Le Dernier Algébriste d’Andalousie

Je suis né à Baza, dans la province de Grenade — ville froide, austère, et qui sent la guerre depuis mon enfance. Mon vrai nom est Abū al-Ḥasan ʿAlī ibn Muḥammad ibn ʿAlī al-Qurashī al-Qalaṣādī. On retient le dernier terme : al-Qalaṣādī, l’homme de Qalaṣa, la forteresse.

J’ai d’abord étudié à Grenade, puis j’ai traversé le détroit. Tlemcen, Tunis, Le Caire, Damas, La Mecque — j’ai prié sur la tombe du Prophète, que la paix soit sur lui, et j’ai rempli mes sacoches de problèmes non résolus. Je suis revenu au Maghreb parce que le sol d’Andalousie brûle sous nos pieds. Grenade tombera de mon vivant, j’en suis certain. Elle tombera en 1492, me dit quelque chose que je ne saurais nommer.

Ah, voilà qui me plaît. Non, rien ne naît du néant. Ce que nous appelons aujourd’hui « résoudre une équation » était pratiqué à Babylone — des gens qui parlaient akkadien sur des tablettes d’argile — au moins mille ans avant notre ère commune. Certaines de leurs tablettes ont survécu au déluge.

Tenez, il existe une tablette que les savants modernes appellent YBC 6967 — trouvée à l’université de Yale. Elle pose ce problème : « Un nombre et son réciproque : soustrais le réciproque du nombre, et tu obtiens 7. Que valent-ils ? » En langue moderne, si l’on pose x notre nombre et y son réciproque, on a :

Et voici leur méthode — d’une élégance qui me sidère encore :

C’est beau, n’est-ce pas ? Ils n’avaient pas de symboles. Pas de lettre pour l’inconnue. Mais ils savaient, dans leur chair, que la moyenne de deux nombres est liée à leur demi-somme, et que la demi-somme au carré excède le produit de la quantité que vaut le carré de la demi-différence. C’est exactement l’identité :

Ils ne l’écrivaient pas ainsi. Mais c’est ce qu’ils faisaient. Quatre mille ans avant que tu ne poses ta plume sur ce parchemin, un scribe à Babylone résolvait ce qui est, en réalité, une équation du second degré. Sans l’appeler ainsi.

Muḥammad ibn Mūsā al-Khwarizmi. Né quelque part dans la région du Khwarezm, mort autour de 850 à Bagdad — à la maison de la Sagesse, la Bayt al-Ḥikma, ce lieu béni que les Mongols détruiront plus tard. Son génie n’est pas d’avoir inventé les équations — les Babyloniens les résolvaient, les Grecs les connaissaient géométriquement. Son génie est d’avoir créé une méthode générale, applicable à tous les cas, avec une démonstration à l’appui.

Son traité s’intitule Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wal-muqābala — le Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la réduction. Al-jabr : c’est de là que vient ton mot « algèbre ». Et al-Khwarizmi lui-même donnera « algorithme » à la langue latine qui le traduit.

Il classe tous les problèmes du second degré en six types — car il ne connaît que des nombres positifs — et résout chacun. Prenons son exemple le plus célèbre :

Mais al-Khwarizmi ne se contente pas de donner la réponse. Il démontre. Et sa démonstration est géométrique — il dessine. Regarde :

Ce qui est révolutionnaire chez al-Khwarizmi, ce n’est pas l’astuce — les Babyloniens faisaient déjà cela. C’est qu’il l’accompagne d’une preuve rigoureuse par la figure. Il dit : voici pourquoi ça marche, et pas seulement : voici comment faire. La différence est immense. C’est la naissance d’une science.

Erreur courante ! Umar al-Khayyam — mort en 1131 — était d’abord un géomètre de premier ordre, un astronome de cour, un philosophe. Les quatrains sont l'œuvre d’un mathématicien qui buvait du vin et méditait sur le temps. Ce n’est pas contradictoire.

Al-Khayyam reprend là où al-Khwarizmi s’était arrêté. Les équations du second degré sont vaincues ? Parfait. Passons aux équations du troisième degré. Son traité, le Risāla fī'l-barāhīn ʿalā masāʾil al-jabr, est le premier traitement systématique des cubiques.

Mais — et c’est crucial — il ne peut pas les résoudre algébriquement. Les formules de Cardan n’existent pas encore. Il les résout géométriquement, par intersection de coniques. Prenez :

Al-Khayyam sait qu’il est à la limite de ce que le langage mathématique de son temps permet d’exprimer. Il voit le mur. Et c’est précisément là que mon travail intervient — non pour briser ce mur, mais pour construire un meilleur langage afin de le desceller, pierre par pierre.

Venu ? Ça m’a mûri, plutôt. Depuis des siècles, nous écrivons les équations en toutes lettres, en prose arabe. Dix fois la chose, augmenté d’un carré de la chose, égale trente-neuf. C’est clair, mais c’est long. Et plus les expressions s’allongent, plus les erreurs se glissent comme des scorpions dans des sandales.

J’ai observé les scribes. J’ai vu que lorsqu’on recopie vite, on abrège naturellement. On écrit ش pour shayʾ — « la chose ». Et j’ai pensé : pourquoi ne pas formaliser ces abréviations ? Faire d’elles un langage cohérent ? C’est ce que j’ai fait dans mon Kashf al-asrār ʿan ʿilm ḥurūf al-ghubār — L’Élucidation des secrets de la science des chiffres de poussière.

Avec plaisir. Prenez votre plume :

Tu vois ? En une seule ligne, sans une phrase entière. Et si je veux écrire la solution : ج ٦٤ ل ٥ — racine de 64, moins 5. Ce qui donne bien 8 − 5 = 3. La compression est extraordinaire. Ce n’est pas qu’une question d’économie d’encre — c’est que l’esprit, libéré du verbiage, peut voir la structure directement.

Mon traité d’arithmétique Talkīṣ aʿmāl al-ḥisāb — l’Abrégé des opérations du calcul — est peut-être plus utile dans la pratique quotidienne que l’algèbre. J’y traite notamment des suites arithmétiques, c’est-à-dire des sommes de termes régulièrement espacés. Sais-tu combien vaut la somme 1 + 2 + 3 + … + 100 ?

Et puis il y a cette chose merveilleuse que nos ancêtres appelaient le triangle arithmétique. Al-Karaji en avait parlé dès le XIe siècle, al-Khayyam aussi. Je le consigne à mon tour dans mes travaux :

Les Occidentaux l’appelleront « triangle de Pascal » au XVIIe siècle. Blaise Pascal était sans doute un génie, et je ne lui en veux pas — comment connaîtrait-il nos travaux, quand Grenade même a brûlé et que nos bibliothèques sont dispersées ? L’histoire des mathématiques est aussi l’histoire de ce qui se perd et de ce qui se retrouve.

Que le symbole n’est pas la vérité mathématique — il en est le vêtement. Quand tu écris x, tu vois le vêtement. La vérité, c’est « la chose inconnue que l’on cherche ». Le Babylonien qui n’avait aucun symbole la cherchait aussi bien que toi, parfois mieux.

Mais — et c’est capital — les bons vêtements facilitent le mouvement. Essaie de courir vêtu d’une djellaba de plomb, et compare avec une tunique légère. C’est ce que la bonne notation fait à la pensée : elle la libère. Elle permet de voir ce qu’on ne voyait pas, de manipuler ce qu’on ne pouvait pas tenir.

Quatre mille ans séparent la tablette babylonienne de mon parchemin tunisien. Quatre mille ans, et ce que nous faisons est identique dans sa nature, et transformé dans sa forme. Ce que la prochaine génération fera de mes symboles, je ne peux pas le savoir. Mais quelqu’un, quelque part, prendra mes ش et mes م et les transmuera en une écriture encore plus puissante. C’est ainsi que marche la science : elle est une rivière, pas un lac.