Vecteurs du plan – Cours 2nde

Sommaire

1. Notion de vecteur et égalité 2. Somme de vecteurs et relation de Chasles 3. Produit d’un vecteur par un réel 4. Coordonnées d’un vecteur dans une base 5. Norme d’un vecteur et distance 6. Coordonnées du milieu d’un segment Bilan — Formules essentielles

Déplacement d’un robot sur une grille

Un robot se déplace sur un quadrillage. Depuis le point A, il effectue un premier déplacement de 3 cases vers la droite et 2 cases vers le haut, puis un second déplacement de 1 case vers la droite et 4 cases vers le haut. Où arrive-t-il ?

Comment représenter chaque déplacement ? Comment combiner deux déplacements successifs ? → C’est exactement ce que font les vecteurs !

→ Solution complète en fin de chapitre

Grassmann, Hamilton et la naissance des vecteurs

Hermann Grassmann (1809–1877) et William Rowan Hamilton (1805–1865) ont développé indépendamment la théorie des vecteurs au XIX^e siècle. Grassmann a introduit l’idée d’espace vectoriel dans son Ausdéhnungslehre (1844), tandis qu’Hamilton inventait les quaternions pour décrire les rotations dans l’espace.

Aujourd’hui, les vecteurs sont un outil fondamental en physique (forces, vitesses) et en informatique (graphisme 3D, intelligence artificielle).

ABCD est-il un parallélogramme ?

On donne \(A(1, 2)\), \(B(4, 3)\), \(C(6, 7)\) et \(D(3, 6)\). Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?

Indice : comparer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\).

→ Solution complète en fin de chapitre

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📐 Produit d’un vecteur par un réel — GeoGebra noté Place le point B pour réaliser \(\overrightarrow{AB}=k\,\vec{u}\) sur une série de 10 exercices ; ta note /20 est calculée automatiquement à partir de ton score GeoGebra. Sur Capytale : code communiqué en classe.

1. Notion de vecteur et égalité

Définition — Vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). On le note \(\vec{u}\) où \(\overrightarrow{AB}\) (vecteur de A vers B).

Un vecteur définit une translation : tous les points se déplacent de la même façon (même direction, même sens, même norme).

Définition — Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme. On écrit \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\). Celà signifie que ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Définition — Vecteur nul

Le vecteur nul, noté \(\vec{0}\), est le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) pour tout point A. Sa norme est 0 et il n’a pas de direction ni de sens défini.

Représentants d’un vecteur

Un vecteur \(\vec{u}\) à une infinité de représentants : tout couple de points \((A, B)\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) est un représentant de \(\vec{u}\). Un vecteur est « libre » : on peut le déplacer sans le modifier.

Exemple

Si ABCD est un parallélogramme, alors \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\).

Les couples (A, B) et (D, C) sont deux représentants du même vecteur.

📐 Activité GeoGebra — Vecteurs égaux et parallélogramme (cliquer pour ouvrir)

Déplacez A, B, C. Observez que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

2. Somme de vecteurs et relation de Chasles

Définition — Somme de deux vecteurs

La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{w}\) obtenu en enchainant les deux déplacements. Si \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{BC}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}\).

Propriété — Relation de Chasles

Pour tous points A, B et C : \[\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\]

Justification intuitive

Résultat admis -- justification intuitive :

Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement de A vers B, et \(\overrightarrow{BC}\) le déplacement de B vers C. En enchaînant ces deux déplacements, on arrive de À A C : le déplacement total est \(\overrightarrow{AC}\). La relation de Chasles traduit simplement cette idée d’enchaînement de déplacements.

Enchaînement des déplacements : partir de A, passer par B, arriver en C.

Méthode — Règle du parallélogramme

Pour construire \(\vec{u} + \vec{v}\) à partir d’un même point O : on trace \(\overrightarrow{OA} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{OB} = \vec{v}\), puis on complète le parallélogramme OACB. La diagonale \(\overrightarrow{OC}\) représente \(\vec{u} + \vec{v}\).

Exemple

Avec \(A(1,1)\), \(B(3,2)\), \(C(5,5)\) :

\(\overrightarrow{AB} = (2\,;\, 1)\), \(\overrightarrow{BC} = (2\,;\, 3)\), \(\overrightarrow{AC} = (4\,;\, 4)\).

Vérification : \((2\,;\, 1) + (2\,;\, 3) = (4\,;\, 4) = \overrightarrow{AC}\) ✓

Propriétés de la somme

Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
Opposé : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\), donc \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\)

Justification intuitive

Résultat admis -- justification intuitive :

La commutativité \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) se voit par la règle du parallélogramme : les deux diagonales du parallélogramme donnent le même vecteur somme, quel que soit l’ordre.

L'opposé \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\) se déduit de la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}\).

Preuve

Si \(ABDC\) est un parallélogramme (attention à l’ordre), alors par définition \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}\). Or par la relation de Chasles :

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Et comme \(ABDC\) est un parallélogramme, \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\). Donc \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

Géométriquement : la diagonale du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\) est bien \(\overrightarrow{AC}\).

Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\)

📐 Activité GeoGebra — Somme de vecteurs (relation de Chasles) (cliquer pour ouvrir)

Déplacez A, B, C et observez que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\). Le vecteur somme « ferme » le chemin.

3. Produit d’un vecteur par un réel

Définition — Produit par un scalaire

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre réel. Le vecteur \(k\vec{u}\) est le vecteur :

de même direction que \(\vec{u}\)
de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\)
de norme \(|k| \times \|\vec{u}\|\)

Exemples

\(2\vec{u}\) : même direction et sens, norme doublée
\(-\vec{u}\) : même direction, sens opposé, même norme
\(\frac{1}{2}\vec{u}\) : même direction et sens, norme divisée par 2
\(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\)

Produit d'un vecteur par un réel : 2u, 1/2 u, -u

Multiplication par un scalaire : le vecteur garde sa direction ; le sens dépend du signe de \(k\), la norme est multipliée par \(|k|\).

Propriétés de la multiplication par un réel

Pour tous réels \(k\) et \(k'\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

\(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
\((k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}\)
\(k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}\)
\(1 \cdot \vec{u} = \vec{u}\)

Démonstration (par les coordonnées)

On se place dans un repère du plan. Notons \(\vec{u}\,(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}\,(x'\,;\,y')\) les coordonnées respectives dans ce repère. Par définition :

\(\vec{u} + \vec{v}\) a pour coordonnées \((x + x'\,;\,y + y')\),
\(k\vec{u}\) a pour coordonnées \((kx\,;\,ky)\).

Propriété 1 : \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\).

\(k(\vec{u} + \vec{v})\) a pour coords \((k(x+x')\,;\,k(y+y')) = (kx + kx'\,;\,ky + ky')\)

\(k\vec{u} + k\vec{v}\) a pour coords \((kx + kx'\,;\,ky + ky').\)

Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées : ils sont égaux.

Propriété 2 : \((k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}\).

\((k+k')\vec{u}\) a pour coords \(((k+k')x\,;\,(k+k')y) = (kx + k'x\,;\,ky + k'y).\)

\(k\vec{u} + k'\vec{u}\) a pour coords \((kx + k'x\,;\,ky + k'y).\)

Égalité des coordonnées : les deux vecteurs sont égaux.

Propriété 3 : \(k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}\). Coords : \((k(k'x)\,;\,k(k'y)) = ((kk')x\,;\,(kk')y)\), soit bien \((kk')\vec{u}\).

Propriété 4 : \(1\cdot\vec{u}\) a pour coords \((1\cdot x\,;\,1\cdot y) = (x\,;\,y) = \vec{u}\). ∎

Définition — Colinéarité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \vec{0}\)). Celà signifie qu’ils ont la même direction.

À gauche : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires (même direction). À droite : \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) non colinéaires.

Renvoi — Critère de colinéarité par le déterminant

Le chapitre 7 introduit le déterminant de deux vecteurs, qui fournit un critère de calcul rapide pour vérifier la colinéarité, l’alignement de trois points et le parallélisme de deux droites.

4. Coordonnées d’un vecteur dans une base

Définition — Base orthonormée

Une base orthonormée \((\vec{i}\,;\, \vec{j})\) du plan est formée de deux vecteurs perpendiculaires (c’est-à-dire formant un angle droit) de norme 1. Tout vecteur \(\vec{u}\) du plan s’écrit de manière unique : \[\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\] Les nombres \(x\) et \(y\) sont les coordonnées de \(\vec{u}\) dans la base \((\vec{i}\,;\, \vec{j})\). On note \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

La notion de droites ou de vecteurs perpendiculaires (angle droit) est vue au collège (cycle 4).

Coordonnées d'un vecteur AB = (xB-xA ; yB-yA)

Décomposition d’un vecteur \(\vec{u}\) sur la base \((\vec{i}\,;\,\vec{j})\) : \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\).

Propriété — Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)

Si \(A(x_A\,;\, y_A)\) et \(B(x_B\,;\, y_B)\), alors : \[\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\]

Preuve

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\).

Or \(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_A \\ y_A \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} x_B \\ y_B \end{pmatrix}\).

Donc \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\). \(\square\)

Propriété — Opérations sur les coordonnées

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors :

\(\vec{u} + \vec{v}\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}\)
\(k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\)

Preuve

\(\vec{u} + \vec{v} = (x\vec{i} + y\vec{j}) + (x'\vec{i} + y'\vec{j}) = (x + x')\vec{i} + (y + y')\vec{j}\).

Donc les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\) sont \(\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}\).

De même, \(k\vec{u} = k(x\vec{i} + y\vec{j}) = kx\vec{i} + ky\vec{j}\), de coordonnées \(\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\). \(\square\)

Exemple

Soit \(A(2, 5)\) et \(B(7, 3)\). Alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 7 - 2 \\ 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\).

Propriété — Égalité de vecteurs en coordonnées

\(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) si et seulement si \(x = x'\) et \(y = y'\).

Preuve

\(\vec{u} = \vec{v}\) signifie \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{0}\), soit \((x - x')\vec{i} + (y - y')\vec{j} = \vec{0}\).

Comme \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\) forment une base (non colinéaires), la seule façon d’obtenir le vecteur nul est \(x - x' = 0\) et \(y - y' = 0\), c’est-à-dire \(x = x'\) et \(y = y'\). \(\square\)

5. Norme d’un vecteur et distance

Propriété — Norme d’un vecteur

Dans une base orthonormée, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors la norme de \(\vec{u}\) est : \[\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Justification intuitive

Résultat admis -- justification intuitive :

C’est une conséquence directe du théorème de Pythagore (vu au collège, cycle 4) : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égàl a la somme des carrés des deux autres côtés.

Le vecteur \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\) forme un triangle rectangle avec ses composantes horizontale \(x\) et verticale \(y\) (la base étant orthonormée, les axes sont perpendiculaires). L’hypoténuse (la norme) vérifie donc \(\|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2\), soit \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Triangle rectangle formé par le vecteur et ses projections : le théorème de Pythagore donne la norme.

Propriété — Distance entre deux points

Si \(A(x_A\,;\, y_A)\) et \(B(x_B\,;\, y_B)\), alors : \[AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\]

Preuve

\(AB = \|\overrightarrow{AB}\|\). Or \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

Donc \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) d’après la formule de la norme. \(\square\)

Exemple

Soit \(A(1, 3)\) et \(B(4, 7)\).

\(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

6. Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété — Caractérisation vectorielle du milieu

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), ou de manière équivalente \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

Preuve

Sens direct : Si I est le milieu de [AB], alors \(IA = IB\) et I est entre À et B, donc \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

De plus, \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AI}\)… Plus simplement : en coordonnées, si \(I = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\), alors \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \begin{pmatrix} x_A - x_I + x_B - x_I \\ y_A - y_I + y_B - y_I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0}\). \(\square\)

Propriété — Coordonnées du milieu

Si \(A(x_A\,;\, y_A)\) et \(B(x_B\,;\, y_B)\), alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées : \[I\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\]

Démonstration ⭐ Complément

La formule ci-dessus est une connaissance exigible ; seule cette démonstration est un approfondissement (non exigible en Seconde).

Si I est le milieu de [AB], alors \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).

En coordonnées : \(\begin{pmatrix} x_I - x_A \\ y_I - y_A \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

Donc \(x_I - x_A = \frac{x_B - x_A}{2}\), soit \(x_I = \frac{2x_A + x_B - x_A}{2} = \frac{x_A + x_B}{2}\). De même, \(y_I = \frac{y_A + y_B}{2}\). \(\square\)

Exemple

Milieu de \(A(2, 8)\) et \(B(6, 4)\) : \(I\left(\frac{2+6}{2}\,;\, \frac{8+4}{2}\right) = I(4\,;\, 6)\).

🐍 Python — Calculer avec des vecteurs

Trois fonctions utiles : norme d’un vecteur, distance entre deux points, milieu d’un segment.

from math import sqrt

def norme(u):
    x, y = u
    return sqrt(x**2 + y**2)

def distance(A, B):
    return norme((B[0] - A[0], B[1] - A[1]))

def milieu(A, B):
    return ((A[0] + B[0]) / 2, (A[1] + B[1]) / 2)

A = (1, 2)
B = (4, 6)
print(norme((3, 4)))      # 5.0
print(distance(A, B))      # 5.0
print(milieu(A, B))        # (2.5, 4.0)

📐 Applets GeoGebra — vecteurs

🎯 Applet interactif — Décomposition d'un vecteur dans une base

Manipule les vecteurs et observe leur décomposition sur une base. · ↗ Ouvrir en plein écran

Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :

📐Coordonnées d'un vecteurOuvrir ↗ 📐Vecteurs colinéaires — déterminant et alignementOuvrir ↗ 📐Produit d'un vecteur par un réelOuvrir ↗ 📐Construction de la somme de deux vecteurs (au compas)Ouvrir ↗ 📐Réduction d'une somme de deux vecteursOuvrir ↗ 📐Thalès, homothétie, multiplication d'un vecteur par un réelOuvrir ↗

Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.

Bilan — Formules essentielles

Notion	Formule
Relation de Chasles	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\)	\(\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\)
Norme	\(\\|\vec{u}\\| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
Distance AB	\(\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
Milieu de [AB]	\(\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,;\, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)

Solution du problème d’ouverture

Le premier déplacement du robot est \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et le second est \(\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Le déplacement total est : \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 + 1 \\ 2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\).

Le robot arrive donc 4 cases à droite et 6 cases en haut de son point de départ.

Solution de l’énigme — ABCD est-il un parallélogramme ?

\(\overrightarrow{AB} = (4-1\,;\, 3-2) = (3\,;\, 1)\) et \(\overrightarrow{DC} = (6-3\,;\, 7-6) = (3\,;\, 1)\).

On a \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), donc ABCD est bien un parallélogramme.

⚠️ Pièges et contre-exemples

Vecteurs du plan : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.

Score : 0 / 5 pièges identifiés

1 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\)

« \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\). »

Cette affirmation n’est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés. On a \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\).

💡 Mémo : \(\overrightarrow{AB}\) va de A vers B, \(\overrightarrow{BA}\) va de B vers A : sens opposé !

Mini-test : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}\) vaut :

🔗 Travaille dans les exercices sur les vecteurs

2 Si \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}\) alors \(\vec{u} = \vec{v} = \vec{0}\)

« Si \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}\) alors \(\vec{u} = \vec{v} = \vec{0}\). »

Cette affirmation n’est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. Il suffit que \(\vec{u} = -\vec{v}\). Par exemple \(\vec{u} = \binom{1}{2}\) et \(\vec{v} = \binom{-1}{-2}\) vérifient \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}\) sans être nuls.

💡 Mémo : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}\) signifie que \(\vec{v}\) est l’opposé de \(\vec{u}\), pas qu’ils sont nuls.

Mini-test : si \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}\), alors \(\vec{v}\) est :

🔗 Travaille dans les exercices sur les vecteurs

3 Deux vecteurs colinéaires ont la même direction et le même sens

« Deux vecteurs colinéaires ont la même direction et le même sens. »

Cette affirmation n’est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction mais peuvent avoir des sens opposés. Par exemple \(\vec{u}\) et \(-2\vec{u}\) sont colinéaires mais de sens contraire.

💡 Mémo : Colinéaire = même direction (même droite support). Le sens peut être identique ou opposé.

Mini-test : \(\vec{u} = \binom{2}{4}\) et \(\vec{v} = \binom{-1}{-2}\) sont-ils colinéaires ?

🔗 Travaille dans les exercices sur la colinéarité

4 \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\)

« \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\). »

Cette affirmation n’est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. C’est l'inégalité triangulaire : \(\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\). L’égalité est vraie que si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ont le même sens.

💡 Mémo : La norme d’une somme est en général plus petite que la somme des normes (inégalité triangulaire).

Mini-test : si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont de sens opposé, \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\) vaut :

🔗 Travaille dans les exercices sur les normes

5 Milieu d’un segment

« Le milieu de \([AB]\) a pour coordonnées \(\left(\frac{x_A+x_B}{2},\, \frac{y_A+y_B}{2}\right)\). »

Cette affirmation n’est-elle vraie où fausse ?

📖 Explication

C’est VRAI ! Les coordonnées du milieu sont bien la moyenne des coordonnées des extrémités.

💡 Mémo : Milieu = moyenne des coordonnées. C’est un intrus parmi les pièges !

Mini-test : le milieu de A(2,6) et B(4,10) est :

🔗 Voir la section sur les coordonnées de vecteurs

➡️ Pour la suite

Ch. 7 — Déterminant et colinéarité — Le déterminant est l’outil pour détecter rapidement si deux vecteurs sont colinéaires (ou si 3 points sont alignés).

Chapitre 6 — Vecteurs du plan

Déplacement d’un robot sur une grille

Grassmann, Hamilton et la naissance des vecteurs

ABCD est-il un parallélogramme ?

1. Notion de vecteur et égalité

2. Somme de vecteurs et relation de Chasles

3. Produit d’un vecteur par un réel

4. Coordonnées d’un vecteur dans une base

5. Norme d’un vecteur et distance

6. Coordonnées du milieu d’un segment

📐 Applets GeoGebra — vecteurs

Bilan — Formules essentielles

⚠️ Pièges et contre-exemples