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Chapitre 2 — Nombres complexes : géométrie

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Ch1 — Algèbre 📖 Cours ✏️ Exercices

Module et argument

1

Calculer module et argument

Pour chacun des complexes suivants, calculer le module et un argument :

  1. \(z_1 = 1 + i\)
  2. \(z_2 = -\sqrt{3} + i\)
  3. \(z_3 = -5\)
  4. \(z_4 = 3i\)
  5. \(z_5 = 2 - 2i\sqrt{3}\)
  6. \(z_6 = \dfrac{1+i}{1-i}\)
Correction
  1. \(|z_1| = \sqrt{2}\), \(\arg(z_1) = \pi/4\)
  2. \(|z_2| = \sqrt{3+1} = 2\), \(\cos\theta = -\sqrt{3}/2\) et \(\sin\theta = 1/2\) donc \(\arg(z_2) = 5\pi/6\)
  3. \(|z_3| = 5\), \(\arg(z_3) = \pi\)
  4. \(|z_4| = 3\), \(\arg(z_4) = \pi/2\)
  5. \(|z_5| = \sqrt{4 + 12} = 4\), \(\cos\theta = 1/2\) et \(\sin\theta = -\sqrt{3}/2\) donc \(\arg(z_5) = -\pi/3\)
  6. \(z_6 = \dfrac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2i}{2} = i\). Donc \(|z_6| = 1\) et \(\arg(z_6) = \pi/2\).
2

Forme trigonométrique

Écrire sous forme trigonométrique :

  1. \(z = -4\)
  2. \(z = 2(\cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3))\) — mettre sous forme algébrique
  3. \(z = 1 - i\)
  4. \(z = -\sqrt{6} - i\sqrt{2}\)
Correction
  1. \(z = 4(\cos\pi + i\sin\pi)\)
  2. \(z = 2(-1/2 + i\sqrt{3}/2) = -1 + i\sqrt{3}\)
  3. \(|z| = \sqrt{2}\), \(\arg(z) = -\pi/4\) donc \(z = \sqrt{2}(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4))\)
  4. \(|z| = \sqrt{6+2} = 2\sqrt{2}\), \(\cos\theta = -\sqrt{3}/2\) et \(\sin\theta = -1/2\) donc \(\arg(z) = -5\pi/6\). Forme : \(2\sqrt{2}(\cos(-5\pi/6)+i\sin(-5\pi/6))\).
3

Calculs avec les propriétés

Soient \(z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}\) et \(w = 2e^{i\pi/3}\) (notation exponentielle d’Euler). Calculer et donner la forme algébrique de :

  1. \(z \cdot w\)
  2. \(\dfrac{z}{w}\)
  3. \(z^6\)
  4. \(|z \cdot w|\) et \(\arg(z \cdot w)\)
Correction
  1. \(zw = 2\sqrt{2}\,e^{i(\pi/4+\pi/3)} = 2\sqrt{2}\,e^{i7\pi/12}\). Forme algébrique : \(2\sqrt{2}(\cos(7\pi/12)+i\sin(7\pi/12))\).
  2. \(z/w = (\sqrt{2}/2)e^{i(\pi/4-\pi/3)} = (\sqrt{2}/2)e^{-i\pi/12}\)
  3. \(z^6 = (\sqrt{2})^6 e^{i6\pi/4} = 8\,e^{i3\pi/2} = 8(\cos(3\pi/2)+i\sin(3\pi/2)) = 8(0 - i) = -8i\)
  4. \(|zw| = \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}\) ; \(\arg(zw) = 7\pi/12\)
4

Formule de Moivre — linéarisation

En utilisant la formule de Moivre pour \(n = 4\) :

  1. Exprimer \(\cos(4\theta)\) en fonction des puissances de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
  2. Exprimer \(\sin(4\theta)\) en fonction des puissances de \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\).
  3. En déduire \(\cos(4\theta)\) uniquement en fonction de \(\cos\theta\) (utiliser \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)).
Correction

On développe \((\cos\theta + i\sin\theta)^4\) par le binôme :

\(= \binom{4}{0}c^4 + \binom{4}{1}c^3(is) + \binom{4}{2}c^2(is)^2 + \binom{4}{3}c(is)^3 + \binom{4}{4}(is)^4\)

où \(c = \cos\theta\) et \(s = \sin\theta\) :

\(= c^4 + 4c^3(is) + 6c^2(-s^2) + 4c(-is^3) + s^4\)

\(= (c^4 - 6c^2s^2 + s^4) + i(4c^3s - 4cs^3)\)

  1. \(\cos(4\theta) = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta\sin^2\theta + \sin^4\theta\)
  2. \(\sin(4\theta) = 4\cos^3\theta\sin\theta - 4\cos\theta\sin^3\theta\)
  3. On remplace \(\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta\) et \(\sin^4\theta = (1-\cos^2\theta)^2\) :
    \(\cos(4\theta) = \cos^4\theta - 6\cos^2\theta(1-\cos^2\theta) + (1-\cos^2\theta)^2\)
    \(= \cos^4\theta - 6\cos^2\theta + 6\cos^4\theta + 1 - 2\cos^2\theta + \cos^4\theta\)
    \(= 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1\)
5

Géométrie

Affixe, distance, milieu

Dans le plan complexe, on donne les points \(A(1+2i)\), \(B(-3+i)\), \(C(2-4i)\).

  1. Calculer \(AB = |z_B - z_A|\).
  2. Trouver l’affixe du milieu \(M\) de \([AB]\).
  3. Trouver l’affixe du barycentre \(G\) de \(A, B, C\) (coefficients égaux).
  4. Montrer que \(A, B, C\) ne sont pas alignés en calculant \(\arg\!\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right)\).
Correction
  1. \(z_B - z_A = -4 - i\), donc \(AB = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}\).
  2. \(z_M = \frac{z_A+z_B}{2} = \frac{(1+2i)+(-3+i)}{2} = \frac{-2+3i}{2} = -1+\frac{3}{2}i\).
  3. \(z_G = \frac{z_A+z_B+z_C}{3} = \frac{(1+2i)+(-3+i)+(2-4i)}{3} = \frac{0-i}{3} = -\frac{i}{3}\).
  4. \(z_C - z_A = 1-6i\) et \(z_B - z_A = -4-i\). Le quotient \(\frac{1-6i}{-4-i}\) n’est pas réel (vérification : \(\frac{(1-6i)(-4+i)}{17} = \frac{-4+i+24i+6}{17} = \frac{2+25i}{17}\) — partie imaginaire non nulle). Donc les trois points ne sont pas alignés.
6

Lieu géométrique

Ensemble de points

Décrire géométriquement l’ensemble des points \(M(z)\) tels que :

  1. \(|z - 2| = 3\)
  2. \(|z - 1| = |z + 1|\)
  3. \(|z - i| = |z - 2|\)
  4. \(\arg(z - 1) = \pi/4\) (pour \(z \neq 1\))
Correction
  1. Cercle de centre \(A(2)\) et de rayon \(3\).
  2. Médiatrice du segment \([AB]\) avec \(A(1)\) et \(B(-1)\) : c’est l’axe imaginaire (droite \(x = 0\)).
  3. Médiatrice du segment \([CD]\) avec \(C(i)\) et \(D(2)\) : la médiatrice passe par le milieu \((1 + i/2)\) et est perpendiculaire à \(\overrightarrow{CD}\).
  4. Demi-droite d’origine \(A(1)\) faisant un angle \(\pi/4\) avec l’axe réel (premier quadrant, pente 1).
7

Synthèse

Calcul d’une puissance

Calculer \(\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2026}\) en passant par la forme trigonométrique.

Correction

\(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\) : module \(= \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1\), argument \(= \pi/4\).

Donc \(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}} = \cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\).

Par Moivre : \(\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2026} = \cos\!\left(\dfrac{2026\pi}{4}\right) + i\sin\!\left(\dfrac{2026\pi}{4}\right)\).

Or \(\dfrac{2026}{4} = 506{,}5\) et \(2026 = 4 \times 506 + 2\), donc \(\dfrac{2026\pi}{4} \equiv \dfrac{\pi}{2} \times 2 = \dfrac{2\pi}{4} \cdot \ldots\)

Plus directement : \(2026 \mod 4 = 2\) (car \(2026 = 4 \times 506 + 2\)).

Donc \(\left(\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{2026} = \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{4}\right) + i\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = i\).

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