Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Un drone doit suivre un trajet rectiligne entre deux points de coordonnées connues. Comment programmer son parcours ? Il faut déterminer l’équation de la droite reliant les deux points pour calculer sa position a chaque instant.
Rene Descartes (1596–1650) a revolutionne les mathematiques en publiant La Géométrie (1637), ou il montre comment représenter les courbes par des équations algébriques. C’est la naissance de la géométrie analytique : l’alliance de l’algèbre et de la géométrie.
Grace a Descartes, une droite n’est plus seulement un objet géométrique : c’est aussi une équation \(ax + by + c = 0\).
Les droites \(d_1 : 2x - y + 1 = 0\), \(d_2 : x + y - 5 = 0\) et \(d_3 : x - 3y + 9 = 0\) sont-elles concourantes (passent-elles toutes par un même point) ?
Une droite admet une infinite de vecteurs directeurs : si \(\vec{u}\) est un vecteur directeur de \(d\), alors \(k\vec{u}\) (avec \(k \neq 0\)) l’est aussi.
M appartient à la droite passant par A de direction \(\vec{u}\) si et seulement si M est sur cette droite, c’est-a-dire \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) ont la même direction.
Deux vecteurs ont la même direction si et seulement s’ils sont colinéaires (chapitre 6). \(\square\)
Sens direct. Soit \(d\) une droite passant par \(A(x_A, y_A)\) de vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\) (avec \((\alpha, \beta) \neq (0,0)\)).
Un point \(M(x, y)\) appartient à \(d\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec{u}\) sont colinéaires, ce qui s’écrit \(\det(\vec{u}, \overrightarrow{AM}) = 0\), soit :
\(\alpha(y - y_A) - \beta(x - x_A) = 0.\)
En développant : \(-\beta\, x + \alpha\, y + (\beta x_A - \alpha y_A) = 0\).
En posant \(a = -\beta\), \(b = \alpha\), \(c = \beta x_A - \alpha y_A\), on obtient \(ax + by + c = 0\) avec \((a, b) = (-\beta, \alpha) \neq (0,0)\).
Réciproque. Soit \((a, b) \neq (0,0)\) et \(E = \{(x,y) \mid ax + by + c = 0\}\). Supposons \(b \neq 0\) (le cas \(a \neq 0\) est analogue). Pour \(x = 0\), \(y = -c/b\) : le point \(A(0, -c/b)\) est dans \(E\). Pour tout \((x, y) \in E\) : \(a x + b y + c = 0\), soit \(y - (-c/b) = -(a/b)x\). L’ensemble \(E\) est donc la droite passant par \(A\) de coefficient directeur \(-a/b\) — c’est bien une droite. ∎
D’après la démonstration ci-dessus, si l’équation \(ax + by + c = 0\) provient d’une droite de vecteur directeur \(\vec{u}(\alpha\,;\,\beta)\), alors \(a = -\beta\) et \(b = \alpha\). On retrouve donc :
\(\vec{u} = \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}.\)
Or \(-\vec{u}\) est aussi un vecteur directeur de la droite (même direction, sens opposé). Donc \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est un vecteur directeur.
Vérification directe. Soient \(M(x, y)\) et \(M'(x', y')\) deux points distincts de la droite. Alors \(ax + by + c = 0\) et \(ax' + by' + c = 0\). En soustrayant : \(a(x' - x) + b(y' - y) = 0\), soit :
\(\overrightarrow{MM'}\begin{pmatrix}x' - x\\y' - y\end{pmatrix}\ \text{et}\ \begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\ \text{sont colinéaires (det = }a(x'-x)+b(y'-y)=0\text{)}.\)
Donc \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\) est bien un vecteur directeur. ∎
La droite d’équation \(3x - 2y + 6 = 0\) a pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Le point \(A(0, 3)\) appartient a cette droite car \(3(0) - 2(3) + 6 = 0\) ✓.
Si \(ax + by + c = 0\) avec \(b \neq 0\), on isole \(y\) :
\(by = -ax - c\), donc \(y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}\).
En posant \(m = -\frac{a}{b}\) et \(p = -\frac{c}{b}\), on obtient \(y = mx + p\). \(\square\)
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) sont deux points de la droite avec \(x_A \neq x_B\) :
\[\boxed{\,m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\,}\]Mémo : « différence des \(y\) » sur « différence des \(x\) » — dans le même ordre au numérateur et au dénominateur.
Les points A et B sont sur la droite \(y = mx + p\), donc \(y_A = mx_A + p\) et \(y_B = mx_B + p\).
Par soustraction : \(y_B - y_A = m(x_B - x_A)\).
Comme \(x_A \neq x_B\), on divise : \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\). \(\square\)
Droite passant par \(A(1, 3)\) et \(B(4, 9)\).
\(m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\). Avec \(A\) : \(3 = 2(1) + p\), donc \(p = 1\).
Équation : \(y = 2x + 1\).
Si la droite passe par \(A(x_A, y_A)\) avec une pente \(m\) :
\(y - y_A = m(x - x_A)\), soit \(y = mx + (y_A - mx_A)\).
Deux droites sont parallèles ssi elles ont la même direction, c’est-a-dire ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Si les droites ont pour équations \(y = m_1 x + p_1\) et \(y = m_2 x + p_2\), leurs vecteurs directeurs sont \(\begin{pmatrix} 1 \\ m_1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 \\ m_2 \end{pmatrix}\).
Ils sont colinéaires ssi \(\det = 1 \times m_2 - m_1 \times 1 = m_2 - m_1 = 0\), c’est-a-dire \(m_1 = m_2\). \(\square\)
On montre qu’il n’y a pas d’autre cas possible : deux droites du plan ne peuvent pas avoir exactement 2 points communs (par exemple).
Argument. Soient \(d_1\) et \(d_2\) deux droites, et considérons leur intersection \(d_1 \cap d_2\). Distinguons selon le nombre de points communs :
0 point commun. Si \(d_1 \cap d_2 = \varnothing\), les droites n’ont pas de point commun. Elles sont alors strictement parallèles (même direction, pas de point commun).
Exactement 1 point commun. Si \(d_1 \cap d_2 = \{I\}\), les droites se croisent en un unique point : elles sont sécantes. Ce cas est possible car deux droites de directions différentes (non colinéaires) ont nécessairement un unique point d’intersection (résolution d’un système 2×2 à déterminant non nul).
Au moins 2 points communs. Supposons que \(d_1\) et \(d_2\) ont deux points distincts communs \(A\) et \(B\). Alors par définition d’une droite, la droite passant par \(A\) et \(B\) est unique. Donc \(d_1 = d_2\) : les droites sont confondues (tous les points en commun, et pas seulement \(A\) et \(B\)).
Conclusion. Les seuls cas possibles sont \(|d_1 \cap d_2| \in \{0, 1, \infty\}\), qui correspondent respectivement à strictement parallèles, sécantes et confondues. ∎
\(d_1 : y = 3x + 1\) et \(d_2 : y = 3x - 4\) ont la même pente \(m = 3\) mais des ordonnées à l’origine différentes : elles sont strictement parallèles.
\(d_1 : y = 3x + 1\) et \(d_3 : y = -2x + 6\) ont des pentes différentes : elles sont sécantes.
Si le système n’a pas de solution, les droites sont parallèles (non sécantes).
Intersection de \(d_1 : y = 2x + 1\) et \(d_2 : y = -x + 7\).
On resout : \(2x + 1 = -x + 7\), soit \(3x = 6\), donc \(x = 2\).
Puis \(y = 2(2) + 1 = 5\). Le point d’intersection est \(I(2, 5)\).
Intersection de \(d_1 : 2x - y + 1 = 0\) et \(d_2 : x + 3y - 11 = 0\).
De \(d_1\) : \(y = 2x + 1\). On substitue dans \(d_2\) : \(x + 3(2x + 1) - 11 = 0\), \(7x - 8 = 0\), \(x = \frac{8}{7}\).
\(y = 2 \times \frac{8}{7} + 1 = \frac{23}{7}\). Le point d’intersection est \(I\left(\frac{8}{7}\,;\, \frac{23}{7}\right)\).
On cherche l’intersection de \(y = a_1 x + b_1\) et \(y = a_2 x + b_2\). Si \(a_1 = a_2\), les droites sont parallèles (pas d’intersection unique).
def intersection(a1, b1, a2, b2): if a1 == a2: return "Droites parallèles" x = (b2 - b1) / (a1 - a2) y = a1 * x + b1 return (x, y) # y = 2x + 1 et y = -x + 4 print(intersection(2, 1, -1, 4)) # (1.0, 3.0) print(intersection(2, 1, 2, 5)) # Droites parallèles print(intersection(3, -2, -1, 6)) # (2.0, 4.0)
On trouve \(x\) en égalant les deux expressions : \(a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2 \Rightarrow x = \dfrac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}\).
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Notion | Formule |
|---|---|
| Équation cartésienne | \(ax + by + c = 0\) |
| Équation réduite | \(y = mx + p\) |
| Pente | \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) |
| Vecteur directeur de \(ax+by+c=0\) | \(\vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}\) |
| Parallelisme | Meme pente ou vecteurs directeurs colinéaires |
Soient \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) les deux points connus (avec \(x_A \neq x_B\)). La droite \((AB)\) a une équation de la forme \(y = ax + b\).
Calcul du coefficient directeur (pente) : \(a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
Calcul de l’ordonnée à l’origine : on utilise que \(A\) appartient à la droite, donc \(y_A = a \cdot x_A + b\), d’où \(b = y_A - a \cdot x_A\).
Exemple : pour \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,8)\) :
Le drone peut alors calculer sa position à n’importe quel instant en appliquant cette formule.
Intersection de \(d_1\) et \(d_2\) : \(2x - y + 1 = 0\) et \(x + y - 5 = 0\).
En additionnant : \(3x - 4 = 0\), donc \(x = \frac{4}{3}\) … Non, additionnons correctement :
\(2x - y = -1\) et \(x + y = 5\). Somme : \(3x = 4\), \(x = \frac{4}{3}\), \(y = 5 - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}\).
Verifions sur \(d_3\) : \(\frac{4}{3} - 3 \times \frac{11}{3} + 9 = \frac{4}{3} - 11 + 9 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} \neq 0\).
Les trois droites ne sont pas concourantes.
Équations de droites : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Deux droites de même coefficient directeur sont confondues. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Elles sont parallèles, mais pas forcement confondues. Pour être confondues, il faut en plus la même ordonnee a l’origine. Exemple : \(y = 2x + 1\) et \(y = 2x + 3\) sont parallèles mais distinctes.
Mini-test : \(y = 3x + 1\) et \(y = 3x + 5\) sont :
🔗 Travaille dans les exercices sur les droites
« La droite \(y = 2x + 3\) passe par l’origine. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. L’origine est le point \((0, 0)\). Or pour \(x = 0\), \(y = 2 \times 0 + 3 = 3 \neq 0\). La droite passe par \((0, 3)\), pas par l’origine.
Mini-test : quelle droite passe par l’origine ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les équations de droites
« Toute droite du plan a un coefficient directeur. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Les droites verticales (d’équation \(x = k\)) n’ont pas de coefficient directeur. La pente serait « infinie », ce qui n’a pas de sens.
Mini-test : la droite \(x = 5\) a-t-elle un coefficient directeur ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les droites verticales
« Si deux droites ont des coefficients directeurs opposes, elles sont perpendiculaires. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Deux droites de coefficients \(m_1\) et \(m_2\) sont perpendiculaires si \(m_1 \times m_2 = -1\). « Opposes » signifie \(m_2 = -m_1\), donc \(m_1 \times m_2 = -m_1^2\), qui ne vaut \(-1\) que si \(m_1 = \pm 1\).
Mini-test : les droites de pentes 2 et -2 sont-elles perpendiculaires ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les positions relatives
« Deux droites non parallèles se coupent en exactement un point (dans le plan). »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! Dans le plan, deux droites distinctes sont soit parallèles (0 ou infinite de points communs si confondues), soit secantes en exactement un point.
Mini-test : deux droites secantes ont combien de points communs ?