Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Le forfait A coute 15 € par mois plus 0,05 € par minute d’appel. Le forfait B coute 25 € par mois avec appels illimites.
Diophante d’Alexandrie (IIIe siècle) est considéré comme le « père de l’algèbre ». Son ouvrage Arithmetica contient des centaines de problèmes menant a des équations. Il fut l’un des premiers a utiliser des symboles pour représenter des inconnues.
La tradition rapporte qu’une enigme fut gravee sur sa tombe, resumant sa vie sous forme d’équation…
Voici l’enigme attribuee à la tombe de Diophante :
« Dieu lui accorda d’être un enfant pendant le sixieme de sa vie ; un douzieme après, son menton se couvrit de duvet. Apres un septieme encore, Dieu lui donna une epouse. Cinq ans plus tard naquit un fils, qui mourut, helas, à la moitié de l’âge de son père. Quatre ans après la mort de son fils, il termina sa vie. »
Si \(a \neq 0\), on isole \(x\) : \(ax + b = 0 \iff ax = -b \iff x = -\frac{b}{a}\).
Si \(a = 0\), l’équation devient \(b = 0\). Si \(b \neq 0\), c’est impossible (aucune solution). Si \(b = 0\), l’équation \(0 = 0\) est toujours vraie (tout réel est solution). \(\square\)
Cas particulier : si \(a = c\) l’équation devient \(b = d\), soit une tautologie (vraie pour tout \(x\)) ou une contradiction (aucune solution).
Résoudre \(3x + 7 = 5x - 1\).
\(3x - 5x = -1 - 7\), soit \(-2x = -8\), d’ou \(x = 4\).
Vérification : \(3(4) + 7 = 19\) et \(5(4) - 1 = 19\). ✅
On peut additionner membre a membre des inégalités de même sens.
Si \(a \leqslant b\) et \(c \leqslant d\), alors \(b - a \geqslant 0\) et \(d - c \geqslant 0\).
Donc \((b + d) - (a + c) = (b - a) + (d - c) \geqslant 0\), soit \(a + c \leqslant b + d\). \(\square\)
L’ordre est conservé par addition.
Si \(a \leqslant b\), alors \(b - a \geqslant 0\).
Or \((b + c) - (a + c) = b - a \geqslant 0\), donc \(a + c \leqslant b + c\). \(\square\)
Si \(a \leqslant b\), alors \(b - a \geqslant 0\).
Si \(k > 0\) : \(kb - ka = k(b - a) \geqslant 0\) (produit de deux positifs), donc \(ka \leqslant kb\).
Si \(k < 0\) : \(kb - ka = k(b - a) \leqslant 0\) (produit d’un négatif et d’un positif), donc \(ka \geqslant kb\).
L’inégalité s’inverse quand on multiplie par un négatif. \(\square\)
Si \(f(x) = kx + p\) avec \(k > 0\), alors \(f\) est croissante : si \(a \leqslant b\) alors \(f(a) \leqslant f(b)\).
Si \(k < 0\), alors \(f\) est décroissante : si \(a \leqslant b\) alors \(f(a) \geqslant f(b)\).
C’est exactement la règle de multiplication d’une inégalité par \(k\).
\(ax + b \geqslant 0 \iff ax \geqslant -b\).
Si \(a > 0\) : on divise par \(a > 0\) (l’inégalité est conservée) : \(x \geqslant -\frac{b}{a}\).
Si \(a < 0\) : on divise par \(a < 0\) (l’inégalité est inversée) : \(x \leqslant -\frac{b}{a}\). \(\square\)
On isole \(x\) en utilisant les propriétés des inégalités. Attention : on inverse le sens de l’inégalité quand on multiplie (ou divise) par un nombre négatif.
Résoudre \(-3x + 6 > 0\).
\(-3x > -6\). On divise par \(-3 < 0\), donc on inverse : \(x < 2\).
L’ensemble des solutions est \(]-\infty\,;\ 2[\).
Représentation sur la droite réelle : zone verte = solutions, cercle vide = borne exclue.
Résoudre \(2x + 3 \leqslant 5x - 9\).
\(2x - 5x \leqslant -9 - 3\), soit \(-3x \leqslant -12\). On divise par \(-3 < 0\) : \(x \geqslant 4\).
L’ensemble des solutions est \([4\,;\ +\infty[\).
Le salaire d’Alice est 2400 € et celui de Bob est 2000 €.
Si une grandeur passe de la valeur \(v_1\) a \(v_2\) :
Un cinéma propose deux tarifs : tarif A a 9 € la seance, tarif B avec une carte a 30 € puis 4 € la seance.
A partir de combien de seances le tarif B est-il plus avantageux ?
On cherche \(x\) tel que \(30 + 4x < 9x\), soit \(30 < 5x\), donc \(x > 6\). A partir de 7 seances, le tarif B est plus avantageux.
Une fonction qui gere les trois cas (solution unique, aucune solution, infinité de solutions) :
def résoudre(a, b): if a != 0: return f"x = {-b/a}" elif b == 0: return "Tous les réels sont solution" else: return "Pas de solution" print(résoudre(2, -6)) # x = 3.0 print(résoudre(0, 0)) # Tous les réels sont solution print(résoudre(0, 5)) # Pas de solution
On utilise les mêmes règles que pour résoudre une équation : on isole la variable souhaitee en effectuant les opérations inverses.
Isoler \(r\) (avec \(r > 0\)) : \(r^2 = \dfrac{S}{\pi}\), donc \(r = \sqrt{\dfrac{S}{\pi}}\).
Isoler \(a\) : \(a = \dfrac{V}{bc}\) (pour \(b \neq 0\) et \(c \neq 0\)).
Isoler \(y\) (avec \(b \neq 0\)) : \(by = c - ax\), donc \(y = \dfrac{c - ax}{b}\).
Chaque équation représente une droite dans le plan. Le système a :
1. De la première équation : \(y = 7 - 2x\).
2. On remplace dans la deuxième : \(3x - (7 - 2x) = 3\), soit \(5x - 7 = 3\), donc \(x = 2\).
3. On remonte : \(y = 7 - 2 \times 2 = 3\). La solution est le couple \((2\,;\,3)\).
Vérification : \(2 \times 2 + 3 = 7\) ✓ et \(3 \times 2 - 3 = 3\) ✓.
1. On multiplie la première équation par 3 et la seconde par 2 pour faire apparaître \(\pm 6y\) :
\[\begin{cases} 9x + 6y = 48 \\ 10x - 6y = 28 \end{cases}\]2. Addition membre à membre : \(19x = 76\), donc \(x = 4\).
3. On remplace dans la première équation initiale : \(3 \times 4 + 2y = 16\), soit \(2y = 4\), donc \(y = 2\). Solution : \((4\,;\,2)\).
Dans une cafétéria, 3 sandwichs et 2 boissons coûtent \(13{,}50\,\)€. 5 sandwichs et 4 boissons coûtent \(24\,\)€. Quel est le prix d’un sandwich, d’une boisson ?
Mise en équation. Soit \(x\) le prix d’un sandwich et \(y\) celui d’une boisson :
\[\begin{cases} 3x + 2y = 13{,}5 \\ 5x + 4y = 24 \end{cases}\]Résolution (combinaison). On multiplie la première par 2 : \(6x + 4y = 27\). On soustrait la seconde : \(x = 3\). Puis \(3 \times 3 + 2y = 13{,}5\) donne \(y = 2{,}25\).
Un sandwich coûte \(3\,\)€ et une boisson \(2{,}25\,\)€.
| Notion | Formule / Règle |
|---|---|
| Équation \(ax + b = 0\) | \(x = -\dfrac{b}{a}\) (pour \(a \neq 0\)) |
| Somme d’inégalités | \(a \leqslant b\) et \(c \leqslant d \Rightarrow a+c \leqslant b+d\) |
| Produit par \(k > 0\) | \(a \leqslant b \Rightarrow ka \leqslant kb\) |
| Produit par \(k < 0\) | \(a \leqslant b \Rightarrow ka \geqslant kb\) |
| Comparaison additive | Calculer \(a - b\) |
| Comparaison multiplicative | Calculer \(\dfrac{a}{b}\) (ratio, pour \(a, b > 0\)) |
| Équation \(x^2 = a\) | Si \(a > 0\) : \(x = \pm\sqrt{a}\) ; si \(a = 0\) : \(x = 0\) ; si \(a < 0\) : pas de solution |
On pose \(x\) le nombre de minutes d’appel par mois.
Le forfait B est plus avantageux quand \(15 + 0{,}05x \geqslant 25\), soit \(0{,}05x \geqslant 10\), donc \(x \geqslant 200\).
Conclusion : à partir de 200 minutes par mois, le forfait B (illimité à 25 €) devient plus avantageux que le forfait A. Pour exactement 200 minutes, les deux forfaits coûtent le même prix (25 €).
Notons \(x\) l’âge de Diophante a sa mort. L’enigme se traduit par :
\[\frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \frac{x}{7} + 5 + \frac{x}{2} + 4 = x\]
On reduit au même dénominateur (84) : \(\frac{14x + 7x + 12x + 42x}{84} + 9 = x\), soit \(\frac{75x}{84} + 9 = x\).
Donc \(9 = x - \frac{75x}{84} = \frac{9x}{84} = \frac{3x}{28}\), d’ou \(x = \frac{28 \times 9}{3} = 84\).
Diophante a vecu 84 ans.
Équations et inéquations : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Pour résoudre \(x^2 = 3x\), je divise des deux côtés par \(x\) et j’obtiens \(x = 3\). »
Cette demarche est-elle correcte ?
Diviser par \(x\) suppose \(x \neq 0\), ce qui exclut implicitement la solution \(x = 0\).
Méthode correcte : \(x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = 3\). Deux solutions, pas une !
Mini-test : combien de solutions a \(x^2 = 5x\) ?
🔗 Travaille dans les exercices de résolution du chapitre
« Pour résoudre \(-3x > 6\), je divise par \(-3\) et j’obtiens \(x > -2\). »
Cette demarche est-elle correcte ?
Diviser par \(-3 < 0\) inverse le sens de l’inégalité. La solution correcte est \(x < -2\).
Vérification : \(x = -3 < -2\). On a \(-3 \times (-3) = 9 > 6\). Mais \(x = 0 > -2\) : \(-3 \times 0 = 0 \not> 6\).
Mini-test : résoudre \(-2x \leq 8\), c’est :
🔗 Travaille dans les exercices sur les inéquations
« Si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\). »
Cette propriété est-elle toujours vraie dans \(\mathbb{R}\) ?
C’est le principe de nullite du produit : dans \(\mathbb{R}\), si un produit est nul, au moins un des facteurs est nul.
C’est cette propriété qui justifie toute résolution par factorisation :
\(x^2 - 3x = 0 \;\Rightarrow\; x(x-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ ou } x=3\)
Mini-test : résoudre \((x-1)(x+4) = 0\) :
🔗 Utilise dans les exercices de factorisation et résolution
« \(|x| = 5\) a une seule solution : \(x = 5\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
\(|x| = 5\) signifie « \(x\) est a distance 5 de 0 ». Il y a deux valeurs : \(x = 5\) et \(x = -5\).
En général : \(|x| = a\) avec \(a > 0\) → \(x = a\) ou \(x = -a\) (2 solutions).
\(|x| = 0\) → \(x = 0\) (1 solution). \(|x| = a < 0\) → aucune solution.
Mini-test : \(|2x - 1| = 3\) a combien de solutions ?
🔗 Travaille dans les exercices valeur absolue
« En resolvant une équation j’obtiens \(0 = 0\). L’équation n’a donc aucune solution. »
Cette conclusion est-elle correcte ?
C’est l’inverse ! \(0 = 0\) est une tautologie (toujours vraie) : l’équation est verifiee pour tout réel, donc \(\mathcal{S} = \mathbb{R}\).
C’est une contradiction comme \(0 = 5\) qui signifie l’absence de solution : \(\mathcal{S} = \emptyset\).
Mini-test : en resolvant on obtient \(5 = 5\). L’ensemble solution est :
🔗 Travaille dans les exercices sur les équations