Chapitre 3 — Python — Première spécialité

Intérêts composés et doublement du capital

Un capital de 1 000 euros est placé à 3 % d’intérêts annuels composés. Chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts.

Quelle somme aura-t-on après 10 ans ? Après combien d’années le capital aura-t-il doublé ? Quelle suite modélise ce placement ?

Fibonacci, Al-Karaji et les suites récurrentes

Al-Karaji (Xe–XIe siècle, Bagdad) développe les propriétés des suites et pose les bases du raisonnement par récurrence dans ses travaux arithmétiques.

Fibonacci (Leonardo de Pise, 1170–1250) grandit à Béjaïa (Bougie, Algérie actuelle), où son père était comptable pour les marchands pisans. C’est là qu’il découvre le système de numération indo-arabe transmis par les savants du Maghreb. Il voyage ensuite en Égypte, en Syrie, en Grèce et en Sicile, avant de rentrer à Pise et d’écrire le Liber Abaci (1202) — le livre qui introduit les chiffres 0 à 9 en Europe occidentale et remplace définitivement les chiffres romains dans les calculs commerciaux. Il y présente également sa célèbre suite à travers un problème de reproduction de lapins.

Les Grecs, notamment Nicomaque de Gérase (Ier siècle), avaient étudié les suites arithmétiques et leurs propriétés dans le cadre de la théorie des nombres.

La suite de Fibonacci et le nombre d’or

La suite de Fibonacci est définie par $u_1 = 1$, $u_2 = 1$ et $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$.

Calculer les 8 premiers termes et les rapports $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Vers quelle valeur ces rapports semblent-ils converger ? Vérifier que $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$.

→ Solution complète en fin de chapitre

1. Les listes en Python

Définition

Une liste est une structure de données Python permettant de stocker une séquence ordonnée d’éléments. Elle est parfaitement adaptée pour représenter les termes d’une suite.

On crée une liste avec des crochets [], les éléments étant séparés par des virgules.

Création et accès à une liste

Opérations essentielles sur les listes

Opération	Code Python	Résultat
Créer vide	`u = []`	liste vide
Ajouter en fin	`u.append(x)`	ajoute x à la fin
Longueur	`len(u)`	nombre d’éléments
Accès	`u[i]`	élément d’indice i
Tranche	`u[a:b]`	éléments de a à b-1
Somme	`sum(u)`	somme des éléments

Construire une liste avec append

Parcourir une liste

2. Suites arithmétiques et géométriques en Python

Suite arithmétique

Suite géométrique

Suite arithmético-géométrique

3. Représentation graphique

Représentation d’une suite

On représente une suite $(u_n)$ par un nuage de points — on ne relie pas les points car $n$ est un entier (pas de valeurs entre deux rangs consécutifs).

Représentation de suites avec matplotlib

import matplotlib
matplotlib.use('Agg')
import matplotlib.pyplot as plt
import io, base64

# Trois suites à comparer
n = list(range(15))
arithmetique = [2 + 3*k for k in n]      # u_n = 2 + 3n
geometrique = [1000 * 0.8**k for k in n] # u_n = 1000 × 0.8^n
arith_geo = [5 * 2**k - 3 for k in n]    # u_n = 5×2^n - 3

fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))

axes[0].scatter(n, arithmetique, color='#185FA5', s=40)
axes[0].set_title('Suite arithmétique\n$u_n = 2 + 3n$')
axes[0].grid(True, alpha=0.3)
axes[0].set_xlabel('n')

axes[1].scatter(n, geometrique, color='#0F6E56', s=40)
axes[1].set_title('Suite géométrique\n$u_n = 1000 \\times 0.8^n$')
axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_xlabel('n')

axes[2].scatter(n, arith_geo, color='#BA7517', s=40)
axes[2].set_title('Suite arith.-géom.\n$u_n = 5 \\times 2^n - 3$')
axes[2].grid(True, alpha=0.3)
axes[2].set_xlabel('n')

plt.tight_layout()

buf = io.BytesIO()
plt.savefig(buf, format='png', dpi=100, bbox_inches='tight')
buf.seek(0)
img_b64 = base64.b64encode(buf.read()).decode()
plt.close()

from js import document
div = document.createElement('div')
div.innerHTML = f'<img src="data:image/png;base64,{img_b64}" style="max-width:100%;border-radius:8px;">'
output = document.querySelector('.python-block:nth-child(4) .output')
output.appendChild(div)
output.classList.add('visible')
print("Graphique généré !")

4. Algorithme de seuil

Structure en Python

L’algorithme de seuil utilise une boucle while :

Algorithme de seuil — Suite géométrique décroissante

Algorithme de seuil — Capital qui dépasse un objectif

Algorithme de seuil — Suite arithmético-géométrique

Décroissance radioactive — Algorithme de demi-vie

← Retour au cours ✏️ Exercices → 🐍 Notebook Jupyter complet

Chapitre 3 — Suites et Python