Première spécialité mathématiques · Math@mine
On calcule \(u_{n+1} - u_n\) et on étudie son signe :
Cette méthode fonctionne toujours, quel que soit le signe des termes.
Étudier le sens de variation de \(u_n = \dfrac{n+1}{n+2}\).
Étape 1 : Calculer \(u_{n+1} - u_n\).
\(u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+2}{n+3} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}\)
Étape 2 : Développer le numérateur.
\(= \dfrac{n^2+4n+4 - (n^2+4n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+3)(n+2)}\)
Étape 3 : Conclure sur le signe.
Pour tout \(n \geq 0\), \((n+3)(n+2) > 0\), donc \(u_{n+1} - u_n > 0\). La suite est strictement croissante.
🔗 S’entraîner : Exercice 4, questions 1 et 2
Condition préalable : \(u_n > 0\) pour tout \(n\).
On calcule \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) et on compare à 1 :
Si les termes peuvent être négatifs ou nuls, cette méthode donne des résultats faux.
Contre-exemple : \(u_n = (-2)^n\).
Étudier le sens de variation de \(u_n = 3 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\).
Étape 1 : Vérifier que \(u_n > 0\).
\(3 > 0\) et \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n > 0\), donc \(u_n > 0\) pour tout \(n\). ✓
Étape 2 : Calculer le rapport.
\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \times (2/3)^{n+1}}{3 \times (2/3)^n} = \dfrac{2}{3} < 1\)
Étape 3 : Conclure.
Comme \(u_n > 0\) et \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\), la suite est strictement décroissante.
🔗 S’entraîner : Exercice 4, question 3
Si \(u_n = f(n)\) où \(f\) est une fonction dérivable sur \([0, +\infty[\) :
Étudier le sens de variation de \(u_n = n^2 - 5n\).
Étape 1 : Poser \(f(x) = x^2 - 5x\) et dériver.
\(f'(x) = 2x - 5\)
Étape 2 : Étudier le signe de \(f'(x)\).
\(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2{,}5\)
Étape 3 : Conclure pour la suite (valeurs entières de \(n\)).
Pour \(n \leq 2\), \(f'(n) \leq 0\) → suite décroissante. Pour \(n \geq 3\), \(f'(n) > 0\) → suite croissante.
Cette méthode ne s’applique que si \(u_n = f(n)\) avec une formule explicite. Elle ne fonctionne pas pour les suites définies par récurrence (\(u_{n+1} = g(u_n)\)).
🔗 S’entraîner : Exercice 4, question 2
Pour les suites arithmétiques et géométriques, pas besoin de calcul — le résultat est immédiat.
\((u_n)\) arithmétique de raison \(r\) :
Justification : \(u_{n+1} - u_n = r\), le signe ne dépend que de \(r\), pas de \(u_0\).
| \(u_0 > 0\) | \(u_0 < 0\) | |
|---|---|---|
| \(q > 1\) | Strictement croissante | Strictement décroissante |
| \(0 < q < 1\) | Strictement décroissante | Strictement croissante |
| \(q = 1\) | Constante | Constante |
| \(q < 0\) | Suite alternée (ni croissante ni décroissante) | |
Pour une suite arithmétique, le sens de variation ne dépend que de \(r\).
Pour une suite géométrique, il dépend à la fois de \(q\) et du signe de \(u_0\).
Beaucoup d’élèves oublient la deuxième condition pour les géométriques.
🔗 S’entraîner : Exercice 3, question 1 (géométrique) · Exercice 2, question 1 (arithmétique)
Une suite est croissante à partir du rang \(N\) si pour tout \(n \geq N\) : \(u_{n+1} \geq u_n\).
On dit aussi que la suite est « monotone à partir d’un certain rang ».
On a vu que \(u_n = n^2 - 5n\) vérifie \(u_{n+1} - u_n = 2n - 4\).
La suite est croissante à partir du rang 3, mais elle n’est pas croissante sur \(\mathbb{N}\) tout entier.
En terminale, le théorème de convergence monotone dit qu’une suite croissante et majorée converge. Ce théorème s’applique aussi si la suite est croissante seulement à partir d’un certain rang — la convergence ne dépend pas des premiers termes.
| Situation | Méthode recommandée |
|---|---|
| Suite quelconque | Méthode 1 — Signe de \(u_{n+1} - u_n\) |
| Suite à termes strictement positifs | Méthode 2 — Rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) comparé à 1 |
| Suite définie par \(u_n = f(n)\) avec \(f\) dérivable | Méthode 3 — Variations de \(f\) |
| Suite arithmétique | Signe de la raison \(r\) |
| Suite géométrique | Signe de \(u_0\) + comparaison de \(q\) à 1 |
En cas de doute, la méthode 1 (signe de \(u_{n+1} - u_n\)) fonctionne toujours. C’est le choix le plus sûr.