Ch6 — Fonction exponentielle · Exercices WIMS
Définition — Fonction exponentielle
La fonction exponentielle \(\exp\) est l’unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f' = f\) et \(f(0) = 1\).
On note \(e^x = \exp(x)\), avec \(e \approx 2{,}718\ldots\)
Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
- \(e^{a+b} = e^a \cdot e^b\)
- \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\)
- \(\left(e^a\right)^n = e^{na}\)
- \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\), \(e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} > 0\)
Dérivée de la fonction exponentielle
\(\left(e^x\right)' = e^x\) — la fonction exponentielle est sa propre dérivée.
Par composition (\(u\) dérivable) :
\(\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u\)
Règles utiles :
- Produit : \((u \cdot e^x)' = u'e^x + ue^x = (u'+u)e^x\)
- Quotient : \(\left(\dfrac{u}{e^x}\right)' = \dfrac{u'e^x - ue^x}{e^{2x}} = \dfrac{u'-u}{e^x}\)
Variations et limites
La fonction \(x \mapsto e^x\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- \(\lim_{x \to -\infty} e^x = 0\) (asymptote horizontale en \(-\infty\))
- \(\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
- \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
Croissances comparées (Terminale) : \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Équations et inéquations
Puisque \(e^x\) est strictement croissante et à valeurs dans \(\mathbb{R}^+_*\) :
- \(e^a = e^b \iff a = b\)
- \(e^a < e^b \iff a < b\)
- \(e^x = k\) a une solution ssi \(k > 0\) : \(x = \ln k\)
Applications — Modèles exponentiels
Modèle de croissance/décroissance exponentielle : \(f(t) = A \cdot e^{kt}\)
- \(k > 0\) : croissance exponentielle (population, intérêts composés…)
- \(k < 0\) : décroissance exponentielle (radioactivité, médicament…)
Intérêts composés : \(C_n = C_0 \cdot (1+t)^n\), où \(t\) est le taux par période.