Bénéfice d’une entreprise
Une entreprise fabrique des objets et les vend au prix unitaire \(x\) euros. Son bénéfice (en euros) est donné par \(B(x) = -x^2 + 80x - 1200\). Pour quels prix l’entreprise n’est-elle bénéficiaire ?
Newton, Leibniz, Euler et la notion de fonction
La notion de fonction s’est construite très lentement. Newton (1643–1727) et Leibniz (1646–1716) parlaient de « quantités fluentes ». C’est Euler (1707–1783) qui introduisit la notation \(f(x)\) en 1734.
La définition moderne (« à tout élément de l’ensemble de départ, on associe un unique élément ») est due à Dirichlet (1805–1859).
Une fonction mystère
Une fonction \(f\) vérifie : \(f(1) = 3\), \(f(2) = 7\), \(f(3) = 13\), \(f(4) = 21\). Quel est \(f(5)\) ? Quelle est l’expression de \(f\) ?
1. Notion de fonction
- Le nombre \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\).
- Si \(f(x) = y\), on dit que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).
- Un nombre a toujours une seule image par une fonction.
- Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Soit \(f(x) = x^2\). L’image de 3 est \(f(3) = 9\). Les antécédents de 9 sont 3 et \(-3\) car \(f(3) = 9\) et \(f(-3) = 9\). Le nombre \(-1\) n’a pas d’antécédent car \(x^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\).
Test de la verticale : une courbe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale la coupe au plus en un point.
2. Ensemble de définition
- \(f(x) = 2x + 1\) : \(D_f = \mathbb{R}\) (définie pour tout réel).
- \(f(x) = \frac{1}{x}\) : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) (définie pour \(x \neq 0\)).
- \(f(x) = \sqrt{x}\) : \(D_f = [0\,;\, +\infty[\) (définie pour \(x \geqslant 0\)).
- \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) : \(D_f = ]0\,;\, +\infty[\) (définie pour \(x > 0\)).
- Division par zéro : on exclut les valeurs annulant le dénominateur.
- Racine carrée d’un nombre négatif : on garde les valeurs pour lesquelles l’expression sous la racine est positive ou nulle.
3. Courbe représentative
Preuve
Par définition, la courbe \(\mathcal{C}_f\) est l’ensemble des points \((x, f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Donc \(M(a, b) \in \mathcal{C}_f\) si et seulement s’il existe \(x \in D_f\) tel que \(a = x\) et \(b = f(x)\), c’est-à-dire \(b = f(a)\). \(\square\)
Soit \(f(x) = x^2 - 4\). Le point \(A(3, 5)\) àppartient-il a \(\mathcal{C}_f\) ?
\(f(3) = 9 - 4 = 5\). Oui, \(A(3, 5) \in \mathcal{C}_f\) car \(5 = f(3)\). ✓
Le point \(B(2, 1)\) ? \(f(2) = 4 - 4 = 0 \neq 1\). Non, \(B \notin \mathcal{C}_f\).
Courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction définie sur \([-3\,;\,4]\). L’ensemble de définition est visible en abscisse.
4. Lecture graphique d’images et d’antécédents
- On part de \(x = a\) sur l’axe des abscisses.
- On trace la verticale jusqu’à la courbe.
- On lit l’ordonnée du point obtenu : c’est \(f(a)\).
- On trace la droite horizontale \(y = k\).
- On repère les points d’intersection avec la courbe.
- On lit les abscisses de ces points : ce sont les antécédents de \(k\).
5. Résolution graphique d’équations
- Tracer la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la droite horizontale \(y = k\).
- Les abscisses des points d’intersection sont les solutions.
- Tracer les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).
- Les abscisses des points d’intersection sont les solutions.
Pour résoudre \(x^2 = 4\) graphiquement : on trace la parabole \(y = x^2\) et la droite \(y = 4\). Les intersections sont en \(x = -2\) et \(x = 2\).
6. Résolution graphique d’inéquations
- Tracer la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la droite \(y = k\).
- Repérer les zones où la courbe est en dessous de la droite : les abscisses correspondantes sont les solutions de \(f(x) < k\).
- Pour \(f(x) > k\) : zones où la courbe est au-dessus de la droite.
Résoudre graphiquement \(x^2 < 4\).
La parabole est en dessous de la droite \(y = 4\) pour \(x \in ]-2\,;\, 2[\). Donc les solutions sont \(x \in ]-2\,;\, 2[\).
Pour tracer une courbe ou lire des images, on calcule \(f(x)\) pour plusieurs valeurs de \(x\). Exemple avec \(f(x) = x^2 - 3x + 1\) sur \([-2\,;\,5]\).
def f(x): return x**2 - 3*x + 1 for x in range(-2, 6): print(f"f({x:2d}) = {f(x)}")
On retrouve notàmment \(f(0) = 1\) (ordonnée a l’origine) et deux antécédents de 0 entre 0 et 3 (le minimum se lit sur le tableau).
7. Parité d’une fonction ⭐ Approfondissement
Les propriétés de parité sont des cas particuliers. Pour qu’une fonction soit paire ou impaire, son ensemble de définition doit d’abord être symétrique par rapport à 0. Puis, il faut que la condition \(f(-x) = f(x)\) ou \(f(-x) = -f(x)\) soit vraie pour tout \(x\) (un seul contre-exemple suffit à exclure la parité).
Une fonction peut aussi être à la fois paire et impaire : c’est uniquement le cas de la fonction nulle \(f(x) = 0\).
- Vérifier que \(D\) est symétrique par rapport à 0.
- Calculer \(f(-x)\) en remplaçant \(x\) par \(-x\) dans l’expression de \(f\).
- Comparer à \(f(x)\) et \(-f(x)\) :
- Si \(f(-x) = f(x)\) : fonction paire.
- Si \(f(-x) = -f(x)\) : fonction impaire.
- Sinon : ni paire ni impaire (donnér un contre-exemple).
- \(f(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\). Paire. (Courbe : parabole symétrique par rapport à l’axe \(Oy\).)
- \(g(x) = x^3\) sur \(\mathbb{R}\) : \(g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)\). Impaire.
- \(h(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) : \(h(-x) = \dfrac{1}{-x} = -h(x)\). Impaire.
- \(k(x) = x^2 + x\) sur \(\mathbb{R}\) : \(k(-1) = 0\), \(k(1) = 2\). Comme \(k(-1) \neq k(1)\) et \(k(-1) \neq -k(1)\), la fonction est ni paire ni impaire.
La parité de chaque fonction de référence est démontrée au chapitre 10 :
- Paires : fonction carré \(x \mapsto x^2\), fonction valeur absolue \(x \mapsto |x|\).
- Impaires : fonction cube \(x \mapsto x^3\), fonction racine cubique \(x \mapsto \sqrt[3]{x}\), fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\).
- Ni paire ni impaire : fonction affine \(x \mapsto mx + p\) (sauf si \(p = 0\)), fonction racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) (domaine non symétrique).
Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (paire) vs symétrie par rapport à l’origine (impaire).
⭐ 8. Transformations de courbes (approfondissement — hors programme strict)
Cette section n’est pas exigible au programme BO Seconde. Elle prépare aux fonctions de référence (chapitre 10) et aux fonctions associées vues en Première.
- La courbe de \(g(x) = f(x) + b\) est la courbe de \(f\) translatée verticalement de \(b\) (vers le haut si \(b > 0\), vers le bas si \(b < 0\)).
- La courbe de \(h(x) = f(x - a)\) est la courbe de \(f\) translatée horizontalement de \(a\) (vers la droite si \(a > 0\), vers la gauche si \(a < 0\)).
- \(g(x) = -f(x)\) : courbe symétrique de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à l’axe des abscisses (axe \(Ox\)).
- \(h(x) = f(-x)\) : courbe symétrique de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à l’axe des ordonnées (axe \(Oy\)).
- \(y = x^2 + 3\) : parabole translatée de 3 unités vers le haut (sommet \((0\,;\,3)\)).
- \(y = (x - 2)^2\) : parabole translatée de 2 unités vers la droite (sommet \((2\,;\,0)\)).
- \(y = (x - 2)^2 + 3\) : parabole translatée de 2 vers la droite et 3 vers le haut (sommet \((2\,;\,3)\)).
- \(y = -x^2\) : parabole « retournée » (symétrique par rapport à \(Ox\)) — elle s’ouvre vers le bas.
⭐ 9. Signe d’une fonction (approfondissement)
Extension graphique du chapitre 5 (tableaux de signes algébriques). Ici, on lit le signe directement sur la courbe.
- Repérer les zéros de \(f\) : abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.
- Découper le domaine en intervalles aux zéros.
- Sur chaque intervalle, lire si la courbe est au-dessus de l’axe (signe \(+\)) où en dessous (signe \(-\)).
- Noter les zéros avec un « \(0\) » dans le tableau.
Soit \(f\) définie sur \([-3\,;\,4]\) dont la courbe coupe l’axe en \(x = -1\) et \(x = 3\), avec :
- \(f(x) < 0\) sur \([-3\,;\,-1[\)
- \(f(x) > 0\) sur \(]-1\,;\,3[\)
- \(f(x) < 0\) sur \(]3\,;\,4]\)
| \(x\) | \(-3\) | \(-1\) | \(3\) | \(4\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Application : résoudre \(f(x) \geq 0 \iff x \in [-1\,;\,3]\) (partie où le tableau contient \(+\) ou \(0\)).
⭐ 10. Fonctions définies par morceaux (approfondissement)
\(f(x) = |x|\) est la fonction par morceaux :
\(|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\)
Sa courbe est un « V » : demi-droite de pente \(+1\) pour \(x \geqslant 0\), demi-droite de pente \(-1\) pour \(x < 0\).
Un taxi facture \(4\) € de prise en charge, puis \(2\) €/km au-delà de 1 km :
\(P(x) = \begin{cases} 4 & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 4 + 2(x - 1) & \text{si } x > 1 \end{cases}\)
Calcul : \(P(0{,}5) = 4\) €, \(P(1) = 4\) €, \(P(3) = 4 + 4 = 8\) €.
- Repérer dans quel intervalle \(I_k\) se trouve \(a\).
- Appliquer l’expression correspondante \(\text{expression}_k\) à \(a\).
📐 Applets GeoGebra — fonctions, image et antécédent
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
Bilan — Notions essentielles
| Notion | Description |
|---|---|
| Image | \(f(a)\) = ordonnée du point d’abscisse \(a\) sur \(\mathcal{C}_f\) |
| Antécédent | Abscisses des points de \(\mathcal{C}_f\) d’ordonnée \(k\) |
| Courbe représentative | Ensemble des points \((x\,;\, f(x))\) |
| \(f(x) = k\) | Intersections de \(\mathcal{C}_f\) avec \(y = k\) |
| \(f(x) < k\) | Zone où \(\mathcal{C}_f\) est sous la droite \(y = k\) |
| ⭐ Fonction paire (approfondissement) | \(f(-x) = f(x)\) — symétrie axe \(Oy\) |
| ⭐ Fonction impaire (approfondissement) | \(f(-x) = -f(x)\) — symétrie centrale \(O\) |
Solution du problème d’ouverture — Bénéfice d’une entreprise
On cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(B(x) = -x^2 + 80x - 1200 > 0\).
Résolution graphique / par tableau. On tabule \(B\) :
| \(x\) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(B(x)\) | -500 | 0 | 600 | 800 | 600 | 0 | -500 |
On observe que \(B(x) > 0\) entre \(x = 20\) et \(x = 60\), avec un maximum atteint en \(x = 40\) (\(B(40) = 800\) €).
Vérification algébrique (pour la culture). On factorise : \(B(x) = -(x - 20)(x - 60)\). Par la règle du signe d’un produit (chapitre 5), \(B(x) > 0\) lorsque les deux facteurs \((x-20)\) et \((x-60)\) sont de signes opposés, c’est-à-dire pour \(x \in \,]20\,;\,60[\).
Conclusion : l’entreprise est bénéficiaire lorsque son prix unitaire est compris strictement entre 20 et 60 €. Au-delà ou en deçà, elle vend à perte.
Solution de l’énigme — Une fonction mystère
Différences : \(7 - 3 = 4\), \(13 - 7 = 6\), \(21 - 13 = 8\). Différences secondes : 2, 2. C’est constant, donc \(f\) est un polynôme de degré 2.
On cherche \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Avec les trois premières valeurs : \(a + b + c = 3\), \(4a + 2b + c = 7\), \(9a + 3b + c = 13\).
On trouve \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 1\) : \(f(x) = x^2 + x + 1\).
Donc \(f(5) = 25 + 5 + 1 = 31\).
⚠️ Pièges et contre-exemples
Généralités sur les fonctions : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« L’image de 3 par \(f\) est l’antécédent de \(f(3)\). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
📖 Explication
FAUX. L’image de 3 par \(f\), c’est \(f(3)\). L’antécédent de \(f(3)\), c’est 3. Ce sont deux notions distinctes : l’image est le résultat, l’antécédent est le point de départ.
Mini-test : si \(f(3) = 7\), quel est l’antécédent de 7 ?
🔗 Travaille dans les exercices sur image et antécédent
« Si la courbe passe par l’origine, alors \(f(0) = 1\). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
📖 Explication
FAUX. Si la courbe passe par l’origine \(O(0,0)\), alors \(f(0) = 0\), pas 1. Le point \((0, 1)\) est sur l’axe des ordonnées mais pas à l’origine.
Mini-test : si \(f(0) = 0\), la courbe passe par :
🔗 Travaille dans les exercices sur la lecture graphique
« Le sommet d’une parabole est toujours un minimum. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
📖 Explication
FAUX. Le sommet est un minimum si \(a > 0\) (parabole tournée vers le haut), mais un maximum si \(a < 0\) (parabole tournée vers le bas).
Mini-test : pour \(f(x) = -x^2 + 4\), le sommet est :
🔗 Travaille dans les exercices sur les courbes
« \(f(x) = f(-x)\) signifie que \(f\) est impaire. »
Cette affirmation n’est-elle vraie ?
📖 Explication
FAUX. \(f(x) = f(-x)\) signifie que \(f\) est paire (symétrie par rapport à l’axe des ordonnées). Une fonction impaire vérifie \(f(-x) = -f(x)\).
Mini-test : \(f(x) = x^2\) vérifie \(f(-x) = f(x)\). Elle est :
🔗 Travaille dans les exercices sur la parité
« \(f(x) = 0\) signifie que la courbe coupe l’axe des abscisses. »
Cette affirmation n’est-elle vraie où fausse ?
📖 Explication
C’est VRAI ! Les solutions de \(f(x) = 0\) sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses (droite \(y = 0\)).
Mini-test : résoudre \(f(x) = 0\) graphiquement revient à chercher :
🔗 Voir la section sur la lecture graphique