Déterminant et colinéarité – Cours 2nde

Sommaire

1. Colinearite de deux vecteurs 2. Determinant de deux vecteurs 3. Critere de colinéarité par le déterminant 4. Application a l’alignement de trois points 5. Application au parallelisme de deux droites Bilan — Formules essentielles

Trois villes alignées sur une carte ?

Sur une carte, on repère trois villes : A(2, 3), B(5, 9) et C(4, 7). Ces trois villes sont-elles alignées ? Comment le vérifier de maniere certaine sans tracer ?

Le déterminant va nous fournir un critere de calcul infaillible pour repondre a cette question.

→ Solution complète en fin de chapitre

Leibniz et les determinants

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), co-inventeur du calcul infinitesimal, a été le premier a utiliser les determinants dans une lettre a l’Hopital en 1693. Il les utilisait pour résoudre des systèmes d’équations lineaires.

Plus tard, Gabriel Cramer (1704–1752) systematisa leur usage avec les fameuses « formules de Cramer ». Le mot « déterminant » fut introduit par Cauchy au XIX^e siecle.

A(1, 2), B(3, 6), C(5, 10) : alignés ?

Sans tracer de figure, déterminer si les points \(A(1, 2)\), \(B(3, 6)\) et \(C(5, 10)\) sont alignés.

Indice : calculer \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant.

→ Solution complète en fin de chapitre

1. Colinearite de deux vecteurs

Prerequis

Ce chapitre utilise les notions de vecteurs, coordonnées et colinéarité introduites au chapitre 6 — Vecteurs du plan.

Définition — Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = k\vec{v}\)), ou si l’un des deux est le vecteur nul. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction.

Exemples

\(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) sont colinéaires car \(\vec{v} = 2\vec{u}\).
\(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (pas de réel \(k\) convenable).

Propriété — Critere par proportionnalite

Si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) avec \(\vec{u} \neq \vec{0}\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si les coordonnées sont proportionnelles : \[\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} \quad \text{(quand } x \neq 0 \text{ et } y \neq 0\text{)}\]

Justification intuitive

Résultat admis -- justification intuitive :

Si \(\vec{v} = k\vec{u}\), alors \(x' = kx\) et \(y' = ky\). Si \(x \neq 0\) et \(y \neq 0\), on a \(\frac{x'}{x} = k = \frac{y'}{y}\) : les coordonnées sont proportionnelles. Ce critere est equivalent a \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\) (démontré en section 3).

2. Determinant de deux vecteurs

Définition — Determinant (NOUVEAU BO 2026)

Dans une base orthonormée, le déterminant des vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) est le nombre : \[\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}\]

Astuce de calcul

On peut retenir la formule en « croix » :

\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = \underbrace{x \times y'}_{\text{diagonale }\searrow} - \underbrace{y \times x'}_{\text{diagonale }\nearrow}\)

Exemples

\(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 5 - 1 \times 2 = 15 - 2 = 13\).
\(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 4 \times 3 - 6 \times 2 = 12 - 12 = 0\).

Propriétés du déterminant

\(\det(\vec{v}, \vec{u}) = -\det(\vec{u}, \vec{v})\) (antisymetrie)
\(\det(\vec{u}, \vec{u}) = 0\)
\(\det(k\vec{u}, \vec{v}) = k \cdot \det(\vec{u}, \vec{v})\)

Preuve

Antisymetrie : \(\det(\vec{v}, \vec{u}) = x'y - y'x = -(xy' - yx') = -\det(\vec{u}, \vec{v})\).

Determinant nul : \(\det(\vec{u}, \vec{u}) = xy - yx = 0\).

Linearite : \(\det(k\vec{u}, \vec{v}) = (kx)y' - (ky)x' = k(xy' - yx') = k\det(\vec{u}, \vec{v})\). \(\square\)

3. Critere de colinéarité par le déterminant

Théorème — Critere de colinéarité

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si : \[\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\] Autrement dit : \(xy' - yx' = 0\).

Démonstration (programme BO 2026)

Sens direct : Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, il existe \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\), donc \(x' = kx\) et \(y' = ky\).

\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = x(ky) - y(kx) = kxy - kxy = 0\). ✓

Réciproque : Si \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\), alors \(xy' = yx'\).

Si \(x \neq 0\) : \(y' = \frac{y}{x} x'\), donc \(\vec{v} = \frac{x'}{x}\vec{u}\), les vecteurs sont colinéaires.

Si \(x = 0\) et \(y \neq 0\) : \(0 = yx'\) donc \(x' = 0\), et \(\vec{v} = \frac{y'}{y}\vec{u}\), colinéaires.

Si \(x = 0\) et \(y = 0\) : \(\vec{u} = \vec{0}\), colinéaires par convention. ✓

Exemple

Les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -9 \\ 6 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 6 \times 6 - (-4) \times (-9) = 36 - 36 = 0\). Oui, ils sont colinéaires.

En effet \(\vec{v} = -\frac{3}{2}\vec{u}\).

À gauche : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires (même direction, déterminant nul). À droite : \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) non colinéaires (déterminant non nul).

📐 Activité GeoGebra — Colinéarité et déterminant (cliquer pour ouvrir)

Déplacez les extrémités des vecteurs. Quand le déterminant vaut 0, les vecteurs sont colinéaires (même direction).

🔗 Renvoi — Coordonnées, norme, distance, milieu

Les notions de coordonnées d’un vecteur, de norme, de distance entre deux points et de milieu d’un segment sont étudiées au chapitre 6 — Vecteurs du plan (sections 4 et 5).

4. Application a l’alignement de trois points

Propriété — Critere d’alignement

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires, c’est-a-dire : \[\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\]

Preuve

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires (même direction depuis A).

D’après le théorème de la section 3, cette colinéarité equivaut a \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\). \(\square\)

Méthode — Verifier l’alignement

Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
Calculer \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\).
Si le déterminant est nul : les points sont alignés. Sinon, ils ne le sont pas.

Exemple

A(1, 3), B(4, 9), C(3, 8). Sont-ils alignés ?

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\).

\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 3 \times 5 - 6 \times 2 = 15 - 12 = 3 \neq 0\).

Les points A, B et C ne sont pas alignés.

5. Application au parallelisme de deux droites

Propriété — Critere de parallelisme

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c’est-a-dire : \[\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\]

Preuve

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si elles ont la même direction, c’est-a-dire si leurs vecteurs directeurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.

D’après le critere de colinéarité, cela equivaut a \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\). \(\square\)

Exemple

La droite \(d_1\) passe par A(1, 2) et B(3, 5). La droite \(d_2\) passe par C(0, 1) et D(4, 7). Sont-elles parallèles ?

\(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\).

\(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\).

Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles.

Attention

Des droites parallèles peuvent être confondues ! Pour le savoir, on vérifie si un point de l’une appartient a l’autre.

🐍 Python — Tester la colinéarité

Une fonction qui renvoie True si deux vecteurs sont colinéaires, via le déterminant :

def det(u, v):
    # u = (x, y), v = (x', y')
    return u[0] * v[1] - u[1] * v[0]

def colinéaires(u, v):
    return det(u, v) == 0

print(det((2, 3), (4, 6)))          # 0  -> colinéaires
print(det((1, 2), (3, 5)))          # -1 -> non colinéaires
print(colinéaires((2, 3), (4, 6)))  # True
print(colinéaires((1, 2), (3, 5)))  # False

Pour tester si trois points A, B, C sont alignés : vérifier si colinéaires((B-A), (C-A)).

Notion	Formule / Critere
Determinant	\(\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'\)
Colinearite	\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\)
Alignement	A, B, C alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\)
Parallelisme	(AB) // (CD) \(\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\)

1 \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\) signifie que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires

« Si \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\), alors \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont perpendiculaires. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. \(\det(\vec{u},\vec{v})=0\) signifie que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (même direction), pas perpendiculaires. La perpendicularite se teste avec le produit scalaire (programme de Premiere).

💡 Memo : Determinant nul = colinéaires. Ne pas confondre avec perpendiculaires !

Mini-test : \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). \(\det(\vec{u},\vec{v})=2\times2-4\times1=0\). Ils sont :

🔗 Travaille dans les exercices sur le déterminant

2 \(\det(\vec{u},\vec{v}) = \det(\vec{v},\vec{u})\)

« \(\det(\vec{u},\vec{v}) = \det(\vec{v},\vec{u})\). »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. Le déterminant est antisymetrique : \(\det(\vec{v},\vec{u}) = -\det(\vec{u},\vec{v})\). En echangeant l’ordre des vecteurs, le signe change.

Exemple : \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). \(\det(\vec{u},\vec{v})=1\) mais \(\det(\vec{v},\vec{u})=-1\).

💡 Memo : Echanger l’ordre → changer le signe. \(\det(\vec{v},\vec{u}) = -\det(\vec{u},\vec{v})\).

Mini-test : si \(\det(\vec{u},\vec{v})=7\), alors \(\det(\vec{v},\vec{u})\) vaut :

🔗 Travaille dans les exercices sur le déterminant

3 Le déterminant utilise les normes des vecteurs

« Pour calculer \(\det(\vec{u},\vec{v})\), on utilise les normes \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. Le déterminant se calcule avec les coordonnées des vecteurs, pas avec leurs normes. Pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - yx'\).

💡 Memo : Determinant = coordonnées croisees. Normes = longueurs. Ce sont deux notions différentes.

Mini-test : pour calculer \(\det(\vec{u},\vec{v})\), il faut connaitre :

🔗 Travaille dans les exercices sur le calcul du déterminant

4 La formule est \(xx' + yy'\)

« Pour \(\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), le déterminant vaut \(xx' + yy'\). »

Cette affirmation est-elle vraie ?

📖 Explication

FAUX. \(xx' + yy'\) est le produit scalaire (programme de Premiere). Le déterminant est \(xy' - yx'\) : les termes sont croises avec une soustraction.

💡 Memo : Determinant = \(xy' - yx'\) (croises, soustraction). Produit scalaire = \(xx' + yy'\) (directs, addition).

Mini-test : \(\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\). \(\det(\vec{u},\vec{v})\) vaut :

🔗 Travaille dans les exercices sur le déterminant

5 Le signe du déterminant donne l’orientation

« Le signe de \(\det(\vec{u},\vec{v})\) indique l’orientation du couple \((\vec{u},\vec{v})\) : positif si le sens de rotation de \(\vec{u}\) vers \(\vec{v}\) est anti-horaire. »

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?

📖 Explication

C’est VRAI ! Le déterminant mesure l’aire signee du parallélogramme construit sur \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Son signe indique l’orientation : positif = sens trigonométrique (anti-horaire), négatif = sens horaire.

💡 Memo : \(\det > 0\) = sens anti-horaire, \(\det < 0\) = sens horaire, \(\det = 0\) = colinéaires. C’est un intrus parmi les pieges !

Mini-test : \(\vec{i}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{j}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). \(\det(\vec{i},\vec{j})=1>0\). Le repère \((\vec{i},\vec{j})\) est :

🔗 Voir la section sur l’interprétation géométrique

Chapitre 7 — Déterminant et colinéarité

Trois villes alignées sur une carte ?

Leibniz et les determinants

A(1, 2), B(3, 6), C(5, 10) : alignés ?

1. Colinearite de deux vecteurs

2. Determinant de deux vecteurs

3. Critere de colinéarité par le déterminant

4. Application a l’alignement de trois points

5. Application au parallelisme de deux droites

📐 Applets GeoGebra — colinéarité et déterminant

Bilan — Formules essentielles

⚠️ Pieges et contre-exemples