Jacob Bernoulli
et le mystère de e

Bâle était alors une ville commerçante prospère, et les banquiers avaient un problème très concret : comment calculer les intérêts lorsqu’on les capitalise très souvent ? À l’époque, la plupart des banques calculaient les intérêts une fois par an. Mais certains commençaient à proposer des intérêts mensuels, hebdomadaires… et la question se posait : que se passe-t-il si on capitalise à chaque instant ?

Ma question de 1683 était simple en apparence : si un capital initial de 1 franc rapporte 100 % d’intérêts en un an, mais qu’on divise cette année en \(n\) périodes égales, chacune au taux de \(\frac{1}{n}\), quel est le capital final ?

C’est exactement la question que je me posais ! L’instinct premier est de penser : plus on capitalise souvent, plus on gagne. Et c’est vrai, mais seulement jusqu’à un certain point. J’ai calculé les premières valeurs, et j’ai observé quelque chose de remarquable : la suite \(C_n\) augmente, oui, mais de moins en moins vite. Elle semble se stabiliser vers une valeur fixe, aux alentours de 2,7…

J’ai ainsi démontré que cette suite est bornée — elle ne peut pas dépasser 3 — et qu’elle est croissante. Elle converge donc nécessairement vers une limite. Je ne savais pas encore l’appeler autrement que « cette constante mystérieuse ».

C’est là que les mathématiques deviennent vraiment élégantes. On peut montrer cette borne en utilisant une inégalité que tout lycéen peut comprendre : pour tout réel \(x > 0\), on a \(1 + x \leq e^x\). Mais à l’époque, j’ai utilisé une autre approche : le développement en série.

Si l’on développe \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) par la formule du binôme de Newton, on obtient une somme dont chaque terme est inférieur à \(\frac{1}{k!}\). Or la somme \(\sum \frac{1}{k!}\) converge — elle est inférieure à 3. Voici quelques termes :

Très volontiers ! Voici comment j’aurais procédé à ma table de travail, à la plume :

On voit nettement la convergence. Plus \(n\) grandit, plus la valeur se rapproche de \(e\) — mais elle ne l’atteindra jamais exactement pour aucune valeur finie de \(n\). C’est ce qu’on appelle une limite.

Excellente question — je dois être honnête : ce résultat, c’est Euler et ses successeurs qui l’ont établi, pas moi !

Un nombre est dit irrationnel s’il ne peut pas s’écrire comme une fraction \(\frac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers. L’irrationalité de \(e\) fut démontrée par Euler lui-même, en 1737, grâce à son développement en fraction continue infinie.

Et \(e\) est même transcendant — ce qui est encore plus fort. Cela signifie qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients entiers. Hermite l’a prouvé en 1873. En termes simples : on ne peut pas « attraper » \(e\) avec une équation algébrique, aussi compliquée soit-elle.

C’est là que la magie opère ! Ce nombre est tellement fondamental qu’il surgit de multiples directions à la fois — chacune différente, toutes équivalentes. C’est un signe que \(e\) n’est pas une curiosité artificielle, mais qu’il est profondément inscrit dans la structure des mathématiques.

C’est la question clé, et on peut la comprendre avec nos suites. La dérivée de \(a^x\) par rapport à \(x\), c’est \(a^x \cdot \ln(a)\). Pour que cette dérivée soit exactement \(a^x\), il faut et il suffit que \(\ln(a) = 1\), c’est-à-dire que \(a = e\).

En termes concrets : si une population suit la loi \(N(t) = N_0 \cdot e^t\), sa vitesse de croissance à chaque instant est exactement égale à sa taille actuelle. Plus on est nombreux, plus on grandit vite — et dans exactement la même proportion.

C’est le modèle de la croissance exponentielle : bactéries, intérêts bancaires, propagation d’un virus au début d’une épidémie…

(sourire) Leonhard Euler est le plus grand mathématicien du XVIII^e siècle, peut-être de tous les temps. Il était d’ailleurs lui aussi Bâlois — comme moi ! Ce serait vanité que de me plaindre.

En 1748, dans son Introductio in analysin infinitorum, Euler a non seulement nommé cette constante e, mais il en a révélé toute la profondeur : la série \(\sum \frac{1}{k!}\), les fractions continues, et surtout la formule extraordinaire \(e^{i\pi} + 1 = 0\) qui relie \(e\), \(\pi\), \(i\), 1 et 0 — les cinq constantes fondamentales des mathématiques. Moi, j’avais planté la graine. Euler a fait pousser la forêt.

L’expression est juste mathématiquement, même si elle est souvent mal comprise dans le langage courant. Une croissance exponentielle signifie précisément que la quantité suit une loi du type \(f(t) = A \cdot e^{kt}\), avec \(k > 0\).

Ce que cela implique concrètement :

• La quantité se multiplie par un facteur fixe à chaque intervalle de temps égal.
• La vitesse de croissance est proportionnelle à la taille actuelle.
• La croissance s’emballe — elle dépasse finalement toute loi polynomiale.

Exemples réels : doublement d’une population bactérienne, dépréciation radioactive (avec \(k < 0\) : décroissance), intérêts bancaires continus, début d’une épidémie.

C’est la vraie merveille. \(e\) n’est pas une constante arbitraire inventée par les mathématiciens — c’est celle que la nature choisit spontanément chaque fois qu’un phénomène évolue proportionnellement à lui-même.

Voici quelques domaines où \(e\) surgit naturellement, sans qu’on l’ait invité :

Je leur dirais ceci : ne mémorisez pas la définition, comprenez-la.

Demandez-vous toujours ce que signifie \(e^x\) physiquement. C’est une quantité qui double, triple, croît — à une vitesse proportionnelle à elle-même. C’est le comportement le plus naturel qui soit, et \(e\) est le nombre qui le décrit parfaitement.

Les trois choses essentielles à savoir sur \(e\) au lycée :

Sans hésiter : la formule d’Euler, \(e^{i\pi} + 1 = 0\).

En cherchant combien un franc peut rapporter en une année à intérêt continu, j’aurais été stupéfait d’apprendre qu’on aboutirait un jour à une identité reliant ma constante e, le rapport du cercle \(\pi\), le nombre imaginaire \(i = \sqrt{-1}\), et les entiers 1 et 0. Ces cinq objets semblent habiter des univers mathématiques totalement différents. La formule d’Euler les unit en une seule ligne.

C’est pour cela, je crois, que les mathématiciens aiment tant ce sujet : on commence par un problème de banque, et l’on finit par toucher à l’architecture secrète de l’univers.