Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
La masse \(m(t)\) d’un échantillon radioactif vérifie l’équation \(m'(t) = -\lambda\, m(t)\), ou \(\lambda > 0\) est la constante de desintegration. La masse diminue proportionnellement a la masse presente. Quelle est l’expression de \(m(t)\) ?
Les équations différentielles sont nees avec le calcul infinitesimal, au tournant du XVIIIe siecle. Les mathematiciens Jacques et Jean Bernoulli, Euler et Lagrange ont développé les premières méthodes de résolution. L’équation \(y' = ay\) est l’une des plus simples et des plus fondamentales : elle modelise tout phénomène dont la vitesse de variation est proportionnelle a la grandeur elle-même.
Un cafe a 90 °C est pose dans une piece a 20 °C. Sa temperature \(T(t)\) vérifie \(T'(t) = -0{,}05(T(t) - 20)\). Au bout de combien de temps le cafe atteint-il 50 °C ?
Les \(Ce^{ax}\) sont solutions : Si \(y = Ce^{ax}\), alors \(y' = Cae^{ax} = a \cdot Ce^{ax} = ay\). ✓
Ce sont les seules : Soit \(y\) une solution de \(y' = ay\). Posons \(g(x) = y(x)\,e^{-ax}\). Derivons :
\(g'(x) = y'(x)\,e^{-ax} + y(x)\,(-a)\,e^{-ax} = e^{-ax}(y' - ay) = e^{-ax} \times 0 = 0\)
(car \(y' = ay\)). Donc \(g\) est de dérivée nulle sur \(\mathbb{R}\), donc constante : \(g(x) = C\).
Ainsi \(y(x)\,e^{-ax} = C\), soit \(y(x) = Ce^{ax}\). ∎
Vérifier que \(y(x) = 5e^{-2x}\) est solution de \(y' = -2y\).
\(y'(x) = 5 \times (-2)e^{-2x} = -10e^{-2x}\).
\(-2y(x) = -2 \times 5e^{-2x} = -10e^{-2x}\).
On a bien \(y' = -2y\). ✓
Pour une équation différentielle \(y' = ay + b\) (avec \(b \neq 0\)), on distingue :
Cette structure (particulière + homogène) se généralise à toutes les équations différentielles linéaires, y compris celles avec second membre non constant \(y' = ay + f(x)\).
Étape 1 — Solution particulière constante. On cherche \(y = k\) constante. Alors \(y' = 0 = ak + b\), donc \(k = -\dfrac{b}{a}\).
Étape 2 — Changement de fonction. Posons \(z(x) = y(x) - k = y(x) + \dfrac{b}{a}\). Alors :
\(z' = y' = ay + b = a\!\left(z - \dfrac{b}{a}\right) + b = az - b + b = az\)
Donc \(z\) est solution de \(z' = az\). Par le théorème précédent : \(z(x) = Ce^{ax}\).
Étape 3 — Conclusion. \(y(x) = z(x) + k = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\). ∎
Étape 1 : Trouver la solution particulière constante. On pose \(y = k\), alors \(y' = 0 = ak + b\), d’ou \(k = -\dfrac{b}{a}\).
Étape 2 : La solution générale de \(y' = ay\) est \(Ce^{ax}\).
Étape 3 : La solution générale de \(y' = ay + b\) est la somme : \(y = Ce^{ax} + k = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Résoudre \(y' = -2y + 6\).
Solution particulière constante : \(k = -\dfrac{6}{-2} = 3\).
Solution générale : \(y(x) = Ce^{-2x} + 3\).
Quand \(x \to +\infty\), \(y(x) \to 3\) : la solution tend vers la valeur d’equilibre.
La solution générale est \(y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\) (théorème précédent).
On impose \(y(0) = y_0\) : \(Ce^0 - \dfrac{b}{a} = y_0\), soit \(C = y_0 + \dfrac{b}{a}\).
Il n’y a qu’une seule valeur de \(C\) : la solution est unique.
\(y(x) = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{ax} - \dfrac{b}{a}\). ∎
Résoudre \(y' = -2y + 6\) avec \(y(0) = 1\).
Solution générale : \(y(x) = Ce^{-2x} + 3\).
Condition : \(y(0) = C + 3 = 1\), donc \(C = -2\).
Solution : \(y(x) = -2e^{-2x} + 3\).
La masse d’un échantillon radioactif vérifie \(m'(t) = -\lambda\,m(t)\) avec \(m(0) = m_0\).
Solution : \(m(t) = m_0\,e^{-\lambda t}\). Le temps de demi-vie \(t_{1/2}\) vérifie \(m_0\,e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{m_0}{2}\), d’ou \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
La tension \(u(t)\) aux bornes d’un condensateur dans un circuit RC soumis a une tension constante \(E\) vérifie : \(u'(t) = -\dfrac{1}{\tau}u(t) + \dfrac{E}{\tau}\), ou \(\tau = RC\) est la constante de temps.
Avec \(u(0) = 0\) : \(u(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\). Le condensateur se charge progressivement vers \(E\).
La temperature \(T(t)\) d’un objet dans un milieu a temperature \(T_\text{ext}\) vérifie \(T'(t) = -k(T(t) - T_\text{ext})\).
En posant \(\theta(t) = T(t) - T_\text{ext}\) : \(\theta'(t) = -k\theta(t)\), donc \(\theta(t) = \theta_0\,e^{-kt}\).
\(T(t) = T_\text{ext} + (T_0 - T_\text{ext})\,e^{-kt}\) : convergence exponentielle vers \(T_\text{ext}\).
Le programme de Terminale spé se limite aux équations \(y' = ay\) et \(y' = ay+b\) (sections 1 à 5). La méthode d’Euler présentée ci-dessous s’applique au cas général \(y' = f(x, y)\), qui déborde du programme. On la présente ici comme extension algorithmique : elle illustre concrètement comment l’ordinateur peut approcher une solution d’équation différentielle, même quand aucune formule explicite n’existe.
Pour approcher une solution de \(y' = f(x, y)\) avec \(y(x_0) = y_0\), on procède pas à pas :
Plus le pas \(h\) est petit, plus l’approximation est precise.
| \(x_n\) | \(y_n\) | \(p_n = -y_n\) | \(y_{n+1} = y_n + 0{,}5 p_n\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | \(-1\) | 0,5 |
| 0,5 | 0,5 | \(-0{,}5\) | 0,25 |
| 1 | 0,25 | \(-0{,}25\) | 0,125 |
Valeur exacte en \(x = 1\) : \(e^{-1} \approx 0{,}368\). L’approximation 0,25 est assez grossiere ; un pas plus petit ameliorerait la precision.
L’équation \(m'(t) = -\lambda\,m(t)\) est du type \(y' = ay\) avec \(a = -\lambda < 0\).
La solution générale est \(m(t) = C\,e^{-\lambda t}\). Avec la condition initiale \(m(0) = m_0\), on obtient \(C = m_0\).
Donc \(m(t) = m_0\,e^{-\lambda t}\) : la masse decroit exponentiellement.
Le temps de demi-vie \(t_{1/2}\) est le temps pour que la masse soit divisee par deux : \(m_0\,e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{m_0}{2}\), soit \(e^{-\lambda t_{1/2}} = \dfrac{1}{2}\), d’ou \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Par exemple, pour le carbone 14 (\(t_{1/2} \approx 5\,730\) ans) : \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{5\,730} \approx 1{,}21 \times 10^{-4}\) par an.
On pose \(\theta(t) = T(t) - 20\). Alors \(\theta'(t) = -0{,}05\,\theta(t)\), donc \(\theta(t) = 70\,e^{-0{,}05t}\).
On cherche \(t\) tel que \(T(t) = 50\), soit \(\theta(t) = 30\) : \(70\,e^{-0{,}05t} = 30\), \(e^{-0{,}05t} = \dfrac{3}{7}\), \(t = \dfrac{-\ln(3/7)}{0{,}05} \approx 17\) minutes.
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| Équation | Solution générale |
|---|---|
| \(y' = ay\) | \(y = Ce^{ax}\) |
| \(y' = ay + b\) (\(a \neq 0\)) | \(y = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}\) |
| \(y' = ay\), \(y(0) = y_0\) | \(y = y_0\,e^{ax}\) |
| \(y' = ay + b\), \(y(0) = y_0\) | \(y = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{ax} - \dfrac{b}{a}\) |
| Demi-vie | \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) |
Équations différentielles : teste d’abord ton intuition.
« Les solutions de \(y' = ay\) sont \(y = Ce^{ax}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Attention a la notation : si la variable est \(t\) (comme en physique), la solution s’ecrit \(y(t) = Ce^{at}\). Si la variable est \(x\), c’est \(y(x) = Ce^{ax}\). L’erreur est de confondre la constante \(a\) avec la variable. En général, les solutions de \(y' = ay\) sont les fonctions \(t \mapsto Ce^{at}\).
Mini-test : si \(y' = -3y\), les solutions sont :
« La solution de \(y' = 2y\) est \(y = e^{2x}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. La solution générale est \(y = Ce^{2x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\). La fonction \(e^{2x}\) est une solution particulière (celle pour \(C = 1\)), mais il y a une infinite de solutions, dont la solution nulle \(y = 0\) (pour \(C = 0\)).
Mini-test : combien de solutions à \(y' = 5y\) sans condition initiale ?
« Les solutions de \(y' = ky\) sont décroissantes si \(k > 0\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. C’est l’inverse ! Si \(k > 0\), les solutions \(Ce^{kt}\) sont a croissance exponentielle (pour \(C > 0\)). Pour avoir une décroissance exponentielle, il faut \(k < 0\).
Mini-test : la desintegration radioactive (\(N' = -\lambda N\), \(\lambda > 0\)) donne des solutions :
« Les solutions de \(y' + y = 0\) sont de la forme \(y = Ce^{x}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. L’équation \(y' + y = 0\) se reecrit \(y' = -y\), donc \(a = -1\). Les solutions sont \(y = Ce^{-x}\), pas \(Ce^{x}\). L’erreur de signe est classique quand on ne reecrit pas l’équation sous forme \(y' = ay\).
Mini-test : \(y' + 3y = 0\) donne \(a = ?\)
« L’équation \(y' = 4y\) a une unique solution. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Sans condition initiale, il y a une infinite de solutions : \(y = Ce^{4x}\) pour tout \(C \in \mathbb{R}\). C’est la condition initiale \(y(x_0) = y_0\) qui détermine la valeur de \(C\) et rend la solution unique (problème de Cauchy).
Mini-test : \(y' = 4y\), \(y(0) = 2\). Quelle est la solution unique ?
« Si \(y' = ay\) et \(y(0) = 5\), alors \(C = 5\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! La solution générale est \(y = Ce^{at}\). En \(t = 0\) : \(y(0) = Ce^0 = C\). Donc \(C = y(0) = 5\). La condition initiale en \(t = 0\) donne directement la valeur de la constante.
Mini-test : si \(y' = -2y\) et \(y(0) = 7\), la solution est :