Première spécialité mathématiques · Math@mine
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | \(e^a \times e^b = e^{a+b}\) | \(e^{3x} \times e^{2x+1} = e^{5x+1}\) |
| Quotient | \(\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}\) | \(\dfrac{e^{4x}}{e^{x+2}} = e^{3x-2}\) |
| Puissance | \((e^a)^n = e^{na}\) | \((e^{x-1})^3 = e^{3x-3}\) |
| Inverse | \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}\) | \(e^{-2x} = \dfrac{1}{e^{2x}}\) |
Cas particuliers : \(e^0 = 1\) et \(e^x \times e^{-x} = e^0 = 1\).
Simplifier \(A = \dfrac{e^{3x+1} \times (e^x)^2}{e^{2x-1}}\).
Étape 1 : Réécrire la puissance.
\((e^x)^2 = e^{2x}\), donc \(A = \dfrac{e^{3x+1} \times e^{2x}}{e^{2x-1}}\).
Étape 2 : Produit au numérateur.
\(A = \dfrac{e^{(3x+1)+(2x)}}{e^{2x-1}} = \dfrac{e^{5x+1}}{e^{2x-1}}\).
Étape 3 : Quotient.
\(A = e^{(5x+1)-(2x-1)} = e^{3x+2}\).
\(e^{a+b} = e^a \times e^b\) (produit), pas \(e^a + e^b\) (somme).
Contre-exemple numérique : \(e^{1+1} = e^2 \approx 7{,}39\) tandis que \(e^1 + e^1 = 2e \approx 5{,}44\).
🔗 S’entraîner : Exercices 1 à 5 (simplifications, factorisations)
La fonction \(x \mapsto e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc :
Résoudre \(e^{x^2} = e^{3x-2}\).
Étape 1 : Passer aux exposants.
\(x^2 = 3x - 2\).
Étape 2 : Résoudre l'équation polynomiale.
\(x^2 - 3x + 2 = 0\), soit \((x-1)(x-2) = 0\).
Étape 3 : Conclure. \(S = \{1\,;\,2\}\).
Résoudre \(e^{x^2 - 3} \leq e^{2x}\).
Étape 1 : Passer aux exposants (exp croissante).
\(x^2 - 3 \leq 2x\), soit \(x^2 - 2x - 3 \leq 0\).
Étape 2 : Factoriser.
\((x-3)(x+1) \leq 0\).
Étape 3 : Tableau de signes → \(S = [-1\,;\,3]\).
Si l'équation contient \(e^{2x}\) et \(e^x\), poser \(X = e^x\) (avec \(X > 0\)) pour se ramener à une équation du second degré.
Exemple : \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) → \(X^2 - 3X + 2 = 0\) → \(X = 1\) ou \(X = 2\) → \(x = 0\) ou \(x = \ln 2\).
🔗 S’entraîner : Exercices 11 à 14 (équations et changement de variable)
Lorsque \(k > 0\), l'équation \(e^x = k\) admet une unique solution :
\(\boxed{e^x = k \Longleftrightarrow x = \ln(k)}\) pour \(k > 0\)
Si \(k \leq 0\) : aucune solution.
Valeurs à connaître : \(\ln(1) = 0\), \(\ln(e) = 1\), \(\ln(2) \approx 0{,}693\).
Résoudre \(3e^{2x} = 21\).
Étape 1 : Isoler l’exponentielle.
\(e^{2x} = \dfrac{21}{3} = 7\).
Étape 2 : Appliquer ln (\(7 > 0\)).
\(2x = \ln(7)\).
Étape 3 : Isoler \(x\).
\(x = \dfrac{\ln(7)}{2} \approx \dfrac{1{,}946}{2} \approx 0{,}973\).
En Première, \(\ln\) n’est pas au programme (c’est un outil de Terminale). On l’utilise ici uniquement pour donner la valeur exacte de la solution, avec la calculatrice (touche ln).
Au bac, on demandera souvent un résultat sous la forme \(x = \dfrac{\ln(k)}{a}\) ou une valeur approchée à la calculatrice.
🔗 S’entraîner : Exercices 21 à 23 (modélisation avec ln)
| Fonction | Dérivée | Exemple |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) | \((e^x)' = e^x\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(a\,e^{ax+b}\) | \((e^{3x+1})' = 3e^{3x+1}\) |
| \(u(x)\,e^x\) | \((u' + u)\,e^x\) | \((xe^x)' = (1+x)e^x\) |
| \(\dfrac{u(x)}{e^x}\) | \(\dfrac{u' - u}{e^x}\) | \(\left(\dfrac{x}{e^x}\right)' = \dfrac{1-x}{e^x}\) |
Cas général (complément) : \(\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}\).
Dériver \(f(x) = (2x+1)\,e^x\).
Étape 1 : Identifier \(u(x) = 2x+1\) et \(u'(x) = 2\).
Étape 2 : Appliquer la formule \((u\,e^x)' = (u'+u)\,e^x\).
\(f'(x) = (2 + 2x + 1)\,e^x = (2x+3)\,e^x\).
La dérivée de \(e^{2x}\) est \(2e^{2x}\), pas \(e^{2x}\).
Règle : \((e^{ax+b})' = \boldsymbol{a}\,e^{ax+b}\). Ne pas oublier de multiplier par \(a\).
Comme \(e^{u(x)} > 0\) toujours, le signe de \(f'(x) = \text{(quelque chose)} \times e^{u(x)}\) est toujours le signe du « quelque chose ».
On peut donc ignorer le facteur exponentiel quand on étudie le signe de \(f'\).
🔗 S’entraîner : Exercice 16 (dérivées) · Exercice 18 (quotient)
Dérivée : \(f'(x) = (ax + a + b)\,e^x\).
Annulation : \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 - \dfrac{b}{a}\).
C’est le cas le plus courant au Bac. Il suffit de trouver cette valeur critique et de dresser le tableau.
Étape 1 : Dériver.
\(f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = (1 + x - 1)\,e^x = x\,e^x\).
Étape 2 : Signe de \(f'(x)\).
\(e^x > 0\) toujours, donc \(f'(x)\) a le signe de \(x\).
Étape 3 : Valeur critique.
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Étape 4 : Tableau de variations.
Pour \(f(x) = (x-1)\,e^x\), on a \(a = 1\), \(b = -1\). La formule donne \(x = -1 - \frac{-1}{1} = 0\). C’est cohérent.
🔗 S’entraîner : Exercice 17 (même fonction) · Exercice 20 (optimisation)
| Type d’exercice | Méthode | Section |
|---|---|---|
| Simplifier \(e^{...} \times e^{...}\) | Règles de calcul (produit, quotient, puissance) | ↑ Section 1 |
| \(e^{u} = e^{v}\) ou \(e^{u} < e^{v}\) | Passer aux exposants | ↑ Section 2 |
| \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\) | Changement de variable \(X = e^x\) | ↑ Section 2 |
| \(e^x = k\) (valeur numérique) | Logarithme : \(x = \ln(k)\) | ↑ Section 3 |
| Dériver \(e^{ax+b}\) | \(a\,e^{ax+b}\) | ↑ Section 4 |
| Dériver \(P(x)\,e^x\) | \((P' + P)\,e^x\), signe = signe de \(P'+P\) | ↑ Section 4 |
| Étude de \(f(x) = (ax+b)\,e^x\) | 4 étapes : dériver, factoriser, résoudre, tableau | ↑ Section 5 |
| Croissance / décroissance / demi-vie | Modèle \(N_0 e^{\pm kt}\), résoudre avec ln | ↑ Section 3 |
Quelle que soit la situation, le réflexe clé est : factoriser par \(e^{...}\) pour exploiter le fait que \(e^{...} > 0\) toujours. Cela simplifie les équations, les inéquations et les études de signe.