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Exercices — Équations différentielles

Terminale Spécialité · Chapitre 8

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🟢 Niveau 1 — Prise en main
Exo 1Résolutions basiquesapplication directe

Résoudre les équations différentielles suivantes sur \(\mathbb{R}\) :

  1. \(y' = 5y\)
  2. \(y' = -2y\)
  3. \(y' = 4y - 12\)
  4. \(y' = -3y + 6\)
Voir la correction
  1. Équation \(y' = ay\) avec \(a = 5\) : \(y(x) = C\,e^{5x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
  2. Idem avec \(a = -2\) : \(y(x) = C\,e^{-2x}\).
  3. \(y' = 4y - 12\) : solution particulière constante \(k = -b/a = 12/4 = 3\). Solution générale \(y(x) = C\,e^{4x} + 3\).
  4. \(y' = -3y + 6\) : \(k = -6/(-3) = 2\). Solution générale \(y(x) = C\,e^{-3x} + 2\).
Exo 2Avec condition initiale (problème de Cauchy)application directe

Déterminer la fonction \(f\) solution de l'équation différentielle donnée et vérifiant la condition indiquée.

  1. \(y' = 3y\) avec \(f(0) = 2\).
  2. \(y' = -y + 4\) avec \(f(0) = 0\).
  3. \(y' = 2y - 6\) avec \(f(1) = 1\).
Voir la correction
  1. Solution générale \(y(x) = C\,e^{3x}\). Condition \(f(0) = C = 2\), donc \(f(x) = 2\,e^{3x}\).
  2. Solution particulière \(k = -4/(-1) = 4\), solution générale \(y(x) = C\,e^{-x} + 4\). Condition \(f(0) = C + 4 = 0\), donc \(C = -4\) et \(f(x) = -4\,e^{-x} + 4\).
  3. Solution particulière \(k = 6/2 = 3\), solution générale \(y(x) = C\,e^{2x} + 3\). Condition \(f(1) = C\,e^2 + 3 = 1\), donc \(C = -2\,e^{-2}\) et \(f(x) = -2\,e^{-2}\,e^{2x} + 3 = -2\,e^{2x-2} + 3\).
Exo 3Vérification d'une solution et structure des solutionstechnique

On considère l'équation différentielle \((E) : y' + 2y = 6\).

  1. Vérifier que la fonction constante \(g(x) = 3\) est solution de \((E)\).
  2. Résoudre l'équation homogène associée \(y' + 2y = 0\).
  3. En déduire l'ensemble des solutions de \((E)\).
  4. Déterminer la solution \(f\) dont la courbe représentative passe par le point \(A(0\,;\,5)\).
Voir la correction
  1. \(g'(x) + 2g(x) = 0 + 2 \times 3 = 6\). ✓
  2. \(y' + 2y = 0 \iff y' = -2y\), donc \(y(x) = C\,e^{-2x}\) avec \(C \in \mathbb{R}\).
  3. D'après la structure « solution générale = solution particulière + solution homogène » (voir cours §3) : \(y(x) = C\,e^{-2x} + 3\).
  4. \(f(0) = C + 3 = 5\), donc \(C = 2\) et \(f(x) = 2\,e^{-2x} + 3\).
🟠 Niveau 2 — Modélisation
Exo 4Refroidissement d'un café (loi de Newton)physique

La température d'un café, notée \(T(t)\) (en °C), évolue selon la loi de Newton : \(T'(t) = -0{,}1\,(T(t) - 20).\) La température ambiante est de 20 °C. À \(t = 0\), le café est servi à \(T(0) = 80\) °C.

  1. Soit \(g(t) = T(t) - 20\). Montrer que \(g\) est solution de \(g' = -0{,}1\,g\).
  2. Déterminer \(g(t)\), puis \(T(t)\).
  3. Déterminer au bout de combien de minutes la température du café sera de 50 °C (arrondir à la minute).
Voir la correction
  1. \(g'(t) = T'(t) = -0{,}1\,(T(t) - 20) = -0{,}1\,g(t)\). ✓
  2. \(g(t) = C\,e^{-0{,}1\,t}\). Condition \(g(0) = T(0) - 20 = 60\), donc \(C = 60\) et \(g(t) = 60\,e^{-0{,}1\,t}\). Donc \(T(t) = 60\,e^{-0{,}1\,t} + 20\).
  3. \(T(t) = 50 \iff 60\,e^{-0{,}1\,t} = 30 \iff e^{-0{,}1\,t} = 0{,}5 \iff -0{,}1\,t = \ln(0{,}5) \iff t = 10\,\ln 2 \approx 6{,}93\) min, soit environ 7 min. (Arrondi à 11 min si on interprète avec un autre taux ; respecter l'énoncé.)
Exo 5Circuit électrique RC (charge du condensateur)physique / SI

Dans un circuit RC, la tension \(u(t)\) aux bornes du condensateur vérifie l'équation \(u'(t) = -\dfrac{1}{RC}\,u(t) + \dfrac{E}{RC},\) où \(R = 10^4\ \Omega\), \(C = 10^{-5}\ \mathrm{F}\) et \(E = 12\ \mathrm{V}\).

  1. Calculer la constante de temps \(\tau = RC\).
  2. Montrer que l'équation se met sous la forme \(u' = -\dfrac{1}{\tau}\,u + \dfrac{E}{\tau}\).
  3. Déterminer \(u(t)\) sachant qu'à \(t = 0\), le condensateur est déchargé (\(u(0) = 0\)).
  4. Quelle est la tension limite atteinte par le condensateur ?
Voir la correction
  1. \(\tau = RC = 10^4 \times 10^{-5} = 0{,}1\ \mathrm{s}\).
  2. Immédiat avec les valeurs : \(u'(t) = -10\,u(t) + 120\).
  3. Forme \(y' = ay + b\) avec \(a = -10\), \(b = 120\). Solution particulière \(k = -b/a = 12\). Solution générale \(u(t) = C\,e^{-10\,t} + 12\). Condition \(u(0) = C + 12 = 0\), donc \(C = -12\) et \(u(t) = -12\,e^{-10\,t} + 12 = 12\,(1 - e^{-t/\tau})\).
  4. \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} u(t) = 12\ \mathrm{V} = E\). Après \(5\tau = 0{,}5\ \mathrm{s}\), le condensateur est chargé à plus de 99 %.
🔴 Niveau 3 — Synthèse et approfondissement
Exo 6Détermination de \(a\) et \(b\) à partir d'une solutionsynthèse

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4 - 3\,e^{-2x}\).

  1. Montrer que \(f\) est solution d'une équation différentielle de la forme \(y' = ay + b\). Déterminer les réels \(a\) et \(b\).
  2. Vérifier que la solution générale de cette équation est bien \(y(x) = C\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}\).
Voir la correction
  1. \(f'(x) = 6\,e^{-2x}\). On veut \(f'(x) = a\,f(x) + b = a(4 - 3\,e^{-2x}) + b = 4a + b - 3a\,e^{-2x}\).
    Identification : coefficient de \(e^{-2x}\) donne \(-3a = 6\) soit \(a = -2\). Terme constant : \(4a + b = 0\) soit \(b = -4a = 8\), donc \(b = 8\).
    \(f\) est donc solution de \(y' = -2y + 8\).
  2. Solution particulière : \(k = -b/a = -8/(-2) = 4\). Solution générale : \(y(x) = C\,e^{-2x} + 4 = C\,e^{ax} - b/a\). ✓
Exo 7Problème industriel (type Bac)synthèse / Bac

Une entreprise fabrique des composants. Le nombre de composants défectueux produits par jour, noté \(N(t)\), évolue selon \(N'(t) = -0{,}5\,N(t) + 20\).

  1. Résoudre cette équation différentielle.
  2. Sachant qu'au début (\(t = 0\)), il y a \(N(0) = 5\) composants défectueux, déterminer \(N(t)\).
  3. Déterminer la limite de \(N(t)\) quand \(t\) tend vers l'infini. Interpréter.
Voir la correction
  1. Forme \(y' = ay + b\) avec \(a = -0{,}5\), \(b = 20\). Solution particulière \(k = -b/a = 40\). Solution générale \(N(t) = C\,e^{-0{,}5\,t} + 40\).
  2. \(N(0) = C + 40 = 5\), donc \(C = -35\) et \(N(t) = -35\,e^{-0{,}5\,t} + 40\).
  3. \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} e^{-0{,}5\,t} = 0\), donc \(\displaystyle\lim_{t \to +\infty} N(t) = 40\).
    Interprétation : le nombre de composants défectueux se stabilise autour de 40 par jour. L'équilibre reflète un taux d'apparition (20/jour) compensé par un taux de correction (\(0{,}5 \cdot N\)).