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Exercices — Applications de la dérivation

Première — Chapitre 5

Exercices — Applications de la dérivation

Variations, extremums, optimisation

Progression :
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1

Tableau de variations

★☆☆ Facile

Pour chaque fonction, dresser le tableau de variations complet sur \(\mathbb{R}\).

  1. \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)
  2. \(g(x) = -2x^3 + 6x^2 - 1\)
  3. \(h(x) = x^4 - 4x^2 + 3\)
  4. \(k(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\). Signe : \(+\) sur \(]-\infty,-1[\), \(-\) sur \(]-1,1[\), \(+\) sur \(]1,+\infty[\). Max local \(f(-1) = 4\), min local \(f(1) = 0\).
  2. \(g'(x) = -6x^2 + 12x = -6x(x-2)\). Signe : \(-\) sur \(]-\infty,0[\), \(+\) sur \(]0,2[\), \(-\) sur \(]2,+\infty[\). Min local \(g(0)=-1\), max local \(g(2) = -16+24-1=7\).
  3. \(h'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2-2) = 4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\). Racines : \(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\). Min locaux en \(\pm\sqrt{2}\) : \(h(\sqrt{2}) = 4-8+3=-1\). Max local en \(0\) : \(h(0)=3\).
  4. \(k'(x) = \dfrac{2x(x^2+1) - (x^2-1)2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\). Signe de \(k'\) = signe de \(x\). Décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\). Min en \(0\) : \(k(0)=-1\).
2

Extremums sur un segment

★☆☆ Facile

Déterminer le maximum et le minimum global de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

  1. \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) sur \([-2, 3]\)
  2. \(g(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \([0, 5]\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{x} + x\) sur \([1, 4]\)
Correction
  1. Points critiques : \(x=-1\) (max local, \(f(-1)=4\)) et \(x=1\) (min local, \(f(1)=0\)). Bornes : \(f(-2)=0\), \(f(3)=20\). Maximum global : \(f(3)=20\). Minimum global : \(f(-2)=f(1)=0\).
  2. \(g'(x)=2x-4=0 \Rightarrow x=2 \in [0,5]\). \(g(0)=1\), \(g(2)=-3\), \(g(5)=6\). Max global : \(g(5)=6\). Min global : \(g(2)=-3\).
  3. \(h'(x)=-\frac{1}{x^2}+1=0 \Rightarrow x=1 \in [1,4]\). \(h(1)=2\), \(h(4)=\frac{17}{4}=4.25\). Max global : \(h(4)=\frac{17}{4}\). Min global : \(h(1)=2\).
3

Optimisation — Géométrie

★★☆ Intermédiaire

On découpe dans un carré de côté 12 cm des carrés aux quatre coins pour former une boîte sans couvercle.

  1. Si \(x\) est le côté des carrés découpés (\(0 < x < 6\)), exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte.
  2. Calculer \(V'(x)\) et déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
  3. Calculer le volume maximal.
Correction
  1. Dimensions de la boîte : longueur = largeur = \(12-2x\), hauteur = \(x\). \(V(x) = x(12-2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x\).
  2. \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)\). Sur \(]0,6[\) : \(V'(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). \(V'\) passe de \(+\) à \(-\) en 2 → maximum.
  3. \(V(2) = 2 \times 8^2 = 128\) cm³.
4

Optimisation — Économie

★★☆ Intermédiaire

Une entreprise produit \(x\) milliers d’objets (\(0 \leq x \leq 10\)). Le coût total est \(C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 5\) (en milliers d’euros) et le chiffre d’affaires est \(CA(x) = 10x\).

  1. Exprimer le bénéfice \(B(x) = CA(x) - C(x)\).
  2. Étudier les variations de \(B\) sur \([0, 10]\).
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice ?
  4. Pour quelles valeurs de \(x\) l’entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?
Correction
  1. \(B(x) = 10x - x^3 + 6x^2 - 15x - 5 = -x^3 + 6x^2 - 5x - 5\).
  2. \(B'(x) = -3x^2 + 12x - 5\). \(\Delta = 144 - 60 = 84\). \(x_1 = \frac{12-\sqrt{84}}{6} \approx 0{,}47\), \(x_2 = \frac{12+\sqrt{84}}{6} \approx 3{,}53\). \(B'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(x_1\) (min local) et de \(+\) à \(-\) en \(x_2\) (max local).
  3. Comparer \(B(x_2) \approx B(3{,}53)\), \(B(0) = -5\), \(B(10) = -1000+600-50-5 = -455\). Maximum en \(x_2 \approx 3{,}53\) milliers d’objets.
  4. \(B(x) > 0\) entre les deux racines positives de \(B\). \(B(0) = -5 < 0\), \(B(1) = -5 < 0\), \(B(2) = 1 > 0\), \(B(4) = -64+96-20-5 = 7 > 0\), \(B(5) = -125+150-25-5 = -5 < 0\). Par continuité, \(B\) s’annule entre 1 et 2 puis entre 4 et 5. Bénéficiaire sur un intervalle \(\approx ]1{,}8\, ;\, 4{,}7[\).
5

Optimisation — Physique

★★☆ Intermédiaire

Un projectile est lancé verticalement depuis le sol avec une vitesse initiale de 30 m/s. Sa hauteur à l’instant \(t\) (en secondes) est \(h(t) = -5t^2 + 30t\) (en mètres).

  1. À quel instant le projectile atteint-il sa hauteur maximale ?
  2. Quelle est cette hauteur maximale ?
  3. À quel instant retombe-t-il au sol ?
  4. Quelle est la vitesse instantanée \(v(t) = h'(t)\) ? Interpréter le signe de \(v\).
Correction
  1. \(h'(t) = -10t + 30 = 0 \Rightarrow t = 3\) s.
  2. \(h(3) = -45 + 90 = 45\) m.
  3. \(h(t) = 0 \Rightarrow t(-5t+30) = 0 \Rightarrow t = 0\) (départ) ou \(t = 6\) s.
  4. \(v(t) = -10t + 30\). \(v > 0\) sur \([0,3[\) : montée. \(v < 0\) sur \(]3,6]\) : descente. \(v(3) = 0\) : sommet.
6

Étude complète d’une fonction

★★☆ Intermédiaire

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}\) définie sur \(]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et simplifier.
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
  3. Déterminer les extremums locaux et leurs valeurs.
  4. Montrer que \(f(x) = x + 1 + \dfrac{4}{x-1}\). Que peut-on en déduire sur le comportement de \(f\) ?
Correction
  1. \(f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-x^2-3}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\).
  2. \((x-1)^2 > 0\). Signe de \(f'\) = signe de \((x-3)(x+1)\). Racines : \(x=-1\) et \(x=3\).
    Croissante sur \(]-\infty,-1]\), décroissante sur \([-1,1[\), décroissante sur \(]1,3]\), croissante sur \([3,+\infty[\).
  3. Max local en \(x=-1\) : \(f(-1)=\frac{(-1)^2+3}{-1-1}=\frac{4}{-2}=-2\). Min local en \(x=3\) : \(f(3)=\frac{9+3}{2}=\frac{12}{2}=6\).
  4. Division euclidienne : \(x^2+3 = (x+1)(x-1)+4\) donc \(f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(f(x)\approx x+1\) : la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique.
7

Optimisation — Problème géométrique avancé

★★★ Difficile

On inscrit un rectangle dans un triangle rectangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm. Un côté du rectangle est posé sur la base du triangle.

  1. En notant \(x\) la largeur du rectangle (\(0 < x < 6\)), exprimer la hauteur du rectangle en fonction de \(x\) (utiliser le théorème de Thalès).
  2. Exprimer l’aire \(A(x)\) du rectangle.
  3. Déterminer les dimensions du rectangle d’aire maximale.
  4. Quelle fraction de l’aire du triangle représente cette aire maximale ?
Correction
  1. Par Thalès : \(\dfrac{h}{4} = \dfrac{6-x}{6}\), donc \(h = \dfrac{4(6-x)}{6} = \dfrac{2(6-x)}{3}\).
  2. \(A(x) = x \times \dfrac{2(6-x)}{3} = \dfrac{2x(6-x)}{3} = \dfrac{-2x^2+12x}{3}\).
  3. \(A'(x) = \dfrac{-4x+12}{3} = 0 \Rightarrow x = 3\). \(h = \dfrac{2 \times 3}{3} = 2\). Rectangle : \(3 \times 2\) cm. \(A(3) = \dfrac{2 \times 3 \times 3}{3} = 6\) cm².
  4. Aire triangle = \(\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) cm². Fraction = \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\). Le rectangle maximal occupe la moitié du triangle.
8

Convexité hors programme

★★★ Difficile

Pour chaque fonction, étudier la convexité et trouver les éventuels points d’inflexion.

  1. \(f(x) = x^4 - 6x^2\)
  2. \(g(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\)
  3. Montrer que toute fonction polynôme de degré 2 est soit entièrement convexe, soit entièrement concave.
Correction
  1. \(f'(x) = 4x^3-12x\), \(f''(x) = 12x^2-12 = 12(x-1)(x+1)\). \(f''>0\) sur \(]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) (convexe), \(f''<0\) sur \(]-1,1[\) (concave). Points d’inflexion : \(x=\pm1\). \(f(-1)=1-6=-5\), \(f(1)=-5\). Inflexions en \((\pm1,-5)\).
  2. \(g'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}\), \(g''(x)=\dfrac{-2(1+x^2)^2+2x\cdot2(1+x^2)\cdot2x}{(1+x^2)^4}=\dfrac{-2(1+x^2)+8x^2}{(1+x^2)^3}=\dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\). \(g''=0 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\). Inflexions en \((\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})\).
  3. \(f(x)=ax^2+bx+c\), \(f''(x)=2a\). Constant : si \(a>0\), \(f''>0\) partout → entièrement convexe. Si \(a<0\), \(f''<0\) partout → entièrement concave. \(\square\)

📚 Exercices complémentaires (7)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Tableau de variations

Pour chaque fonction, dresser le tableau de variations complet sur \(\mathbb{R}\).

  1. \(f(x) = x^3 - 3x + 2\)
  2. \(g(x) = -2x^3 + 6x^2 - 1\)
  3. \(h(x) = x^4 - 4x^2 + 3\)
  4. \(k(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\)
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\). Signe~: \(+\) sur \(]-\infty,-1[\), \(-\) sur \(]-1,1[\), \(+\) sur \(]1,+\infty[\). Max local \(f(-1) = 4\), min local \(f(1) = 0\).
  2. \(g'(x) = -6x^2 + 12x = -6x(x-2)\). Signe~: \(-\) sur \(]-\infty,0[\), \(+\) sur \(]0,2[\), \(-\) sur \(]2,+\infty[\). Min local \(g(0)=-1\), max local \(g(2) = 7\).
  3. \(h'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\). Racines~: \(-\sqrt{2}\), \(0\), \(\sqrt{2}\). Min locaux en \(\pm\sqrt{2}\)~: \(h(\sqrt{2}) = -1\). Max local en \(0\)~: \(h(0)=3\).
  4. \(k'(x) = \dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\). Signe de \(k'\) = signe de \(x\). Décroissante sur \(]-\infty,0]\), croissante sur \([0,+\infty[\). Min en \(0\)~: \(k(0)=-1\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Extremums sur un segment

Déterminer le maximum et le minimum global de chaque fonction sur l'intervalle indique.

  1. \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) sur \([-2, 3]\)
  2. \(g(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \([0, 5]\)
  3. \(h(x) = \dfrac{1}{x} + x\) sur \([1, 4]\)
Voir la correction
Correction
  1. Points critiques~: \(x=-1\) (max local, \(f(-1)=4\)) et \(x=1\) (min local, \(f(1)=0\)). Bornes~: \(f(-2)=0\), \(f(3)=20\). Maximum global~: \(f(3)=20\). Minimum global~: \(f(-2)=f(1)=0\).
  2. \(g'(x)=2x-4=0 \Rightarrow x=2 \in [0,5]\). \(g(0)=1\), \(g(2)=-3\), \(g(5)=6\). Max global~: \(g(5)=6\). Min global~: \(g(2)=-3\).
  3. \(h'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+1=0 \Rightarrow x=1 \in [1,4]\). \(h(1)=2\), \(h(4)=\dfrac{17}{4}\). Max global~: \(h(4)=\dfrac{17}{4}\). Min global~: \(h(1)=2\).
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Optimisation géométrique

On découpe dans un carré de cote 12~cm des carrés aux quatre coins pour former une boîte sans couvercle.

  1. Si \(x\) est le cote des carrés decoupes (\(0 < x < 6\)), exprimer le volume \(V(x)\) de la boîte.
  2. Calculer \(V'(x)\) et déterminer la valeur de \(x\) qui maximise le volume.
  3. Calculer le volume maximal.
Voir la correction
Correction
  1. Dimensions de la boîte~: longueur = largeur = \(12-2x\), hauteur = \(x\). \(V(x) = x(12-2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x\).
  2. \(V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x-2)(x-6)\). Sur \(]0,6[\)~: \(V'(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). \(V'\) passe de \(+\) a \(-\) en \(2\) donc maximum.
  3. \(V(2) = 2 \times 8^2 = 128\)~cm\(^3\).
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Optimisation economique

Une entreprise produit \(x\) milliers d'objets (\(0 \leq x \leq 10\)). Le cout total est \(C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 5\) (en milliers d'euros) et le chiffre d'affaires est \(CA(x) = 10x\).

  1. Exprimer le bénéfice \(B(x) = CA(x) - C(x)\).
  2. Étudier les variations de \(B\) sur \([0, 10]\).
  3. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice ?
  4. Pour quelles valeurs de \(x\) l'entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?
Voir la correction
Correction
  1. \(B(x) = 10x - x^3 + 6x^2 - 15x - 5 = -x^3 + 6x^2 - 5x - 5\).
  2. \(B'(x) = -3x^2 + 12x - 5\). \(\Delta = 144 - 60 = 84\). \(x_1 = \dfrac{12-\sqrt{84}}{6} \approx 0{,}47\), \(x_2 = \dfrac{12+\sqrt{84}}{6} \approx 3{,}53\). \(B'\) passe de \(-\) a \(+\) en \(x_1\) (min local) et de \(+\) a \(-\) en \(x_2\) (max local).
  3. Comparer \(B(x_2) \approx B(3{,}53)\), \(B(0) = -5\), \(B(10) = -455\). Maximum en \(x_2 \approx 3{,}53\) milliers d'objets.
  4. \(B(x) > 0\) entre les deux racines positives de \(B\). \(B(2) = 1 > 0\), \(B(4) = 7 > 0\), \(B(5) = -5 < 0\). L'entreprise est bénéficiaire sur un intervalle \(\approx ]1{,}8\,;\,4{,}7[\).
Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Optimisation physique

Un projectile est lance verticalement depuis le sol avec une vitesse initiale de 30~m/s. Sa hauteur a l'instant \(t\) (en secondes) est \(h(t) = -5t^2 + 30t\) (en metres).

  1. A quel instant le projectile atteint-il sa hauteur maximale ?
  2. Quelle est cette hauteur maximale ?
  3. A quel instant retombe-t-il au sol ?
  4. Quelle est la vitesse instantanée \(v(t) = h'(t)\) ? Interpréter le signe de \(v\).
Voir la correction
Correction
  1. \(h'(t) = -10t + 30 = 0 \Rightarrow t = 3\)~s.
  2. \(h(3) = -45 + 90 = 45\)~m.
  3. \(h(t) = 0 \Rightarrow t(-5t+30) = 0 \Rightarrow t = 0\) (depart) ou \(t = 6\)~s.
  4. \(v(t) = -10t + 30\). \(v > 0\) sur \([0,3[\)~: montee. \(v < 0\) sur \(]3,6]\)~: descente. \(v(3) = 0\)~: sommet.
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Étude complete d'une fonction

Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}\) définie sur \(]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et simplifier.
  2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
  3. Déterminer les extremums locaux et leurs valeurs.
  4. Montrer que \(f(x) = x + 1 + \dfrac{4}{x-1}\). Que peut-on en déduire sur le comportement de \(f\) ?
Voir la correction
Correction
  1. \(f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\).
  2. \((x-1)^2 > 0\). Signe de \(f'\) = signe de \((x-3)(x+1)\). Racines~: \(x=-1\) et \(x=3\).

    Croissante sur \(]-\infty,-1]\), décroissante sur \([-1,1[\), décroissante sur \(]1,3]\), croissante sur \([3,+\infty[\).

  3. Max local en \(x=-1\)~: \(f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2\). Min local en \(x=3\)~: \(f(3)=\dfrac{12}{2}=6\).
  4. Division euclidienne~: \(x^2+3 = (x+1)(x-1)+4\) donc \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(f(x)\approx x+1\)~: la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique.
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Optimisation géométrique avancee

On inscrit un rectangle dans un triangle rectangle de base 6~cm et de hauteur 4~cm. Un cote du rectangle est pose sur la base du triangle.

  1. En notant \(x\) la largeur du rectangle (\(0 < x < 6\)), exprimer la hauteur du rectangle en fonction de \(x\) (utiliser le théorème de Thales).
  2. Exprimer l'aire \(A(x)\) du rectangle.
  3. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.
  4. Quelle fraction de l'aire du triangle represente cette aire maximale ?
Voir la correction
Correction
  1. Par Thales~: \(\dfrac{h}{4} = \dfrac{6-x}{6}\), donc \(h = \dfrac{2(6-x)}{3}\).
  2. \(A(x) = x \times \dfrac{2(6-x)}{3} = \dfrac{-2x^2+12x}{3}\).
  3. \(A'(x) = \dfrac{-4x+12}{3} = 0 \Rightarrow x = 3\). \(h = \dfrac{2 \times 3}{3} = 2\). Rectangle~: \(3 \times 2\)~cm. \(A(3) = 6\)~cm\(^2\).
  4. Aire triangle = \(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\)~cm\(^2\). Fraction = \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\). Le rectangle maximal occupe la moitié du triangle.

Optimisation avec contrainte — Boîte à volume fixé

⭐⭐ Bac type · Optimisation sous contrainte

Une boîte cylindrique sans couvercle (un seul fond circulaire + un côté latéral) doit avoir un volume intérieur fixé de \(V_0 = 1\) litre, soit \(1000\) cm\(^3\). On note \(r\) le rayon (en cm) et \(h\) la hauteur (en cm). On cherche les dimensions qui minimisent la surface de matériau utilisée.

  1. Exprimer \(h\) en fonction de \(r\) à partir de la contrainte \(\pi r^2 h = 1000\).
  2. Montrer que la surface totale (fond + côté latéral) s'écrit : \[S(r) = \pi r^2 + \dfrac{2000}{r}, \qquad r > 0.\]
  3. Calculer \(S'(r)\) puis montrer que \(S'(r) = 0 \iff r^3 = \dfrac{1000}{\pi}\).
  4. En déduire la valeur exacte du rayon optimal \(r^*\), puis sa valeur approchée à \(0{,}01\)~cm près.
  5. Calculer la hauteur correspondante. Que remarque-t-on sur le rapport \(h/r\) ?
Voir la correction
Correction
  1. De \(\pi r^2 h = 1000\) on tire \(h = \dfrac{1000}{\pi r^2}\).
  2. Surface = aire du fond + aire latérale = \(\pi r^2 + 2\pi r h\). En substituant : \(S(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{1000}{\pi r^2} = \pi r^2 + \dfrac{2000}{r}\).
  3. \(S'(r) = 2\pi r - \dfrac{2000}{r^2}\). On résout : \(2\pi r = \dfrac{2000}{r^2} \iff 2\pi r^3 = 2000 \iff r^3 = \dfrac{1000}{\pi}\).
  4. \(r^* = \sqrt[3]{\dfrac{1000}{\pi}} = \dfrac{10}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 6{,}83\)~cm. (Vérification du minimum : \(S''(r) = 2\pi + \dfrac{4000}{r^3} > 0\), donc \(S\) est convexe et \(r^*\) est bien un minimum.)
  5. \(h = \dfrac{1000}{\pi (r^*)^2} = \dfrac{1000}{\pi \cdot \tfrac{100}{\pi^{2/3}}} = \dfrac{10}{\pi^{1/3}} = r^*\). Donc \(\boxed{h = r^*}\) : la hauteur optimale est égale au rayon optimal — la boîte cylindrique sans couvercle de surface minimale a une hauteur égale à son rayon.