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Exercices — Suites numériques

Première spécialité mathématiques · Math@mine

📖 Cours 🐍 Python ✏️ Exercices 🧰 Fiche méthode 🎯 WIMS
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1

Calcul de termes

⭐ Facile

Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes \(u_0, u_1, u_2, u_3\) :

1. \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\)

2. \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}\)

3. \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\)

4. \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\)

Vérification Python
Correction

1. \(u_0=1, u_1=2, u_2=9, u_3=22\)

2. \(u_0=0{,}5, u_1=1, u_2=\frac{5}{4}, u_3=\frac{7}{5}\)

3. \(u_0=5, u_1=4, u_2=3{,}5, u_3=3{,}25\)

4. \(u_0=1, u_1=2, u_2=5, u_3=14\)

2

Suites arithmétiques

⭐ Facile

1. Montrer que \(u_n = 4n - 3\) est arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.

2. Une suite arithmétique vérifie \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 27\). Trouver la raison et \(u_0\).

3. Calculer \(S = 3 + 7 + 11 + \cdots + 99\).

4. Calculer \(1 + 2 + 3 + \cdots + n\) pour \(n = 100\).

Vérification Python
Correction

1. \(u_{n+1} - u_n = 4(n+1)-3-(4n-3) = 4\). Suite arithmétique de raison \(r=4\) et \(u_0 = -3\).

2. \(u_7 - u_3 = 4r = 16\) donc \(r = 4\). \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 12 = -1\).

3. Termes : 3, 7, 11, …, 99. Raison 4, nombre de termes : \(\frac{99-3}{4}+1 = 25\). \(S = 25 \times \frac{3+99}{2} = 25 \times 51 = 1275\).

4. \(S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050\).

3

Suites géométriques

⭐ Facile

1. Montrer que \(u_n = 5 \times 2^n\) est géométrique. Donner sa raison et son premier terme.

2. Une suite géométrique vérifie \(u_0 = 3\) et \(u_4 = 48\). Trouver la raison.

3. Calculer \(S = 1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^{10}\).

4. Un capital de 2000 € est placé à 4 % par an. Quel capital obtient-on après 5 ans ?

Vérification Python
Correction

1. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2\). Suite géométrique de raison \(q=2\), \(u_0=5\).

2. \(u_4 = 3q^4 = 48\) donc \(q^4 = 16 = 2^4\) donc \(q = 2\).

3. \(S = \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = \dfrac{1-177147}{-2} = 88573\).

4. \(C_5 = 2000 \times 1{,}04^5 \approx 2433{,}31\) €.

4

Sens de variation

⭐⭐ Moyen

1. Étudier le sens de variation de \(u_n = \dfrac{n+1}{n+2}\).

2. Montrer que \(u_n = n^2 - 5n\) est décroissante pour \(n \leq 2\) et croissante pour \(n \geq 3\).

3. Soit \(u_n = 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\). Montrer que \((u_n)\) est décroissante.

Correction

1. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+2}{n+3} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{n^2+4n+4-n^2-4n-3}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+3)(n+2)} > 0\).

La suite est strictement croissante.

2. \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n = 2n - 4\).

\(2n - 4 < 0 \Leftrightarrow n < 2\) et \(2n - 4 > 0 \Leftrightarrow n > 2\). ✓

3. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times (2/3)^{n+1}}{3 \times (2/3)^n} = \dfrac{2}{3} < 1\). Les termes sont strictement positifs et le rapport est \(< 1\) : suite strictement décroissante. ✓

5

Suite arithmético-géométrique

⭐⭐ Moyen

Soit la suite définie par \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = 0{,}5 u_n + 4\).

1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).

2. Trouver la valeur fixe \(\ell\) telle que \(\ell = 0{,}5\ell + 4\).

3. Poser \(v_n = u_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison 0,5.

4. En déduire la formule explicite de \(u_n\).

5. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?

Vérification Python
Correction

1. \(u_1 = 9, u_2 = 8{,}5, u_3 = 8{,}25\)

2. \(\ell = 0{,}5\ell + 4 \Rightarrow 0{,}5\ell = 4 \Rightarrow \ell = 8\)

3. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 8 = 0{,}5u_n + 4 - 8 = 0{,}5u_n - 4 = 0{,}5(u_n - 8) = 0{,}5 v_n\). Suite géométrique de raison 0,5. ✓

4. \(v_0 = u_0 - 8 = 2\), donc \(v_n = 2 \times 0{,}5^n\). Ainsi \(u_n = 8 + 2 \times 0{,}5^n\).

5. Comme \(0{,}5^n \to 0\), la suite tend vers 8.

6

Algorithme de seuil

⭐⭐ Moyen

1. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n < 0{,}001\).

2. Un capital de 500 € est placé à 5 % par an. À partir de quelle année dépasse-t-il 1000 € ?

3. Une population de 10 000 individus diminue de 8 % par an. En quelle année sera-t-elle inférieure à 5 000 ?

Algorithmes de seuil
Correction

1. \(n = 24\) : \((0{,}75)^{24} \approx 0{,}000751 < 0{,}001\).

2. Année 15 : le capital dépasse 1000 €.

3. Année 9 : la population passe sous 5000 individus.

7

Problème — Modélisation

⭐⭐⭐ Difficile

Une entreprise produit 1000 unités la première année. Chaque année, la production augmente de 200 unités et de 5 % par rapport à l’année précédente.

1. En notant \(u_n\) la production à l’année \(n\), écrire la relation de récurrence.

2. Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? arithmético-géométrique ?

3. À l’aide d’un algorithme, trouver à partir de quelle année la production dépasse 5000 unités.

4. Calculer la production totale sur les 10 premières années.

Modélisation Python
Correction

1. \(u_{n+1} = 1{,}05 u_n + 200\) avec \(u_0 = 1000\).

2. Ce n’est ni arithmétique (pas d’addition d’une constante seule) ni géométrique (pas de multiplication seule). C’est une suite arithmético-géométrique avec \(a = 1{,}05\) et \(b = 200\).

3. La production dépasse 5000 à l’année 13 (\(u_{13} \approx 5\,428\) unités).

4. Production totale sur les 10 premières années (\(u_0 + u_1 + \cdots + u_9\)) \(\approx 22\,889\) unités.

8

Activité Jupyter

🐍 Python

Pour aller plus loin avec des activités guidées complètes :

🐍 Ouvrir le notebook Jupyter
9

Médicament — Suite arithmético-géométrique

⭐⭐⭐ Difficile

Adapté du Bac Spé — Asie, mai 2022 (Ex. 2)

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. Après une première injection de \(1\) mg, le patient est placé sous perfusion. On estime que toutes les 30 minutes, l’organisme élimine 10 % de la quantité présente et reçoit une dose supplémentaire de \(0{,}25\) mg.

On note \(u_n\) la quantité de médicament (en mg) dans le sang au bout de \(n\) périodes de trente minutes. Ainsi \(u_0 = 1\).

1. Calculer \(u_1\).

2. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 0{,}25\).

3. On pose \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell\) est la solution de \(\ell = 0{,}9\,\ell + 0{,}25\).
a) Déterminer \(\ell\).
b) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
c) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^n\).

4. Le médicament est efficace dès que sa quantité dans le sang dépasse \(2\) mg. Écrire un algorithme Python qui détermine au bout de combien de périodes de 30 minutes le médicament devient efficace.

Algorithme Python
Correction

1. \(u_1 = 0{,}9 \times 1 + 0{,}25 = 1{,}15\) mg.

2. En une période, l’organisme élimine 10 % → il reste 90 % = \(0{,}9\,u_n\). La perfusion ajoute \(0{,}25\) mg. Donc \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 0{,}25\). ✓

3a. \(\ell = 0{,}9\,\ell + 0{,}25 \Rightarrow 0{,}1\,\ell = 0{,}25 \Rightarrow \ell = 2{,}5\).

3b. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 2{,}5 = 0{,}9\,u_n + 0{,}25 - 2{,}5 = 0{,}9\,u_n - 2{,}25 = 0{,}9(u_n - 2{,}5) = 0{,}9\,v_n\).
\((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}9\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 2{,}5 = 1 - 2{,}5 = -1{,}5\).

3c. \(v_n = -1{,}5 \times 0{,}9^n\), donc \(u_n = v_n + 2{,}5 = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^n\). ✓

4. L’algorithme renvoie \(n = 11\) : le médicament est efficace à partir de la 11ᵉ période, soit après 5h30.
Vérification : \(u_{10} = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^{10} \approx 1{,}977 < 2\) et \(u_{11} = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^{11} \approx 2{,}029 > 2\). ✓

📚 Exercices complémentaires (8)

Sélection issue de la banque Math@mine + manuel Sésamath (ouvert). Corrigés dépliables.

Exo 1 Exercice Exercice 1
Exercice — Calcul de termes

Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes \(u_0, u_1, u_2, u_3\).

  1. \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\)
  2. \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}\)
  3. \(u_0 = 5\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}\)
  4. \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\)
Voir la correction
Correction
  1. \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_2=9\), \(u_3=22\).
  2. \(u_0=0{,}5\), \(u_1=1\), \(u_2=\dfrac{5}{4}\), \(u_3=\dfrac{7}{5}\).
  3. \(u_0=5\), \(u_1=4\), \(u_2=3{,}5\), \(u_3=3{,}25\).
  4. \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_2=5\), \(u_3=14\).
Exo 2 Exercice Exercice 2
Exercice — Suites arithmétiques
  1. Montrer que \(u_n = 4n - 3\) est arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.
  2. Une suite arithmétique vérifie \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 27\). Trouver la raison et \(u_0\).
  3. Calculer \(S = 3 + 7 + 11 + \cdots + 99\).
  4. Calculer \(1 + 2 + 3 + \cdots + n\) pour \(n = 100\).
Voir la correction
Correction
  1. \(u_{n+1} - u_n = 4(n+1)-3-(4n-3) = 4\). Suite arithmétique de raison \(r=4\) et \(u_0 = -3\).
  2. \(u_7 - u_3 = 4r = 16\) donc \(r = 4\). \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 12 = -1\).
  3. Termes : 3, 7, 11, \ldots, 99. Raison 4, nombre de termes : \(\dfrac{99-3}{4}+1 = 25\). \(S = 25 \times \dfrac{3+99}{2} = 25 \times 51 = 1275\).
  4. \(S = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5050\).
Exo 3 Exercice Exercice 3
Exercice — Suites géométriques
  1. Montrer que \(u_n = 5 \times 2^n\) est géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
  2. Une suite géométrique vérifie \(u_0 = 3\) et \(u_4 = 48\). Trouver la raison.
  3. Calculer \(S = 1 + 3 + 9 + 27 + \cdots + 3^{10}\).
  4. Un capital de 2000~\euro{}{} est placé à 4\,% par an. Quel capital obtient-on après 5 ans ?
Voir la correction
Correction
  1. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5 \times 2^{n+1}}{5 \times 2^n} = 2\). Suite géométrique de raison \(q=2\), \(u_0=5\).
  2. \(u_4 = 3q^4 = 48\) donc \(q^4 = 16 = 2^4\) donc \(q = 2\).
  3. \(S = \dfrac{1-3^{11}}{1-3} = \dfrac{1-177\,147}{-2} = 88\,573\).
  4. \(C_5 = 2000 \times 1{,}04^5 \approx 2433{,}31\)~\euro{}{}.
Exo 4 Exercice Exercice 4
Exercice — Sens de variation
  1. Étudier le sens de variation de \(u_n = \dfrac{n+1}{n+2}\).
  2. Montrer que \(u_n = n^2 - 5n\) est décroissante pour \(n \leq 2\) et croissante pour \(n \geq 3\).
  3. Soit \(u_n = 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\). Montrer que \((u_n)\) est décroissante.
Voir la correction
Correction
  1. \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+2}{n+3} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+3)(n+2)} > 0\).

    La suite est strictement croissante.

  2. \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - n^2 + 5n = 2n - 4\).

    \(2n - 4 < 0 \Leftrightarrow n < 2\) et \(2n - 4 > 0 \Leftrightarrow n > 2\).

  3. \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times (2/3)^{n+1}}{3 \times (2/3)^n} = \dfrac{2}{3} < 1\). Les termes sont strictement positifs et le rapport est \(< 1\) : suite strictement décroissante.
Exo 5 Exercice Exercice 5
Exercice — Suite arithmético-géométrique

Soit la suite définie par \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 4\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
  2. Trouver la valeur fixe \(\ell\) telle que \(\ell = 0{,}5\,\ell + 4\).
  3. Poser \(v_n = u_n - \ell\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).
  4. En déduire la formule explicite de \(u_n\).
  5. Vers quelle valeur semble tendre la suite ?
Voir la correction
Correction
  1. \(u_1 = 9\), \(u_2 = 8{,}5\), \(u_3 = 8{,}25\).
  2. \(\ell = 0{,}5\,\ell + 4 \Rightarrow 0{,}5\,\ell = 4 \Rightarrow \ell = 8\).
  3. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 8 = 0{,}5\,u_n + 4 - 8 = 0{,}5(u_n - 8) = 0{,}5\,v_n\). Suite géométrique de raison \(0{,}5\).
  4. \(v_0 = u_0 - 8 = 2\), donc \(v_n = 2 \times 0{,}5^n\). Ainsi \(u_n = 8 + 2 \times 0{,}5^n\).
  5. Comme \(0{,}5^n \to 0\), la suite tend vers \(8\).
Exo 6 Exercice Exercice 6
Exercice — Algorithme de seuil
  1. Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n < 0{,}001\).
  2. Un capital de 500~\euro{}{} est placé à 5\,% par an. À partir de quelle année dépasse-t-il 1000~\euro{}{} ?
  3. Une population de 10\,000 individus diminue de 8\,% par an. En quelle année sera-t-elle inférieure à 5\,000 ?
Voir la correction
Correction
  1. \(n = 24\) : \((0{,}75)^{24} \approx 0{,}000\,751 < 0{,}001\).
  2. Année 15 : le capital dépasse 1000~\euro{}{}.
  3. Année 9 : la population passe sous 5\,000 individus.
Exo 7 Exercice Exercice 7
Exercice — Problème de modélisation

Une entreprise produit 1000 unités la première année. Chaque année, la production augmente de 200 unités et de 5\,% par rapport à l'année précédente.

  1. En notant \(u_n\) la production à l'année \(n\), écrire la relation de récurrence.
  2. Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? arithmético-géométrique ?
  3. À l'aide d'un algorithme, trouver à partir de quelle année la production dépasse 5000 unités.
  4. Calculer la production totale sur les 10 premières années.
Voir la correction
Correction
  1. \(u_{n+1} = 1{,}05\,u_n + 200\) avec \(u_0 = 1000\).
  2. Ce n'est ni arithmétique ni géométrique. C'est une suite arithmético-géométrique avec \(a = 1{,}05\) et \(b = 200\).
  3. La production dépasse 5000 à l'année 13 (\(u_{13} \approx 5\,428\) unités).
  4. Production totale sur les 10 premières années (\(u_0 + u_1 + \cdots + u_9\)) \(\approx 22\,889\) unités.
Exo 8 Exercice Exercice 9 (Bac Asie 2022)
Exercice — Médicament (adapté du Bac Asie 2022)

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse. Après une première injection de \(1\)~mg, le patient est placé sous perfusion. On estime que toutes les 30 minutes, l'organisme élimine 10\,% de la quantité présente et reçoit une dose supplémentaire de \(0{,}25\)~mg.

On note \(u_n\) la quantité de médicament (en mg) dans le sang au bout de \(n\) périodes de trente minutes. Ainsi \(u_0 = 1\).

  1. Calculer \(u_1\).
  2. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 0{,}25\).
  3. On pose \(v_n = u_n - \ell\) où \(\ell\) est la solution de \(\ell = 0{,}9\,\ell + 0{,}25\).
    1. Déterminer \(\ell\).
    2. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^n\).
  4. Le médicament est efficace dès que sa quantité dans le sang dépasse \(2\)~mg. Déterminer au bout de combien de périodes de 30 minutes le médicament devient efficace.
Voir la correction
Correction
  1. \(u_1 = 0{,}9 \times 1 + 0{,}25 = 1{,}15\)~mg.
  2. En une période, l'organisme élimine 10\,% : il reste \(0{,}9\,u_n\). La perfusion ajoute \(0{,}25\)~mg. Donc \(u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 0{,}25\).
    1. \(\ell = 0{,}9\,\ell + 0{,}25 \Rightarrow 0{,}1\,\ell = 0{,}25 \Rightarrow \ell = 2{,}5\).
    2. \(v_{n+1} = u_{n+1} - 2{,}5 = 0{,}9\,u_n + 0{,}25 - 2{,}5 = 0{,}9(u_n - 2{,}5) = 0{,}9\,v_n\).

      \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}9\) et de premier terme \(v_0 = 1 - 2{,}5 = -1{,}5\).

    3. \(v_n = -1{,}5 \times 0{,}9^n\), donc \(u_n = v_n + 2{,}5 = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}9^n\).
  4. \(u_{10} \approx 1{,}977 < 2\) et \(u_{11} \approx 2{,}029 > 2\). Le médicament est efficace à partir de la 11\ieme{} période, soit après 5\,h\,30.
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