Ch2 — Second degré · Exercices WIMS
Discriminant
Pour \(ax^2+bx+c=0\) : \(\Delta = b^2-4ac\).
- Si \(\Delta>0\) : 2 solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta=0\) : 1 solution \(x_0=\dfrac{-b}{2a}\)
- Si \(\Delta<0\) : pas de solution réelle
Forme canonique
\(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) avec \(\alpha=-\dfrac{b}{2a}\) et \(\beta=f(\alpha)=-\dfrac{\Delta}{4a}\).
Sommet de la parabole : \(S(\alpha,\beta)\). Axe de symétrie : \(x=\alpha\).
Signe du trinôme
Le signe de \(ax^2+bx+c\) dépend de \(a\) et \(\Delta\) :
- Si \(\Delta<0\) : même signe que \(a\) pour tout \(x\)
- Si \(\Delta=0\) : même signe que \(a\) sauf en \(x_0\)
- Si \(\Delta>0\) : signe opposé à \(a\) entre les racines
Parabole et variations
- Si \(a>0\) : parabole ouverte vers le haut, minimum en \(\alpha\)
- Si \(a<0\) : ouverte vers le bas, maximum en \(\alpha\)
Variations : décroissante puis croissante si \(a>0\), inverse si \(a<0\).