Math@mine / Première / Ch2 / Exercices

Exercices — Second degré

Première — Chapitre 2

Exercices — Second degré

Discriminant, formes, signe, inéquations et optimisation

Progression :
0 / 8
← Revoir le cours 📓 Notebook Python 🎯 WIMS
1

Forme canonique

★☆☆ Facile

Mettre chaque trinôme sous forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\), puis identifier le sommet de la parabole.

  1. \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)
  2. \(g(x) = 2x^2 + 4x - 1\)
  3. \(h(x) = -3x^2 + 12x - 7\)
  4. \(k(x) = x^2 + x + 1\)
Correction
  1. \(\alpha = 3\), \(f(3) = 9-18+5 = -4\). Forme : \((x-3)^2 - 4\). Sommet \(S(3, -4)\).
  2. \(\alpha = -1\), \(g(-1) = 2-4-1 = -3\). Forme : \(2(x+1)^2 - 3\). Sommet \(S(-1, -3)\).
  3. \(\alpha = 2\), \(h(2) = -12+24-7 = 5\). Forme : \(-3(x-2)^2 + 5\). Sommet \(S(2, 5)\).
  4. \(\alpha = -\frac{1}{2}\), \(k(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1 = \frac{3}{4}\). Forme : \((x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\). Sommet \(S(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4})\).
2

Résolution d’équations du second degré

★☆☆ Facile

Résoudre chaque équation dans \(\mathbb{R}\).

  1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
  2. \(2x^2 + 3x - 5 = 0\)
  3. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
  4. \(3x^2 - x + 2 = 0\)
  5. \(x^2 - 3 = 0\)
Correction
  1. \(\Delta = 25-24 = 1\). \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\).
  2. \(\Delta = 9+40 = 49\). \(x_1 = \frac{-3-7}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}\), \(x_2 = \frac{-3+7}{4} = 1\).
  3. \(\Delta = 16-16 = 0\). Racine double : \(x_0 = 2\).
  4. \(\Delta = 1-24 = -23 < 0\). Pas de racine réelle.
  5. \(\Delta = 12 > 0\). \(x_1 = -\sqrt{3}\), \(x_2 = \sqrt{3}\).
3

Factorisation

★★☆ Intermédiaire

Factoriser chaque trinôme lorsque c’est possible.

  1. \(f(x) = x^2 - 7x + 12\)
  2. \(g(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
  3. \(h(x) = x^2 + 2x + 2\)
  4. \(k(x) = -2x^2 + 8x\)
  5. \(l(x) = 4x^2 - 9\) (identité remarquable)
Correction
  1. \(\Delta = 49-48 = 1\). \(x_1 = 3\), \(x_2 = 4\). \(f(x) = (x-3)(x-4)\).
  2. \(\Delta = 25-24 = 1\). \(x_1 = \frac{5-1}{6} = \frac{2}{3}\), \(x_2 = 1\). \(g(x) = 3(x-\frac{2}{3})(x-1) = (3x-2)(x-1)\).
  3. \(\Delta = 4-8 = -4 < 0\). Non factorisable dans \(\mathbb{R}\).
  4. \(k(x) = -2x(x-4)\) (mettre \(-2x\) en facteur).
  5. \(l(x) = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)\).
4

Tableau de signes

★★☆ Intermédiaire

Pour chaque trinôme, dresser le tableau de signes complet.

  1. \(f(x) = x^2 - x - 6\)
  2. \(g(x) = -2x^2 + 6x - 4\)
  3. \(h(x) = x^2 + 4\)
  4. \(k(x) = (x-1)(2x+3)\)
Correction
  1. \(\Delta = 1+24 = 25\). \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). \(a = 1 > 0\). Signe : \(+\) sur \(]-\infty,-2[\), \(-\) sur \(]-2,3[\), \(+\) sur \(]3,+\infty[\).
  2. \(\Delta = 36-32 = 4\). \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). \(a = -2 < 0\). Signe : \(-\) sur \(]-\infty,1[\), \(+\) sur \(]1,2[\), \(-\) sur \(]2,+\infty[\).
  3. \(\Delta = -16 < 0\). \(a = 1 > 0\). \(h(x) > 0\) pour tout réel.
  4. Racines : \(x = 1\) et \(x = -\frac{3}{2}\). Coefficient dominant \(2 > 0\). Signe : \(+\) sur \(]-\infty,-\frac{3}{2}[\), \(-\) sur \(]-\frac{3}{2},1[\), \(+\) sur \(]1,+\infty[\).
5

Inéquations du second degré

★★☆ Intermédiaire

Résoudre chaque inéquation dans \(\mathbb{R}\).

  1. \(x^2 - x - 6 \leq 0\)
  2. \(-2x^2 + 6x - 4 > 0\)
  3. \(x^2 + 4 < 0\)
  4. \(x^2 - 2x - 3 \geq 0\)
  5. \(2x^2 \leq 3x + 2\)
Correction
  1. D’après le tableau de signes de l’ex. 4 : solution \([-2, 3]\).
  2. D’après le tableau de signes de l’ex. 4 : solution \(]1, 2[\).
  3. \(h(x) > 0\) pour tout réel → \(h(x) < 0\) jamais → solution \(\emptyset\).
  4. \(\Delta = 4+12 = 16\). \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). \(a = 1 > 0\). Solution : \(]-\infty, -1] \cup [3, +\infty[\).
  5. \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\). \(\Delta = 9+16 = 25\). \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = 2\). Solution : \([-\frac{1}{2}, 2]\).
6

Formules de Viète

★★☆ Intermédiaire
  1. Sans calculer le discriminant, vérifier que 2 et 5 sont les racines de \(x^2 - 7x + 10 = 0\).
  2. Trouver un trinôme \(x^2 + bx + c\) ayant pour racines \(-3\) et \(7\).
  3. Les racines \(x_1\) et \(x_2\) de \(3x^2 - 5x + k = 0\) vérifient \(x_1 + x_2 = \frac{5}{3}\) et \(x_1 x_2 = \frac{k}{3}\). Trouver \(k\) tel que \(x_1^2 + x_2^2 = 3\).
  4. Déterminer \(m\) pour que l’équation \(x^2 + mx + m + 3 = 0\) ait une racine double.
Correction
  1. Somme : \(2+5 = 7 = \frac{7}{1}\) ✓. Produit : \(2 \times 5 = 10 = \frac{10}{1}\) ✓. Ce sont bien les racines.
  2. Somme des racines : \(b = -((-3)+7) = -4\). Produit : \(c = (-3)(7) = -21\). Trinôme : \(x^2 - 4x - 21\).
  3. \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \frac{25}{9} - \frac{2k}{3} = 3\). Donc \(\frac{2k}{3} = \frac{25}{9} - 3 = -\frac{2}{9}\), d’où \(k = -\frac{1}{3}\).
  4. Racine double ⟺ \(\Delta = 0\) : \(m^2 - 4(m+3) = 0\), soit \(m^2 - 4m - 12 = 0\). \(\Delta' = 16+48 = 64\). \(m = \frac{4 \pm 8}{2}\) → \(m = 6\) ou \(m = -2\).
7

Étude complète d’un trinôme

★★☆ Intermédiaire

Soit \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).

  1. Calculer le discriminant et en déduire les racines de \(f\).
  2. Écrire \(f\) sous forme factorisée puis sous forme canonique.
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Déterminer le maximum de \(f\) et le point où il est atteint.
  5. Résoudre l’inéquation \(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\).
Correction
  1. \(\Delta = 36-20 = 16\). \(x_1 = \frac{-6-4}{-2} = 5\), \(x_2 = \frac{-6+4}{-2} = 1\).
  2. Factorisée : \(f(x) = -(x-1)(x-5)\). Canonique : \(\alpha = 3\), \(f(3) = -9+18-5 = 4\), donc \(f(x) = -(x-3)^2+4\).
  3. \(a = -1 < 0\) → croissante sur \(]-\infty, 3]\), décroissante sur \([3, +\infty[\).
  4. Maximum : \(f(3) = 4\) atteint en \(x = 3\). Sommet \(S(3, 4)\).
  5. \(a < 0\), racines 1 et 5 → \(f(x) \geq 0\) entre les racines. Solution : \([1, 5]\).
8

Problème d’optimisation

★★★ Difficile

Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production de \(x\) objets (en milliers d’euros) est \(C(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 10\) pour \(x \in [0, 10]\). Le prix de vente unitaire est \(p(x) = 8 - 0{,}3x\).

  1. Exprimer le chiffre d’affaires \(CA(x) = x \cdot p(x)\) en fonction de \(x\).
  2. Exprimer le bénéfice \(B(x) = CA(x) - C(x)\) en fonction de \(x\).
  3. Mettre \(B(x)\) sous forme canonique.
  4. Pour quelle quantité \(x\) le bénéfice est-il maximum ? Quel est ce bénéfice maximum ?
  5. Pour quelles valeurs de \(x\) l’entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?
Correction
  1. \(CA(x) = x(8-0{,}3x) = 8x - 0{,}3x^2\).
  2. \(B(x) = 8x-0{,}3x^2 - 0{,}5x^2+4x-10 = -0{,}8x^2+12x-10\).
  3. \(\alpha = -\frac{12}{2 \times (-0{,}8)} = 7{,}5\). \(B(7{,}5) = -0{,}8 \times 56{,}25 + 90 - 10 = -45 + 90 - 10 = 35\). Forme : \(B(x) = -0{,}8(x-7{,}5)^2 + 35\).
  4. Maximum en \(x = 7{,}5\) milliers d’objets. Bénéfice maximum : \(35\) milliers d’euros = 35 000 €.
  5. \(\Delta = 144 - 32 = 112\). Avec \(2a = -1{,}6\) : \(\dfrac{-12+\sqrt{112}}{-1{,}6} \approx 0{,}89\) et \(\dfrac{-12-\sqrt{112}}{-1{,}6} \approx 14{,}11\). Donc \(x_1 \approx 0{,}89\) et \(x_2 \approx 14{,}11\). Sur \([0,10]\) : bénéficiaire pour \(x \in ]0{,}89\,;\,10]\) (environ).

📚 Exercices complémentaires (8)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Forme canonique

Mettre chaque trinôme sous forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\), puis identifier le sommet de la parabole.

  1. \(f(x) = x^2 - 6x + 5\)
  2. \(g(x) = 2x^2 + 4x - 1\)
  3. \(h(x) = -3x^2 + 12x - 7\)
  4. \(k(x) = x^2 + x + 1\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\alpha = 3\), \(f(3) = 9-18+5 = -4\). Forme : \((x-3)^2 - 4\). Sommet \(S(3,\,-4)\).
  2. \(\alpha = -1\), \(g(-1) = 2-4-1 = -3\). Forme : \(2(x+1)^2 - 3\). Sommet \(S(-1,\,-3)\).
  3. \(\alpha = 2\), \(h(2) = -12+24-7 = 5\). Forme : \(-3(x-2)^2 + 5\). Sommet \(S(2,\,5)\).
  4. \(\alpha = -\dfrac{1}{2}\), \(k\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1 = \dfrac{3}{4}\). Forme : \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}\). Sommet \(S\!\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{3}{4}\right)\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Résolution d'équations du second degré

Résoudre chaque équation dans \(\mathbb{R}\).

  1. \(x^2 - 5x + 6 = 0\)
  2. \(2x^2 + 3x - 5 = 0\)
  3. \(x^2 - 4x + 4 = 0\)
  4. \(3x^2 - x + 2 = 0\)
  5. \(x^2 - 3 = 0\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\Delta = 25-24 = 1\). \(x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2\), \(x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3\).
  2. \(\Delta = 9+40 = 49\). \(x_1 = \dfrac{-3-7}{4} = -\dfrac{5}{2}\), \(x_2 = \dfrac{-3+7}{4} = 1\).
  3. \(\Delta = 16-16 = 0\). Racine double : \(x_0 = 2\).
  4. \(\Delta = 1-24 = -23 < 0\). Pas de racine réelle.
  5. \(\Delta = 12 > 0\). \(x_1 = -\sqrt{3}\), \(x_2 = \sqrt{3}\).
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Factorisation

Factoriser chaque trinôme lorsque c'est possible.

  1. \(f(x) = x^2 - 7x + 12\)
  2. \(g(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
  3. \(h(x) = x^2 + 2x + 2\)
  4. \(k(x) = -2x^2 + 8x\)
  5. \(l(x) = 4x^2 - 9\) (identité remarquable)
Voir la correction
Correction
  1. \(\Delta = 49-48 = 1\). \(x_1 = 3\), \(x_2 = 4\). \(f(x) = (x-3)(x-4)\).
  2. \(\Delta = 25-24 = 1\). \(x_1 = \dfrac{2}{3}\), \(x_2 = 1\). \(g(x) = 3\!\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x-1) = (3x-2)(x-1)\).
  3. \(\Delta = 4-8 = -4 < 0\). Non factorisable dans \(\mathbb{R}\).
  4. \(k(x) = -2x(x-4)\) (mettre \(-2x\) en facteur).
  5. \(l(x) = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)\).
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Tableau de signes

Pour chaque trinôme, dresser le tableau de signes complet.

  1. \(f(x) = x^2 - x - 6\)
  2. \(g(x) = -2x^2 + 6x - 4\)
  3. \(h(x) = x^2 + 4\)
  4. \(k(x) = (x-1)(2x+3)\)
Voir la correction
Correction
  1. \(\Delta = 1+24 = 25\). \(x_1 = -2\), \(x_2 = 3\). \(a = 1 > 0\).

    Signe : \(+\) sur \(]-\infty,-2[\), \(-\) sur \(]-2,3[\), \(+\) sur \(]3,+\infty[\).

  2. \(\Delta = 36-32 = 4\). \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). \(a = -2 < 0\).

    Signe : \(-\) sur \(]-\infty,1[\), \(+\) sur \(]1,2[\), \(-\) sur \(]2,+\infty[\).

  3. \(\Delta = -16 < 0\). \(a = 1 > 0\). \(h(x) > 0\) pour tout réel.
  4. Racines : \(x = 1\) et \(x = -\dfrac{3}{2}\). Coefficient dominant \(2 > 0\).

    Signe : \(+\) sur \(\left]-\infty,-\dfrac{3}{2}\right[\), \(-\) sur \(\left]-\dfrac{3}{2},1\right[\), \(+\) sur \(]1,+\infty[\).

Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Inéquations du second degré

Résoudre chaque inéquation dans \(\mathbb{R}\).

  1. \(x^2 - x - 6 \leq 0\)
  2. \(-2x^2 + 6x - 4 > 0\)
  3. \(x^2 + 4 < 0\)
  4. \(x^2 - 2x - 3 \geq 0\)
  5. \(2x^2 \leq 3x + 2\)
Voir la correction
Correction
  1. D'après le tableau de signes de l'exercice précédent : solution \([-2,\,3]\).
  2. D'après le tableau de signes : solution \(]1,\,2[\).
  3. \(h(x) > 0\) pour tout réel, donc \(h(x) < 0\) n'a jamais lieu. Solution : \(\emptyset\).
  4. \(\Delta = 4+12 = 16\). \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). \(a = 1 > 0\). Solution : \(]-\infty,\,-1] \cup [3,\,+\infty[\).
  5. \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\). \(\Delta = 9+16 = 25\). \(x_1 = -\dfrac{1}{2}\), \(x_2 = 2\). Solution : \(\left[-\dfrac{1}{2},\,2\right]\).
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Formules de Viète
  1. Sans calculer le discriminant, vérifier que 2 et 5 sont les racines de \(x^2 - 7x + 10 = 0\).
  2. Trouver un trinôme \(x^2 + bx + c\) ayant pour racines \(-3\) et \(7\).
  3. Les racines \(x_1\) et \(x_2\) de \(3x^2 - 5x + k = 0\) vérifient \(x_1 + x_2 = \dfrac{5}{3}\) et \(x_1 x_2 = \dfrac{k}{3}\). Trouver \(k\) tel que \(x_1^2 + x_2^2 = 3\).
  4. Déterminer \(m\) pour que l'équation \(x^2 + mx + m + 3 = 0\) ait une racine double.
Voir la correction
Correction
  1. Somme : \(2+5 = 7 = \dfrac{7}{1}\). Produit : \(2 \times 5 = 10 = \dfrac{10}{1}\). Ce sont bien les racines.
  2. Somme des racines : \(b = -((-3)+7) = -4\). Produit : \(c = (-3)(7) = -21\). Trinôme : \(x^2 - 4x - 21\).
  3. \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = \dfrac{25}{9} - \dfrac{2k}{3} = 3\). Donc \(\dfrac{2k}{3} = \dfrac{25}{9} - 3 = -\dfrac{2}{9}\), d'où \(k = -\dfrac{1}{3}\).
  4. Racine double \(\Leftrightarrow\) \(\Delta = 0\) : \(m^2 - 4(m+3) = 0\), soit \(m^2 - 4m - 12 = 0\). \(\Delta' = 16+48 = 64\). \(m = \dfrac{4 \pm 8}{2}\), d'où \(m = 6\) ou \(m = -2\).
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Étude complète d'un trinôme

Soit \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).

  1. Calculer le discriminant et en déduire les racines de \(f\).
  2. Écrire \(f\) sous forme factorisée puis sous forme canonique.
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  4. Déterminer le maximum de \(f\) et le point où il est atteint.
  5. Résoudre l'inéquation \(-x^2 + 6x - 5 \geq 0\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\Delta = 36-20 = 16\). \(x_1 = \dfrac{-6-4}{-2} = 5\), \(x_2 = \dfrac{-6+4}{-2} = 1\).
  2. Factorisée : \(f(x) = -(x-1)(x-5)\). Canonique : \(\alpha = 3\), \(f(3) = -9+18-5 = 4\), donc \(f(x) = -(x-3)^2+4\).
  3. \(a = -1 < 0\) : croissante sur \(]-\infty,\,3]\), décroissante sur \([3,\,+\infty[\).
  4. Maximum : \(f(3) = 4\) atteint en \(x = 3\). Sommet \(S(3,\,4)\).
  5. \(a < 0\), racines 1 et 5 : \(f(x) \geq 0\) entre les racines. Solution : \([1,\,5]\).
Exo 8 Exercice Exercice 8
Exercice — Problème d'optimisation

Une entreprise fabrique des objets. Le coût de production de \(x\) objets (en milliers d'euros) est \(C(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 10\) pour \(x \in [0,\,10]\). Le prix de vente unitaire est \(p(x) = 8 - 0{,}3x\).

  1. Exprimer le chiffre d'affaires \(CA(x) = x \cdot p(x)\) en fonction de \(x\).
  2. Exprimer le bénéfice \(B(x) = CA(x) - C(x)\) en fonction de \(x\).
  3. Mettre \(B(x)\) sous forme canonique.
  4. Pour quelle quantité \(x\) le bénéfice est-il maximum ? Quel est ce bénéfice maximum ?
  5. Pour quelles valeurs de \(x\) l'entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?
Voir la correction
Correction
  1. \(CA(x) = x(8-0{,}3x) = 8x - 0{,}3x^2\).
  2. \(B(x) = 8x-0{,}3x^2 - 0{,}5x^2+4x-10 = -0{,}8x^2+12x-10\).
  3. \(\alpha = -\dfrac{12}{2 \times (-0{,}8)} = 7{,}5\). \(B(7{,}5) = -0{,}8 \times 56{,}25 + 90 - 10 = 35\).

    Forme canonique : \(B(x) = -0{,}8(x-7{,}5)^2 + 35\).

  4. Maximum en \(x = 7{,}5\) milliers d'objets. Bénéfice maximum : \(35\) milliers d'euros = 35 000 €.
  5. \(\Delta = 144 - 32 = 112\). Avec \(2a = -1{,}6\) : \(\dfrac{-12+\sqrt{112}}{-1{,}6} \approx 0{,}89\) et \(\dfrac{-12-\sqrt{112}}{-1{,}6} \approx 14{,}11\). Donc \(x_1 \approx 0{,}89\) et \(x_2 \approx 14{,}11\). Sur \([0,\,10]\) : bénéficiaire pour \(x \in {]0{,}89,\,10]}\) (environ).

Exercice paramétré — Discriminant en fonction de \(m\)

⭐⭐ Bac type · Étude de paramètre

On considère, pour tout réel \(m\), le trinôme : \(P_m(x) = x^2 - (m+1)x + m\).

  1. Calculer le discriminant \(\Delta(m)\) en fonction de \(m\).
  2. Pour quelles valeurs de \(m\) l'équation \(P_m(x) = 0\) admet-elle deux solutions distinctes ? Une solution double ? Aucune solution réelle ?
  3. Lorsque \(P_m\) admet deux racines \(x_1, x_2\), exprimer \(x_1 + x_2\) et \(x_1 x_2\) en fonction de \(m\) (relations de Viète).
  4. Vérifier que \(x = 1\) est toujours racine de \(P_m\), quelle que soit la valeur de \(m\). En déduire la factorisation de \(P_m(x)\).
Voir la correction
Correction
  1. \(\Delta(m) = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\).
  2. \(\Delta(m) = (m-1)^2 \geq 0\) pour tout \(m\). Donc : deux solutions distinctes si \(m \neq 1\), une solution double si \(m = 1\), pas de cas \(\Delta < 0\).
  3. Par les relations de Viète : \(x_1 + x_2 = m+1\) et \(x_1 x_2 = m\).
  4. \(P_m(1) = 1 - (m+1) + m = 0\) ✓. Donc \(x = 1\) est toujours racine, et \(P_m(x) = (x - 1)(x - m)\) (l'autre racine étant \(m\), via Viète : produit \(= 1 \cdot m = m\) ✓).