pour lequel \(m(T) = \frac{m_0}{2}\)).
DécroissanceDemi-vieWims
a. \(m(10) = 200e^{-0{,}5} \approx 200 \times 0{,}607 \approx 121{,}3\) g.
\(m(50) = 200e^{-2{,}5} \approx 200 \times 0{,}082 \approx 16{,}4\) g.
b. \(200e^{-0{,}05T} = 100 \Rightarrow e^{-0{,}05T} = 0{,}5 \Rightarrow -0{,}05T = \ln(0{,}5) = -\ln 2 \approx -0{,}693\).
\(T_{1/2} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}05} \approx 13{,}86\) années.
23
Un capital \(C_0 = 1000\) € est placé à taux continu \(r = 3\%\) par an, soit \(C(t) = 1000\,e^{0{,}03t}\).
a. Comparer avec le modèle discret \(C'(n) = 1000 \times 1{,}03^n\) pour \(n = 5\) et \(n = 20\).
b. Au bout de combien d’années le capital dépasse-t-il 2000 € ?
CapitalModélisation
a. \(C(5) = 1000e^{0{,}15} \approx 1161{,}8\,€\) vs \(C'(5) = 1000 \times 1{,}03^5 \approx 1159{,}3\,€\). (Écart faible.)
\(C(20) \approx 1000e^{0{,}6} \approx 1822\,€\) vs \(C'(20) \approx 1806\,€\).
b. \(1000e^{0{,}03t} > 2000 \Rightarrow e^{0{,}03t} > 2 \Rightarrow 0{,}03t > \ln 2 \approx 0{,}693 \Rightarrow t > 23{,}1\) ans.
24
Algorithme — méthode d’Euler (au programme) : La fonction exponentielle est l’unique solution de \(y' = y\), \(y(0) = 1\). La méthode d’Euler approche cette solution par la suite :
\(y_0 = 1\), \(y_{n+1} = y_n + h \times y_n = y_n(1 + h)\)
a. Écrire un programme Python qui calcule \(y_n\) pour \(h = 0{,}1\) et \(n\) allant de 0 à 20, et compare avec \(e^{nh}\).
b. Que représente la suite \((y_n)\) ? Est-elle arithmétique ou géométrique ?
PythonMéthode d’Euler
a. 
import math
h = 0.1
y = 1.0
print(f"{'n':<5} {'y_n (Euler)':<18} {'e^(nh)':<18} {'Erreur':<12}")
for n in range(21):
    print(f"{n:<5} {y:<18.6f} {math.exp(n*h):<18.6f} {abs(y - math.exp(n*h)):<12.6f}")
    y = y * (1 + h)
b. \(y_{n+1} = y_n(1+h)\) : suite géométrique de raison \(1+h\) et de premier terme 1. Elle approche \(e^{nh}\) car \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e\).
25
Synthèse : Un médicament est éliminé selon \(C(t) = C_0\,e^{-kt}\). On sait que la concentration est divisée par 2 toutes les 4 heures.
a. Exprimer \(k\) en fonction de \(\ln 2\).
b. Au bout de combien d’heures la concentration est-elle inférieure à \(10\%\) de la dose initiale ?
c. Écrire un algorithme Python qui calcule le premier entier \(n\) (en heures) tel que \(C(n) < 0{,}1\,C_0\).
SynthèseDemi-viePython
a. \(C(4) = \frac{C_0}{2} \Rightarrow e^{-4k} = \frac{1}{2} \Rightarrow -4k = -\ln 2 \Rightarrow k = \dfrac{\ln 2}{4}\).
b. \(e^{-kt} < 0{,}1 \Rightarrow -kt < \ln(0{,}1) = -\ln 10 \Rightarrow t > \dfrac{\ln 10}{k} = \dfrac{4\ln 10}{\ln 2} \approx \dfrac{4 \times 2{,}303}{0{,}693} \approx 13{,}3\) h.
c. 
import math
k = math.log(2) / 4
n = 0
while math.exp(-k * n) >= 0.1:
    n += 1
print(f"Premier entier n : {n} heures")

📚 Exercices complémentaires (8)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Simplifications

Simplifier les expressions suivantes :

  1. \(e^3 \times e^5\)
  2. \(\dfrac{e^7}{e^3}\)
  3. \(\left(e^2\right)^4\)
  4. \(e^{-2} \times e^5\)
  5. \(\dfrac{e^{3x}}{e^x}\)
  6. \(e^x \times e^{-x}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(e^8\)
  2. \(e^4\)
  3. \(e^8\)
  4. \(e^3\)
  5. \(e^{2x}\)
  6. \(e^0 = 1\)
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Écriture sous forme \(e^{ax+b}\)

Ecrire sous la forme \(e^{ax+b}\) :

  1. \(e^{2x} \times e^{3x+1}\)
  2. \(\dfrac{e^{4x-1}}{e^{x+2}}\)
  3. \(\left(e^{x-1}\right)^3\)
  4. \(e^{5x} \times e^{-3x+4}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(e^{5x+1}\)
  2. \(e^{3x-3}\)
  3. \(e^{3x-3}\)
  4. \(e^{2x+4}\)
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Identites remarquables avec exp

Montrer que les expressions suivantes se simplifient :

  1. \((e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})\)
  2. \((e^x + 1)^2 - (e^x - 1)^2\)
  3. \(\dfrac{e^{2x} - 1}{e^x}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(e^{2x} - e^{-2x}\) (différence de carrés).
  2. \((e^x+1)^2 - (e^x-1)^2 = [(e^x+1)+(e^x-1)][(e^x+1)-(e^x-1)] = 2e^x \times 2 = 4e^x\).
  3. \(\dfrac{e^{2x}-1}{e^x} = e^x - e^{-x}\).
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Factorisation

Factoriser les expressions suivantes :

  1. \(e^{3x} + e^{2x}\)
  2. \(e^{2x} - e^x\)
  3. \(e^{4x} - e^{2x}\)
  4. \(2e^x + 3e^{2x}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(e^{2x}(e^x + 1)\)
  2. \(e^x(e^x - 1)\)
  3. \(e^{2x}(e^{2x} - 1)\)
  4. \(e^x(2 + 3e^x)\)
Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Calculs avec \(e^a = 3\)

On donne \(e^a = 3\). Exprimer en fonction de \(3\) :

  1. \(e^{2a}\)
  2. \(e^{-a}\)
  3. \(e^{a+1}\)
  4. \(e^{3a-1}\)
Voir la correction
Correction
  1. \((e^a)^2 = 9\)
  2. \(\dfrac{1}{e^a} = \dfrac{1}{3}\)
  3. \(e^a \times e^1 = 3e\)
  4. \(\dfrac{(e^a)^3}{e} = \dfrac{27}{e}\)
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Signe et comparaison
  1. Étudier le signe des expressions suivantes :
    1. \(e^x - 1\) selon les valeurs de \(x\)
    2. \(e^{2x} - e^x\)
    3. \(e^x - e^3\)
    4. \(2 - e^x\)
  2. Comparer les nombres suivants (sans calculatrice) :
    1. \(e^2\) et \(e^3\)
    2. \(e^{-1}\) et \(e^{-2}\)
    3. \(e^{\pi}\) et \(e^3\)
    4. \(e^{0{,}5}\) et \(1\)
Voir la correction
Correction
    1. \(e^x - 1 > 0 \Leftrightarrow e^x > e^0 \Leftrightarrow x > 0\). Positif sur \(]0,+\infty[\), négatif sur \(]-\infty,0[\).
    2. \(e^x(e^x-1)\)~: \(e^x > 0\) toujours, donc signe de \(e^x - 1\)~: positif si \(x > 0\).
    3. \(e^x - e^3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
    4. \(2 - e^x > 0 \Leftrightarrow e^x < 2 \Leftrightarrow x < \ln 2\). Positif sur \(]-\infty,\ln 2[\).
  2. Exp est croissante donc \(a > b \Rightarrow e^a > e^b\).
    1. \(3 > 2\) donc \(e^3 > e^2\).
    2. \(-1 > -2\) donc \(e^{-1} > e^{-2}\).
    3. \(\pi > 3\) donc \(e^{\pi} > e^3\).
    4. \(0{,}5 > 0\) donc \(e^{0{,}5} > e^0 = 1\).
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Inegalite fondamentale

Montrer que pour tout réel \(x\), on a \(e^x \geq x + 1\).

Indication : étudier \(f(x) = e^x - x - 1\).
Voir la correction
Correction

Posons \(f(x) = e^x - x - 1\).

\(f'(x) = e^x - 1\).

\(f'(x) < 0\) si \(x < 0\), \(f'(x) > 0\) si \(x > 0\). Donc \(f\) a un minimum en \(x = 0\).

\(f(0) = 1 - 0 - 1 = 0\).

Donc \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), c'est-à-dire \(e^x \geq x + 1\). \(\square\)

Exo 8 Exercice Exercice 8
Exercice — Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse.

  1. \(e^x\) peut être négatif pour certaines valeurs de \(x\).
  2. \(e^x = 0\) admet une solution réelle.
  3. Si \(e^{2x} = e^{x+3}\), alors \(2x = x + 3\).
  4. \(e^x < e^{x+1}\) pour tout réel \(x\).
Voir la correction
Correction
  1. Faux : \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
  2. Faux : même raison, \(e^x\) ne s'annule jamais.
  3. Vrai : \(e^a = e^b \Leftrightarrow a = b\).
  4. Vrai : \(x+1 > x\) donc \(e^{x+1} > e^x\) par croissance de exp.

Factorisation par l'exponentielle minimale

⭐⭐ Calcul algébrique · Sommes de \(e^{ax+b}\)

Factoriser puis résoudre selon les cas :

  1. Factoriser \(A(x) = e^{2x+1} + e^{x+1}\) par l'exponentielle de plus petit exposant. Résoudre \(A(x) = 0\).
  2. Factoriser \(B(x) = e^{3x} - e^{x+2}\). Résoudre \(B(x) = 0\).
  3. Factoriser \(C(x) = e^{x+3} + e^{-x+1}\). Montrer que \(C(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
  4. Résoudre l'équation \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) (poser \(X = e^x\)).
Voir la correction
Correction
  1. \(A(x) = e^{x+1}\bigl(e^x + 1\bigr)\). Or \(e^{x+1} > 0\) et \(e^x + 1 > 1 > 0\), donc \(A(x) > 0\) pour tout \(x\) : aucune solution.
  2. \(B(x) = e^x\bigl(e^{2x} - e^2\bigr)\). On a \(B(x) = 0 \iff e^{2x} = e^2 \iff 2x = 2 \iff x = 1\).
  3. \(C(x) = e^{x+3} + e^{-x+1} = e^{-x+1}\bigl(e^{2x+2} + 1\bigr)\). \(e^{-x+1} > 0\) et \(e^{2x+2} + 1 > 0\), donc \(C(x) > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
  4. Posons \(X = e^x\) (avec \(X > 0\)). L'équation devient \(X^2 - 3X + 2 = 0\), de discriminant \(\Delta = 9 - 8 = 1\), de racines \(X_1 = 1\) et \(X_2 = 2\). Donc : \(e^x = 1 \iff x = 0\) ou \(e^x = 2 \iff x = \ln 2\). Les deux solutions sont \(x = 0\) et \(x = \ln 2\).