Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
Un radar enregistre la vitesse \(v(t)\) d’un vehicule sur un trajet. La distance totale parcourue entre les instants \(t = 0\) et \(t = T\) est l’intégrale \(\int_0^T v(t)\,dt\). L’intégration permet ainsi de passer de la vitesse a la distance.
Le calcul integral a ete développé independamment par Newton et Leibniz au XVIIe siecle. Leibniz a introduit le symbole \(\int\) (un S allonge, pour « summa »). Le lien entre dérivation et intégration — le théorème fondamental du calcul — unifie ces deux opérations apparemment opposees.
Quelle est l’aire sous la courbe de \(f(x) = x^2\) entre \(x = 0\) et \(x = 1\) ?
Toute \(F + C\) est une primitive : \((F + C)' = F' + 0 = f\). ✓
Ce sont les seules : Soit \(G\) une autre primitive de \(f\). Posons \(h = G - F\). Alors \(h'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0\) pour tout \(x \in I\).
Or une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (consequence du théorème des accroissements finis, ch. 4 Première). Donc \(h(x) = C\) et \(G(x) = F(x) + C\). ∎
Trouver la primitive \(F\) de \(f(x) = 2x + 1\) telle que \(F(0) = 3\).
Primitive générale : \(F(x) = x^2 + x + C\).
Condition : \(F(0) = C = 3\). Donc \(F(x) = x^2 + x + 3\).
La démonstration rigoureuse repose sur la construction de la fonction \(F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt\) et la preuve que \(F'(x) = f(x)\) en utilisant la continuité de \(f\) (hors programme).
L’idee : l’aire sous la courbe de \(f\) entre \(a\) et \(x\) varie avec \(x\). Cette variation est exactement \(f(x)\) — c’est le lien fondamental entre dérivation et intégration.
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) | Intervalle |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou \(]0;+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{x^2}\) | \(-\dfrac{1}{x}\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
Chaque ligne se vérifie en derivant \(F(x)\) et en retrouvant \(f(x)\). Par exemple :
| Fonction \(f(x)\) | Primitive \(F(x)\) |
|---|---|
| \(u' \cdot u^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u' \cdot e^u\) | \(e^u\) |
Ce sont les lectures inverses des formules de dérivation des composées (ch. 5). Par exemple :
Pour toute fonction \(f\) continue sur \([a; b]\) :
En un mot : l'intégration et la dérivation sont des opérations réciproques. Dériver une primitive redonne la fonction ; intégrer la dérivée redonne la fonction (à une constante près).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) et \(G\) une primitive de \(g\), alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\) (car \((F+G)' = F' + G' = f + g\)).
\(\displaystyle\int_a^b (f+g) = [F+G]_a^b = F(b)+G(b)-F(a)-G(a) = [F]_a^b + [G]_a^b = \int_a^b f + \int_a^b g\). ✓
De même, \(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\), donc \(\int_a^b \lambda f = [\lambda F]_a^b = \lambda[F]_a^b = \lambda\int_a^b f\). ∎
Soit \(F\) une primitive de \(f\).
\(\displaystyle\int_a^c f + \int_c^b f = [F(c) - F(a)] + [F(b) - F(c)] = F(b) - F(a) = \int_a^b f\). ∎
Si \(f \geq 0\), l’intégrale représente l’aire sous la courbe, qui est positive ou nulle. La démonstration rigoureuse utilise l’approximation par des sommes de Riemann (hors programme).
Pour la comparaison : si \(f \geq g\), alors \(f - g \geq 0\), donc \(\int_a^b(f-g) \geq 0\), soit \(\int f \geq \int g\) (par linéarité). ∎
\(\displaystyle\int_a^a f = F(a) - F(a) = 0\). ✓
\(\displaystyle\int_b^a f = F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) = -\int_a^b f\). ∎
L’aire sous la courbe d’une fonction positive \(f\) entre \(a\) et \(b\) peut être approchee par des rectangles de largeur \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\) et de hauteur \(f(x_k)\) :
\(\mathcal{A} \approx \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \cdot \Delta x\)
Quand \(n \to +\infty\), ces sommes (dites de Riemann) convergent vers \(\int_a^b f(x)\,dx\). C’est la définition historique de l’intégrale (Riemann, 1854). La démonstration que cette limite coincide avec \(F(b) - F(a)\) est le théorème fondamental de l’analyse (admis).
Calculer l’aire entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0; 1]\).
\(\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\).
Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2\) sur \([0; 3]\).
\(\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3} \times \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{1}{3} \times 9 = 3\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx\).
On remarque que \(2x\,e^{x^2} = u'(x)\,e^{u(x)}\) avec \(u(x) = x^2\) et \(u'(x) = 2x\).
Une primitive est \(e^{u(x)} = e^{x^2}\). Donc :
\(\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx = \left[e^{x^2}\right]_0^1 = e - 1\).
Lorsqu'une intégrale fait apparaître un produit de deux fonctions (par exemple \(x\,e^x\) ou \(x\,\ln x\)), il n'y a généralement pas de primitive « évidente ». L'intégration par parties transforme le calcul en dérivant l'un des facteurs et en intégrant l'autre.
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \([a; b]\), de dérivées \(u'\) et \(v'\) continues. Alors :
\(\displaystyle\int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx = \Big[\,u(x)\,v(x)\,\Big]_a^b - \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx.\)
La formule de dérivation d'un produit donne :
\((uv)'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).\)
En intégrant les deux membres entre \(a\) et \(b\), et en appliquant le théorème fondamental au membre de gauche :
\(\displaystyle\int_a^b (uv)'(x)\,dx = \Big[u(x)\,v(x)\Big]_a^b = \int_a^b u'(x)\,v(x)\,dx + \int_a^b u(x)\,v'(x)\,dx.\)
On isole \(\int u\,v'\) et on obtient la formule annoncée. ∎
Pour appliquer l'IPP, on commence par identifier un produit \(u(x)\,v'(x)\) dans l'intégrande. Le but est que la nouvelle intégrale \(\int u'\,v\) soit plus simple que l'originale.
En pratique, on choisit \(u\) de sorte que \(u'\) soit plus simple que \(u\) :
On écrit alors « \(u = \ldots\) donc \(u' = \ldots\) ; \(v' = \ldots\) donc \(v = \ldots\) », puis on applique la formule.
On pose \(u(x) = x\) et \(v'(x) = e^x\). Alors \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = e^x\).
L'IPP donne :
\(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x\,dx = e - \Big[e^x\Big]_0^1 = e - (e - 1) = 1.\)
L'intégrande est \(\ln x\), seul. On le voit comme \(1 \cdot \ln x\) et on pose \(u(x) = \ln x\) et \(v'(x) = 1\).
Alors \(u'(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(v(x) = x\).
\(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\,\ln x\Big]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x}\,dx = (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \Big[x\Big]_1^e = e - (e - 1) = 1.\)
On pose \(u(x) = x\) et \(v'(x) = \sin x\), d'où \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = -\cos x\).
\(\displaystyle\int_0^{\pi} x\,\sin x\,dx = \Big[-x\,\cos x\Big]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos x)\,dx = \pi + \Big[\sin x\Big]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi.\)
Pour \(\int x^2\,e^x\,dx\) on applique l'IPP deux fois de suite (d'abord \(u = x^2\), puis sur l'intégrale restante \(\int x\,e^x\,dx\) avec \(u = x\)). Chaque application fait descendre d'un degré le polynôme.
L'IPP permet d'établir des relations de récurrence entre des intégrales \(I_n = \displaystyle\int_a^b f_n(x)\,dx\) où \(f_n\) dépend d'un entier \(n\). Exemple :
\(\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n\,e^x\,dx.\)
On pose \(u(x) = x^n\) et \(v'(x) = e^x\), d'où \(u'(x) = n\,x^{n-1}\) et \(v(x) = e^x\) :
\(I_n = \Big[x^n\,e^x\Big]_0^1 - n\int_0^1 x^{n-1}\,e^x\,dx = e - n\,I_{n-1}.\)
La relation \(I_n = e - n\,I_{n-1}\) avec \(I_0 = e - 1\) permet de calculer de proche en proche \(I_1 = 1\), \(I_2 = e - 2\), \(I_3 = 6 - 2e\), etc.
Si la vitesse est \(v(t) = 3t^2 + 2t\) (en m/s), la distance parcourue entre \(t = 0\) et \(t = T\) est :
\(\displaystyle d = \int_0^T v(t)\,dt = \int_0^T (3t^2 + 2t)\,dt = \left[t^3 + t^2\right]_0^T = T^3 + T^2\).
Par exemple, entre \(t = 0\) et \(t = 3\) s : \(d = 27 + 9 = 36\) metres.
Le calcul repose sur le théorème fondamental : l’intégrale de la dérivée (ici la vitesse) donne la variation de la fonction primitive (ici la position). On cherche une primitive \(F\) de \(v\), puis on calcule \(F(T) - F(0)\).
\(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}\).
L’aire vaut \(\dfrac{1}{3}\) unite d’aire, soit un tiers du rectangle englobant \([0;1] \times [0;1]\).
| Notion | Formule |
|---|---|
| Primitive de \(x^n\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (\(n \neq -1\)) |
| Primitive de \(1/x\) | \(\ln|x|\) |
| Primitive de \(e^{ax}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) |
| Intégrale | \(\int_a^b f\,dx = [F]_a^b = F(b) - F(a)\) |
| Linéarité | \(\int(\lambda f + g) = \lambda\int f + \int g\) |
| Chasles | \(\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b\) |
| Valeur moyenne | \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx\) |
Intégration : teste d’abord ton intuition.
« \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b g(x)\,dx\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. L’intégrale n’est pas multiplicative. Par exemple, \(\int_0^1 x \cdot x\,dx = \frac{1}{3}\) mais \(\int_0^1 x\,dx \times \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Seule la linéarité est vraie : \(\int(f+g) = \int f + \int g\).
Mini-test : \(\int_0^1 x^2\,dx = ?\)
« L’aire entre la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses sur \([a;b]\) est egale à \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Si \(f\) est négative sur une partie de \([a;b]\), l’intégrale compte negativement cette partie. L’aire est \(\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx\), pas \(\int_a^b f(x)\,dx\).
Mini-test : \(\int_{-1}^{1} x\,dx = ?\)
« Une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) est \(\ln(x)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La primitive de \(\frac{1}{x}\) est \(\ln|x|\) (avec la valeur absolue), car \(\frac{1}{x}\) est aussi définie pour \(x < 0\). Sur \(]-\infty ; 0[\), la dérivée de \(\ln(-x)\) est bien \(\frac{1}{x}\).
Mini-test : \(\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = ?\)
« \(\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 1\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\int_a^a f(x)\,dx = F(a) - F(a) = 0\). L’intégrale sur un intervalle de longueur nulle est toujours egale à 0, quelle que soit la fonction \(f\).
Mini-test : \(\int_3^3 e^x\,dx = ?\)
« Si \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) entre \(a\) et \(b\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0\) (quels que soient \(a\) et \(b\)). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La positivité n’est garantie que si \(a \leq b\). Si \(a > b\), la convention \(\int_a^b f = -\int_b^a f\) donne un résultat négatif même si \(f \geq 0\).
Exemple : \(f(x) = x^2 \geq 0\) sur \(\mathbb{R}\), mais \(\displaystyle\int_1^0 x^2\,dx = -\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = -\dfrac{1}{3} < 0\).
Mini-test : \(\int_1^0 x^2\,dx = ?\)
« \(\displaystyle\int_a^b \bigl(f(x) + g(x)\bigr)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! La linéarité est une propriété fondamentale de l’intégrale : \(\int(f+g) = \int f + \int g\) et \(\int(\lambda f) = \lambda \int f\). Attention a ne pas confondre avec la multiplicativite, qui est fausse.
Mini-test : \(\int_0^1 (3x^2 + 2x)\,dx = ?\)