Terminale — Programme officiel (BO 2019) · Math@mine
Le niveau sonore en decibels est défini par \(L = 10\ln\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)/\ln(10)\), ou \(I\) est l’intensite sonore. Quand l’intensite est multipliee par 10, le niveau augmente de 10 dB. Le logarithme transforme les multiplications en additions, ce qui permet de gerer des grandeurs variant sur plusieurs ordres de grandeur.
En 1614, le mathematicien ecossais John Napier (Neper) publie la première table de logarithmes, concue pour simplifier les calculs astronomiques. Son idee : remplacer les multiplications par des additions. Plus tard, Euler (XVIIIe siecle) a clarifie le lien entre la fonction exponentielle et le logarithme, introduisant la notation \(\ln\) pour le logarithme de base \(e\).
On place un capital a un taux annuel de 3 %. Au bout de combien d’annees le capital a-t-il double ?
La fonction exponentielle \(\exp : \mathbb{R} \to ]0;+\infty[\) est strictement croissante et continue, donc bijective (corollaire du TVI, chapitre 4). Sa réciproque est précisément la fonction \(\ln\).
Par définition, \(\ln(x) = y \iff e^y = x\).
Ce sont les propriétés d’une fonction et de sa réciproque.
\(e^{\ln(x)} = x\) : Par définition, \(\ln(x) = y\) signifie \(e^y = x\). Donc \(e^{\ln(x)} = e^y = x\). ✓
\(\ln(e^x) = x\) : Posons \(y = e^x\). Alors \(\ln(y) = \ln(e^x)\). Par définition, \(\ln(y)\) est le réel dont l’exponentielle vaut \(y = e^x\). Ce réel est \(x\). ✓
Toutes ces propriétés decoulent de celles de l’exponentielle via la relation \(e^{\ln(x)} = x\).
\(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\) : Posons \(\alpha = \ln(a)\) et \(\beta = \ln(b)\). Alors \(a = e^\alpha\), \(b = e^\beta\), donc \(ab = e^\alpha \cdot e^\beta = e^{\alpha+\beta}\). En prenant le ln : \(\ln(ab) = \alpha + \beta = \ln(a) + \ln(b)\). ✓
\(\ln(1/b) = -\ln(b)\) : \(\ln(b) + \ln(1/b) = \ln(b \cdot 1/b) = \ln(1) = 0\). Donc \(\ln(1/b) = -\ln(b)\). ✓
\(\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)\) : \(\ln(a/b) = \ln(a \cdot 1/b) = \ln(a) + \ln(1/b) = \ln(a) - \ln(b)\). ✓
\(\ln(a^n) = n\ln(a)\) : Par récurrence. Pour \(n = 1\) : \(\ln(a^1) = \ln(a)\). Si \(\ln(a^n) = n\ln(a)\), alors \(\ln(a^{n+1}) = \ln(a^n \cdot a) = \ln(a^n) + \ln(a) = n\ln(a) + \ln(a) = (n+1)\ln(a)\). Pour \(n\) négatif : \(\ln(a^{-n}) = \ln(1/a^n) = -n\ln(a)\). ✓
\(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\) : \(\sqrt{a} = a^{1/2}\). Or \(e^{\frac{1}{2}\ln(a)} = (e^{\ln(a)})^{1/2} = a^{1/2} = \sqrt{a}\). Donc \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\). ✓
Croissance stricte : On sait que \(\exp\) est strictement croissante (Première). Sa réciproque \(\ln\) est donc aussi strictement croissante. (Si \(a < b\), alors \(\ln(a) < \ln(b)\) car sinon \(e^{\ln(a)} \geq e^{\ln(b)}\), soit \(a \geq b\), contradiction.)
\(\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\) : Soit \(A > 0\). Pour \(x > e^A\), on a \(\ln(x) > \ln(e^A) = A\) (car \(\ln\) croissante). Donc \(\ln(x)\) depasse tout réel \(A\). ✓
\(\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty\) : Posons \(t = 1/x\). Quand \(x \to 0^+\), \(t \to +\infty\). Or \(\ln(x) = \ln(1/t) = -\ln(t) \to -\infty\). ✓
On utilise \(\ln(1) = 0\) et la croissance stricte de \(\ln\) :
C’est une propriété générale des fonctions strictement croissantes.
Sens direct : si \(a \leq b\), comme \(\ln\) est croissante, \(\ln(a) \leq \ln(b)\).
Réciproque : si \(\ln(a) \leq \ln(b)\), supposons par l’absurde \(a > b\). Alors \(\ln(a) > \ln(b)\) (croissance stricte), contradiction. Donc \(a \leq b\). ∎
Résoudre \(\ln(x) \geq 2\).
Comme \(\ln\) est croissante : \(\ln(x) \geq 2 = \ln(e^2) \iff x \geq e^2\).
Solution : \(x \in [e^2; +\infty[\), soit \(x \geq 7{,}389\ldots\)
On part de l’identité \(e^{\ln(x)} = x\), valable pour tout \(x > 0\).
On dérivé les deux membres par rapport a \(x\) (règle de la chaine, ch. 5) :
\((\ln x)' \cdot e^{\ln(x)} = 1\)
Or \(e^{\ln(x)} = x\). Donc \((\ln x)' \cdot x = 1\), soit \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\). ∎
C’est la règle de la chaine (ch. 5) appliquee a \(g = \ln\) et à la fonction interieure \(u\) :
\((\ln \circ\, u)' = u' \cdot g'(u) = u' \cdot \dfrac{1}{u} = \dfrac{u'}{u}\). ∎
C’est la lecture inverse de la dérivée. On a demontre que \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\). Donc \(\ln(x)\) est une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
De même, \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\), donc \(\ln(u)\) est une primitive de \(\dfrac{u'}{u}\) sur tout intervalle ou \(u > 0\). ∎
Interprétation : la fonction \(\ln\) croit plus lentement que toute puissance de \(x\) en \(+\infty\).
On veut montrer \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0\). Posons \(x = e^t\). Quand \(x \to +\infty\), \(t \to +\infty\).
\(\dfrac{\ln(x)}{x} = \dfrac{\ln(e^t)}{e^t} = \dfrac{t}{e^t}\)
Or on a demontre au ch. 3 que \(\lim_{t \to +\infty} \dfrac{e^t}{t} = +\infty\). Donc \(\lim \dfrac{t}{e^t} = 0\). ✓
Cas général : \(\dfrac{\ln(x)}{x^n} = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{\ln(x^n)}{x^n}\). On pose \(X = x^n \to +\infty\) et on obtient \(\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{\ln X}{X} \to 0\). ∎
Interprétation : \(\ln(x) \to -\infty\) en \(0^+\), mais « moins vite » que \(\dfrac{1}{x^n} \to +\infty\).
On se ramene au cas précédent par le changement de variable \(t = 1/x\). Quand \(x \to 0^+\), \(t \to +\infty\).
\(x^n \ln(x) = \dfrac{1}{t^n} \cdot \ln\!\left(\dfrac{1}{t}\right) = \dfrac{-\ln(t)}{t^n} = -\dfrac{\ln(t)}{t^n}\)
Or \(\lim_{t \to +\infty} \dfrac{\ln(t)}{t^n} = 0\) (croissances comparees en \(+\infty\)). Donc \(\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0\). ∎
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x}\).
On pose \(X = \sqrt{x}\), soit \(x = X^2\). Alors \(\dfrac{(\ln x)^2}{x} = \dfrac{(2\ln X)^2}{X^2} = 4\left(\dfrac{\ln X}{X}\right)^2 \to 0\) par croissances comparees.
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)\).
On factorise par \(x\) : \(x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)\). Or \(\lim \dfrac{\ln x}{x} = 0\), donc \(\lim\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) = 1\). Ainsi \(\lim (x - \ln x) = +\infty\).
Résoudre \(\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)\).
Domaine : \(x^2 - 3 > 0\) et \(2x > 0\), soit \(x > \sqrt{3}\).
Comme \(\ln\) est injective : \(x^2 - 3 = 2x\), soit \(x^2 - 2x - 3 = 0\).
\(\Delta = 16\), \(x = \dfrac{2 + 4}{2} = 3\) ou \(x = \dfrac{2 - 4}{2} = -1\).
Seul \(x = 3\) vérifie la condition \(x > \sqrt{3}\). Solution : \(x = 3\).
Résoudre \(2^x = 5\).
On passe au logarithme : \(x\ln(2) = \ln(5)\), d’ou \(x = \dfrac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx 2{,}322\).
Le niveau sonore est \(L = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right) = \dfrac{10\ln(I/I_0)}{\ln(10)}\).
Si l’intensite est multipliee par 10, le nouveau niveau est \(L' = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{10I}{I_0}\right) = 10\left[\log_{10}(10) + \log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\right] = L + 10\).
Le logarithme transforme une multiplication par 10 en une addition de 10 dB. C’est cette propriété fondamentale \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\) qui rend les échelles logarithmiques si utiles en sciences : elles compriment les grandes variations en additions simples.
Autres exemples : le pH en chimie (\(\text{pH} = -\log_{10}[H^+]\)), la magnitude des seismes (échelle de Richter), les magnitudes stellaires en astronomie.
On cherche \(n\) tel que \(1{,}03^n \geq 2\). En passant au logarithme : \(n \ln(1{,}03) \geq \ln(2)\), soit \(n \geq \dfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} \approx \dfrac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4\).
Il faut donc 24 annees pour doubler le capital.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Définition | \(\ln(x) = y \iff e^y = x\) |
| Valeurs | \(\ln(1) = 0\), \(\ln(e) = 1\) |
| Produit | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) |
| Quotient | \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\) |
| Puissance | \(\ln(a^n) = n\ln a\) |
| Dérivée | \((\ln x)' = 1/x\), \((\ln u)' = u'/u\) |
| Croissances comparees | \(\lim \frac{\ln x}{x} = 0\), \(\lim x\ln x = 0\) en \(0^+\) |
Logarithme népérien : teste d’abord ton intuition.
« \(\ln(a + b) = \ln(a) + \ln(b)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. C’est l’erreur la plus frequente sur le logarithme ! La propriété fondamentale est \(\ln(a \times b) = \ln a + \ln b\) (produit, pas somme). Il n’existe aucune formule simple pour \(\ln(a+b)\). Contre-exemple : \(\ln(1+1) = \ln 2 \approx 0{,}69\), alors que \(\ln 1 + \ln 1 = 0\).
Mini-test : \(\ln(2) + \ln(3) = ?\)
« \(\ln(1) = 1\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln(1) = 0\), pas 1. En effet, \(e^0 = 1\) donc \(\ln(1) = 0\). C’est \(\ln(e) = 1\) qu’il ne faut pas confondre. La confusion ln(1)/ln(e) est un classique du bac.
Mini-test : \(\ln(e^3) = ?\)
« \(\ln(-3)\) existe dans \(\mathbb{R}\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. Le logarithme népérien n’est défini que sur \(]0; +\infty[\). On ne peut pas calculer \(\ln\) d’un nombre négatif ou nul dans \(\mathbb{R}\). Attention aux équations : si \(\ln(x-2) = 3\), il faut \(x - 2 > 0\), soit \(x > 2\).
Mini-test : l’équation \(\ln(x^2) = 4\) a pour solutions :
« \(\ln(ab) = \ln(a) \times \ln(b)\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) (somme, pas produit !). Le logarithme transforme les produits en sommes. Contre-exemple : \(\ln(e \times e) = \ln(e^2) = 2\), mais \(\ln(e) \times \ln(e) = 1 \times 1 = 1\).
Mini-test : \(\ln(e^2 \times e^3) = ?\)
« \(\ln(2) = 0{,}5\) car \(\ln\) est « a peu pres lineaire ». »
Cette affirmation est-elle correcte ?
Faux. \(\ln(2) \approx 0{,}693\), pas \(0{,}5\). Le logarithme est concave, pas lineaire. La droite passant par \((1, 0)\) et \((e, 1)\) donnerait \(\ln(2) \approx 0{,}58\) par interpolation lineaire, mais la concavite fait que la courbe est au-dessus de cette droite.
Mini-test : \(\ln(4) = ?\)
« \(\ln(a^n) = n \ln(a)\) pour tout \(a > 0\) et tout entier \(n\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
C’est vrai ! C’est une propriété fondamentale du logarithme : \(\ln(a^n) = n\ln(a)\). Elle se demontre par récurrence à partir de \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\). Elle est valable pour tout réel \(n\) (pas seulement les entiers), à condition que \(a > 0\).
Mini-test : résoudre \(3^x = 10\).