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Chapitre 8 — Droites du plan · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices 🎯 WIMS
🟢 Groupe 1 — Lire et écrire une équation réduite ▾
1

Lecture graphique. Base

Pour chacune des droites représentées, identifier le coefficient directeur \(m\) et l’ordonnée à l’origine \(p\), puis écrire l’équation réduite.

x y −1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 −1 −2 −3 (d₁) (d₂) (d₃)
  1. Déterminer \(m\) et \(p\) pour \((d_1)\) (droite rouge).
  2. Déterminer \(m\) et \(p\) pour \((d_2)\) (droite verte).
  3. Déterminer \(m\) et \(p\) pour \((d_3)\) (droite bleue).
  4. Écrire les équations réduites des trois droites.

(d₁) rouge : Elle coupe l’axe des ordonnées en \((0 ; 3)\) donc \(p = 3\).
Entre \(x=0\) et \(x=2\), \(y\) diminue de \(3\) donc \(m = -\dfrac{3}{2}\).
Équation : \(y = -\dfrac{3}{2}x + 3\).

(d₂) verte : Elle passe par l’origine donc \(p = 0\).
Entre \(x=0\) et \(x=4\), \(y\) augmente de \(3\) donc \(m = \dfrac{3}{4}\).
Équation : \(y = \dfrac{3}{4}x\).

(d₃) bleue : Elle coupe l’axe des ordonnées en \((0 ; -1)\) donc \(p = -1\).
Entre \(x=0\) et \(x=1\), \(y\) augmente de \(2\) donc \(m = 2\).
Équation : \(y = 2x - 1\).

2

Identifier les caractéristiques. Base

Pour chaque équation, donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine, puis préciser si la droite est croissante, décroissante ou constante.

  1. \(y = 3x - 5\)
  2. \(y = -\dfrac{2}{3}x + 4\)
  3. \(y = 7\)
  4. \(y = -x\)
  5. \(2y = 6x - 10\) (mettre d’abord sous forme réduite)
  1. \(m=3,\;p=-5\). Croissante (\(m>0\)).
  2. \(m=-\frac{2}{3},\;p=4\). Décroissante (\(m<0\)).
  3. \(m=0,\;p=7\). Constante (droite horizontale).
  4. \(m=-1,\;p=0\). Décroissante — droite linéaire passant par l’origine.
  5. On divise par 2 : \(y=3x-5\). Donc \(m=3,\;p=-5\). Croissante.
3

Un point appartient-il à la droite ? Base

On considère la droite \((d)\) d’équation \(y = 2x - 3\).

  1. Le point \(A(2\,;\,1)\) appartient-il à \((d)\) ?
  2. Le point \(B(0\,;\,3)\) appartient-il à \((d)\) ?
  3. Le point \(C(-1\,;\,-5)\) appartient-il à \((d)\) ?
  4. Trouver la valeur de \(k\) telle que \(D(3\,;\,k)\) appartienne à \((d)\).
  1. On calcule \(2\times 2-3=1\). Or l’ordonnée de \(A\) est \(1\). Donc \(A\in(d)\). ✓
  2. On calcule \(2\times 0-3=-3\neq 3\). Donc \(B\notin(d)\). ✗
  3. On calcule \(2\times(-1)-3=-5\). Ordonnée de \(C\) est \(-5\). Donc \(C\in(d)\). ✓
  4. \(k=2\times 3-3=3\). Donc \(D(3\,;\,3)\).
🔵 Groupe 2 — Déterminer une équation de droite ▾
4

Pente et point connu. Base

Déterminer l’équation de la droite dans chaque cas :

  1. Pente \(m = 3\), passe par \(A(1\,;\,5)\).
  2. Pente \(m = -2\), passe par \(B(0\,;\,4)\).
  3. Pente \(m = \frac{1}{2}\), passe par \(C(4\,;\,3)\).
  4. Pente \(m = 0\), passe par \(D(-1\,;\,7)\).

Méthode : \(y = mx + p\), on substitue les coordonnées du point pour trouver \(p\).

  1. \(5 = 3\times 1 + p \Rightarrow p = 2\). Équation : \(y = 3x + 2\).
  2. Le point est l’ordonnée à l’origine directement : \(p=4\). Équation : \(y = -2x + 4\).
  3. \(3 = \frac{1}{2}\times 4 + p \Rightarrow p = 3-2=1\). Équation : \(y = \frac{1}{2}x + 1\).
  4. Pente nulle = droite horizontale. \(7 = 0\times(-1)+p \Rightarrow p=7\). Équation : \(y = 7\).
5

Deux points donnés. Intermédiaire

Déterminer l’équation réduite de la droite passant par les deux points donnés :

  1. \(A(1\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,7)\).
  2. \(P(-2\,;\,5)\) et \(Q(4\,;\,-1)\).
  3. \(E(0\,;\,0)\) et \(F(5\,;\,3)\).
  4. \(G(2\,;\,4)\) et \(H(2\,;\,-1)\).

Méthode : \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) puis \(p = y_A - m\,x_A\).

  1. \(m = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2\). \(p = 3 - 2\times 1 = 1\). Équation : \(y = 2x + 1\).
  2. \(m = \frac{-1-5}{4-(-2)} = \frac{-6}{6} = -1\). \(p = 5 - (-1)\times(-2) = 5-2=3\). Équation : \(y = -x + 3\).
  3. \(m = \frac{3-0}{5-0} = \frac{3}{5}\). \(p = 0\). Équation : \(y = \frac{3}{5}x\) (droite linéaire).
  4. \(x_G = x_H = 2\) : les deux points ont la même abscisse. La droite est verticale d’équation \(x = 2\) (pas de forme réduite \(y=mx+p\)).
6

Depuis un tableau de valeurs. Intermédiaire

Le tableau suivant donne des valeurs d’une fonction affine \(f\) :

\(x\)−2035
\(f(x)\)73??
  1. Déterminer l’équation réduite de \(f\).
  2. Compléter le tableau.
  3. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 0\) ?
  1. On utilise les points \((-2\,;\,7)\) et \((0\,;\,3)\).
    \(m = \frac{3-7}{0-(-2)} = \frac{-4}{2} = -2\) et \(p = 3\).
    Équation : \(f(x) = -2x + 3\).
  2. \(f(3) = -2\times 3+3 = -3\) ; \(f(5) = -2\times 5+3 = -7\).
  3. \(f(x)=0 \Leftrightarrow -2x+3=0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} = 1{,}5\).
🟣 Groupe 3 — Positions relatives et intersection ▾
7

Parallèles, sécantes ou confondues. Base

Pour chaque paire de droites, déterminer leur position relative sans calcul d’intersection.

  1. \((d_1) : y = 2x + 1\) et \((d_2) : y = 2x - 3\).
  2. \((d_3) : y = 3x + 2\) et \((d_4) : y = -x + 5\).
  3. \((d_5) : y = -\frac{1}{2}x + 4\) et \((d_6) : y = -\frac{1}{2}x + 4\).
  4. \((d_7) : y = 4x - 7\) et \((d_8) : y = \frac{1}{4}x + 2\).
  1. Même pente \(m=2\) et ordonnées différentes : parallèles distinctes.
  2. Pentes différentes (\(3 \neq -1\)) : sécantes.
  3. Même pente et même ordonnée à l’origine : confondues (même droite).
  4. Pentes \(4\) et \(\frac{1}{4}\) : différentes, donc sécantes. De plus \(4\times\frac{1}{4}=1\neq -1\) : elles ne sont pas perpendiculaires.
8

Point d’intersection. Intermédiaire

Calculer les coordonnées du point d’intersection des droites suivantes :

  1. \((d_1) : y = x + 2\) et \((d_2) : y = -x + 6\).
  2. \((d_3) : y = 3x - 1\) et \((d_4) : y = x + 5\).
  3. \((d_5) : y = 2x + 1\) et \((d_6) : y = 2x - 3\).
  1. À l’intersection : \(x+2 = -x+6 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2\). \(y=2+2=4\). Point : \((2\,;\,4)\).
  2. \(3x-1 = x+5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\). \(y=3+5=8\). Point : \((3\,;\,8)\).
  3. Même pente \(m=2\) mais \(p\) différents : les droites sont parallèles. Pas d’intersection.
9

Intersections des trois droites (figure de l'exercice 1). Intermédiaire

On reprend les trois droites de l'exercice 1 :

  • \((d_1)\) rouge : \(y = -\dfrac{3}{2}x + 3\)
  • \((d_2)\) verte : \(y = \dfrac{3}{4}x\)
  • \((d_3)\) bleue : \(y = 2x - 1\)
x y −1 1 2 3 4 5 1 2 3 −1 −2 −3 (d₁) (d₂) (d₃)
  1. Calculer les coordonnées du point d'intersection de \((d_1)\) et \((d_2)\).
  2. Calculer les coordonnées du point d'intersection de \((d_1)\) et \((d_3)\).
  3. Calculer les coordonnées du point d'intersection de \((d_2)\) et \((d_3)\).
  1. \((d_1)\cap(d_2)\) : \(-\dfrac{3}{2}x+3 = \dfrac{3}{4}x\).
    On multiplie par 4 : \(-6x+12 = 3x \Rightarrow 12 = 9x \Rightarrow x = \dfrac{4}{3}\).
    \(y = \dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{3} = 1\). Point d'intersection : \(\left(\dfrac{4}{3}\,;\,1\right)\).
  2. \((d_1)\cap(d_3)\) : \(-\dfrac{3}{2}x+3 = 2x-1\).
    On multiplie par 2 : \(-3x+6 = 4x-2 \Rightarrow 8 = 7x \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}\).
    \(y = 2\times\dfrac{8}{7}-1 = \dfrac{16}{7}-\dfrac{7}{7} = \dfrac{9}{7}\). Point d'intersection : \(\left(\dfrac{8}{7}\,;\,\dfrac{9}{7}\right)\).
  3. \((d_2)\cap(d_3)\) : \(\dfrac{3}{4}x = 2x-1\).
    On multiplie par 4 : \(3x = 8x-4 \Rightarrow 4 = 5x \Rightarrow x = \dfrac{4}{5}\).
    \(y = \dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{5}\). Point d'intersection : \(\left(\dfrac{4}{5}\,;\,\dfrac{3}{5}\right)\).
10

Droites perpendiculaires. Intermédiaire

  1. Montrer que les droites \((d_1) : y = 3x + 1\) et \((d_2) : y = -\frac{1}{3}x + 5\) sont perpendiculaires.
  2. Déterminer l’équation de la droite perpendiculaire à \((d) : y = 2x - 1\) passant par \(A(4\,;\,3)\).
  3. Déterminer l’équation de la droite perpendiculaire à \((d') : y = -\frac{3}{4}x + 2\) passant par l’origine.
  1. \(m_1 \times m_2 = 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). Le produit vaut \(-1\), donc les droites sont bien perpendiculaires.
  2. La perpendiculaire à \(y=2x-1\) a une pente \(m'=-\frac{1}{2}\).
    Passant par \(A(4\,;\,3)\) : \(3 = -\frac{1}{2}\times 4 + p \Rightarrow p=5\).
    Équation : \(y = -\frac{1}{2}x + 5\).
  3. Perpendiculaire à pente \(-\frac{3}{4}\) : pente \(m'=\frac{4}{3}\). Passant par l’origine : \(p=0\).
    Équation : \(y = \frac{4}{3}x\).
🔴 Groupe 4 — Équation cartésienne et mise en équation ▾
11

Forme cartésienne \(ax + by + c = 0\). Intermédiaire

  1. Mettre l’équation \(2x - y + 3 = 0\) sous forme réduite.
  2. Mettre l’équation \(3x + 2y - 6 = 0\) sous forme réduite.
  3. Mettre \(y = 4x - 5\) sous forme cartésienne.
  4. Une droite verticale passant par \(x = -2\) : quelle est son équation cartésienne ?
  1. \(2x-y+3=0 \Rightarrow y = 2x+3\). Pente \(2\), ordonnée à l’origine \(3\).
  2. \(3x+2y-6=0 \Rightarrow 2y = -3x+6 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x+3\).
  3. \(y=4x-5 \Rightarrow 4x-y-5=0\).
  4. Équation cartésienne : \(x+2=0\), soit \(x=-2\). (Pas de forme réduite car la droite est verticale.)
12

Problème de tarification. Intermédiaire

Deux abonnements de streaming sont proposés :

  • Offre A : 5 € par mois + 2 € par film loué.
  • Offre B : pas d’abonnement, 4 € par film loué.
  1. Exprimer le coût mensuel \(C_A(n)\) et \(C_B(n)\) en fonction du nombre \(n\) de films loués.
  2. Pour quel nombre de films les deux offres sont-elles équivalentes ?
  3. Quelle offre est plus avantageuse si on loue 8 films par mois ? Et pour 3 films ?
  1. \(C_A(n) = 2n + 5\) et \(C_B(n) = 4n\).
  2. \(2n+5 = 4n \Rightarrow 5 = 2n \Rightarrow n = 2{,}5\). Au-delà de \(2{,}5\) films (soit 3 films), l’offre A devient plus avantageuse.
  3. Pour 8 films : \(C_A = 21\,\text{€}\), \(C_B = 32\,\text{€}\) → offre A.
    Pour 3 films : \(C_A = 11\,\text{€}\), \(C_B = 12\,\text{€}\) → offre A (mais tout juste).
    Pour 2 films ou moins : \(C_B < C_A\) → offre B.
13

Médiatrice. Approfondissement

On donne \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,1)\).

  1. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).
  2. Calculer la pente de \((AB)\), puis la pente de la médiatrice de \([AB]\).
  3. Écrire l’équation de la médiatrice de \([AB]\).
  4. Vérifier que \(A\) et \(B\) sont équidistants d’un point quelconque de cette médiatrice.
  1. \(I = \left(\frac{1+5}{2}\,;\,\frac{3+1}{2}\right) = (3\,;\,2)\).
  2. Pente de \((AB)\) : \(m_{AB} = \frac{1-3}{5-1} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\).
    Médiatrice perpendiculaire à \((AB)\) : \(m_\perp = 2\).
  3. Passe par \(I(3\,;\,2)\) avec pente \(2\) : \(2 = 2\times 3 + p \Rightarrow p = -4\).
    Équation : \(y = 2x - 4\).
  4. Prenons \(M(x\,;\,2x-4)\) sur la médiatrice.
    \(MA^2 = (x-1)^2+(2x-4-3)^2 = (x-1)^2+(2x-7)^2\)
    \(MB^2 = (x-5)^2+(2x-4-1)^2 = (x-5)^2+(2x-5)^2\)
    En développant, on vérifie \(MA^2 = MB^2\). (Calcul à faire.)
🟠 Groupe 5 — Approfondissement ▾
14

Retour sur les records du 100m. Approfondissement

On reprend la modélisation de l’accroche. Les records homologués du 100m masculin suivent approximativement la droite de régression :

\[T(x) = -0{,}01052\,x + 30{,}72\]

où \(x\) est l’année et \(T(x)\) le record en secondes.

  1. Calculer le record prédit pour 1968 (Jeux de Mexico). Le comparer au record réel de 9,95 s par Jim Hines.
  2. Quelle année le modèle prédit-il un record de 9,50 s ? Comparer avec le record actuel d’Usain Bolt (9,58 s en 2009).
  3. Le modèle prédit-il un record de 9,00 s ? Pour quelle année ? Ce résultat est-il réaliste ?
  4. Donner la limite physiologique approximative souvent citée par les biologistes du sport (9,48 s). Le modèle est-il en accord ?
  1. \(T(1968) = -0{,}01052\times 1968 + 30{,}72 \approx -20{,}70 + 30{,}72 = 10{,}02\,\text{s}\).
    Record réel : 9,95 s → le modèle surestime légèrement (erreur de 0,07 s, soit 0,7%).
  2. \(-0{,}01052\,x + 30{,}72 = 9{,}50 \Rightarrow x = \frac{30{,}72-9{,}50}{0{,}01052} = \frac{21{,}22}{0{,}01052} \approx 2017\).
    Le record de Bolt date de 2009 (8 ans avant la prédiction).
  3. \(x = \frac{30{,}72-9{,}00}{0{,}01052} \approx 2064\). Ce serait dans ~40 ans. La limite biologique rendrait ce résultat très improbable.
  4. La limite de 9,48 s correspond à \(x\approx 2023\) selon le modèle. Les biologistes estiment cette limite inatteignable avant plusieurs décennies. Le modèle linéaire diverge de la réalité à long terme.
15

Droite passant par trois points alignés. Approfondissement

On dispose de quatre points : \(A(1\,;\,4)\), \(B(3\,;\,8)\), \(C(5\,;\,12)\) et \(D(7\,;\,15)\).

  1. Calculer la pente de la droite \((AB)\).
  2. Calculer la pente de la droite \((BC)\) et de \((CD)\).
  3. Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ? Et \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ?
  4. Déterminer l’équation de la droite \((AB)\).
  5. Le point \(E(10\,;\,20)\) est-il sur cette droite ?
  1. \(m_{AB} = \frac{8-4}{3-1} = \frac{4}{2} = 2\).
  2. \(m_{BC} = \frac{12-8}{5-3} = 2\) ; \(m_{CD} = \frac{15-12}{7-5} = \frac{3}{2} = 1{,}5\).
  3. \(m_{AB} = m_{BC} = 2\) et \(B\) commun → \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
    \(m_{CD} = 1{,}5 \neq 2\) → \(D\) n’est pas sur la droite \((ABC)\).
  4. Pente \(2\), passe par \(A(1\,;\,4)\) : \(p = 4 - 2\times 1 = 2\). Équation : \(y = 2x + 2\).
  5. \(2\times 10 + 2 = 22 \neq 20\). Donc \(E\notin (ABC)\).
16

Droites remarquables d'un triangle. Approfondissement

On considère le triangle \(ABC\) avec \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\) et \(C(2\,;\,4)\).

  1. Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([BC]\).
  2. Déterminer l'équation de la médiane issue de \(A\) (droite passant par \(A\) et \(M\)).
  3. Calculer la pente de \((BC)\), puis déduire l'équation de la hauteur issue de \(A\) (perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\)).
  4. Déterminer l'équation de la médiatrice de \([BC]\) (perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(M\)).
  5. Calculer les coordonnées du pied \(H\) de la hauteur issue de \(A\) (intersection de la hauteur avec la droite \((BC)\)).
  1. \(M = \left(\dfrac{6+2}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\right) = (4\,;\,2)\).
  2. Pente de \((AM)\) : \(\dfrac{2-0}{4-0} = \dfrac{1}{2}\). Passe par \(A(0\,;\,0)\) donc \(p=0\).
    Médiane : \(\boldsymbol{y = \dfrac{x}{2}}\).
  3. Pente de \((BC)\) : \(m_{BC} = \dfrac{4-0}{2-6} = \dfrac{4}{-4} = -1\).
    La hauteur est perpendiculaire à \((BC)\), donc \(m_h = 1\). Passe par \(A(0\,;\,0)\) :
    Hauteur : \(\boldsymbol{y = x}\).
  4. La médiatrice est perpendiculaire à \((BC)\) (pente \(1\)) et passe par \(M(4\,;\,2)\) :
    \(2 = 1\times 4 + p \Rightarrow p = -2\).
    Médiatrice : \(\boldsymbol{y = x - 2}\).
  5. Équation de \((BC)\) : passe par \(B(6\,;\,0)\) avec pente \(-1\) → \(y = -x + 6\).
    Intersection hauteur \(y=x\) et \((BC)\) \(y=-x+6\) :
    \(x = -x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\,, \quad y = 3\).
    Pied de la hauteur : \(\boldsymbol{H(3\,;\,3)}\).
17

Triangle quelconque — trois droites remarquables. Approfondissement

On donne \(A(1\,;\,5)\), \(B(7\,;\,1)\), \(C(5\,;\,9)\).

  1. Calculer les milieux \(M\) de \([BC]\) et \(N\) de \([AC]\).
  2. Déterminer l'équation de la médiane issue de \(A\) et celle issue de \(B\).
  3. Calculer la pente de \((AC)\), puis écrire l'équation de la hauteur issue de \(B\) (perpendiculaire à \((AC)\) passant par \(B\)).
  4. Vérifier que le point \(B\) est équidistant de \(A\) et de \(C\) si et seulement s'il appartient à la médiatrice de \([AC]\). Calculer cette médiatrice.
  1. \(M = \left(\dfrac{7+5}{2}\,;\,\dfrac{1+9}{2}\right) = (6\,;\,5)\) ; \(N = \left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{5+9}{2}\right) = (3\,;\,7)\).
  2. Médiane de \(A\) : pente \(\dfrac{5-5}{6-1}=0\), droite horizontale \(\boldsymbol{y=5}\).
    Médiane de \(B\) : pente \(\dfrac{7-1}{3-7}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac{3}{2}\) ; passe par \(B(7\,;\,1)\) : \(1 = -\dfrac{3}{2}\times 7 + p \Rightarrow p = 1+\dfrac{21}{2}=\dfrac{23}{2}\).
    Médiane de \(B\) : \(\boldsymbol{y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{23}{2}}\).
  3. Pente de \((AC)\) : \(\dfrac{9-5}{5-1}=1\). Hauteur perp : pente \(-1\). Passe par \(B(7\,;\,1)\) :
    \(1 = -1\times 7 + p \Rightarrow p = 8\). Hauteur de \(B\) : \(\boldsymbol{y = -x + 8}\).
  4. Milieu de \([AC]\) : \(N(3\,;\,7)\). Pente perp à \((AC)\) : \(-1\).
    \(7 = -1\times 3 + p \Rightarrow p = 10\). Médiatrice de \([AC]\) : \(\boldsymbol{y = -x + 10}\).
    Vérif : \(BA^2 = (7-1)^2+(1-5)^2=36+16=52\) ; \(BC^2=(7-5)^2+(1-9)^2=4+64=68\). Donc \(BA\neq BC\) et \(B\) n'appartient pas à la médiatrice de \([AC]\) (cohérent : \(-7+10=3\neq 1\)).
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