Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Un rectangle a pour longueur \((x + 3)\) cm et pour largeur \((2x - 1)\) cm.
Al-Khwarizmi (vers 780–850), mathematicien persan, est l’auteur du celebre traite Al-Jabr, qui a donne le mot « algèbre ». Il y développé des méthodes systematiques pour résoudre des équations, en distinguant differents cas selon les signes des termes.
La règle du produit nul, formulee implicitement dans ses travaux, est l’un des outils fondamentaux de la résolution d’équations : ramener un problème complique a des équations plus simples en factorisant.
Résoudre l’équation \((x - 3)(2x + 1)(x^2 - 4) = 0\).
Cette démonstration n'est pas exigible en Seconde 2026. Présentée comme complément de raisonnement.
Objectif : montrer que \(ab = 0 \iff (a = 0 \text{ ou } b = 0)\) pour tous réels \(a, b\).
Sens direct (⇐) — évident : si \(a = 0\) alors \(a \times b = 0 \times b = 0\) ; de même si \(b = 0\).
Sens réciproque (⇒) — par contraposée, il suffit de montrer : si \(a \neq 0\) ET \(b \neq 0\), alors \(ab \neq 0\).
Supposons \(a \neq 0\) et \(b \neq 0\). Alors \(a\) possède un inverse \(\dfrac{1}{a}\). Si on avait \(ab = 0\), en multipliant par \(\dfrac{1}{a}\) on obtiendrait \(b = \dfrac{1}{a} \times ab = \dfrac{1}{a} \times 0 = 0\), contradiction avec \(b \neq 0\).
Donc \(ab \neq 0\). Par contraposée : si \(ab = 0\), alors \(a = 0\) ou \(b = 0\). \(\square\)
Remarque : cette démonstration utilise que tout réel non nul a un inverse (propriété vue en Ch.3).
Résoudre \((3x - 6)(x + 5) = 0\).
L’ensemble des solutions est \(\{-5\,;\ 2\}\).
Résoudre \(x^2 - 5x = 0\).
On factorisé : \(x(x - 5) = 0\).
L’ensemble des solutions est \(\{0\,;\ 5\}\).
Pour résoudre \(\dfrac{A(x)}{B(x)} = k\), on écrit \(\dfrac{A(x)}{B(x)} - k = 0\), soit \(\dfrac{A(x) - kB(x)}{B(x)} = 0\).
Un quotient est nul lorsque le numérateur est nul et le dénominateur est non nul. On doit donc vérifier que \(B(x) \neq 0\).
Résoudre \(\dfrac{2x + 4}{x - 1} = 0\).
Condition d’existence : \(x - 1 \neq 0\), soit \(x \neq 1\).
Numérateur nul : \(2x + 4 = 0 \iff x = -2\). Comme \(-2 \neq 1\), c’est valide.
L’unique solution est \(x = -2\).
L’équation \(x^2 = a\) s’écrit \(x^2 - a = 0\).
Si \(a > 0\) : on utilise l’identité remarquable \(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\) (vue au chapitre 3) avec \(A = x\) et \(B = \sqrt{a}\) (possible car \(a > 0\), donc \(\sqrt{a}\) existe et \((\sqrt{a})^2 = a\)). On obtient \(x^2 - a = (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0\). Par le produit nul : \(x = \sqrt{a}\) ou \(x = -\sqrt{a}\).
Si \(a = 0\) : \(x^2 = 0\), donc \(x = 0\) (unique solution).
Si \(a < 0\) : pour tout réel \(x\), \(x^2 \geqslant 0 > a\), donc \(x^2 \neq a\) : aucune solution. \(\square\)
\(x^2 = a\) s’écrit \(x^2 - a = 0\). Si \(a > 0\), on factorisé : \((x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0\) (identité remarquable).
On retrouve les deux solutions par la règle du produit nul.
\(ax + b = a\left(x + \frac{b}{a}\right) = a\left(x - \left(-\frac{b}{a}\right)\right)\).
L’expression s’annule pour \(x = -\frac{b}{a}\).
Si \(a > 0\) : pour \(x > -\frac{b}{a}\), le facteur \(\left(x + \frac{b}{a}\right) > 0\), donc \(ax + b > 0\). Pour \(x < -\frac{b}{a}\), ce facteur est négatif, donc \(ax + b < 0\).
Si \(a < 0\) : même raisonnement avec les signes inverses (car \(a < 0\) change le signe du produit). \(\square\)
Le signe de \(ax + b\) correspond aux positions de la droite \(y = ax + b\) par rapport a l’axe des abscisses. La droite coupe l’axe en \(x = -\dfrac{b}{a}\) et est au-dessus quand l’expression est positive.
\(2x - 6 = 0 \iff x = 3\). Comme le coefficient de \(x\) est \(2 > 0\), l’expression est négative avant 3 et positive après.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x - 6\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\(-3x + 12 = 0 \iff x = 4\). Comme le coefficient de \(x\) est \(-3 < 0\), l’expression est positive avant 4 et négative après.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(4\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(-3x + 12\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Résultat admis -- justification intuitive :
La règle des signes se déduit de la distributivite. Par exemple, \((-1) \times (-1) = 1\) car \((-1)(1 + (-1)) = (-1) \times 0 = 0\), donc \((-1) \times 1 + (-1)\times(-1) = 0\), soit \(-1 + (-1)\times(-1) = 0\), d’ou \((-1)\times(-1) = 1\).
Plus generalement : \((-)\times(-) = (+)\) et \((+)\times(-) = (-)\).
Racines : \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\) et \(-3x + 12 = 0 \Rightarrow x = 4\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x - 6\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||
| \(-3x + 12\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| Produit | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Si \(B(x) \neq 0\), on a \(\frac{A(x)}{B(x)} = A(x) \times \frac{1}{B(x)}\).
Or \(\frac{1}{B(x)}\) a le même signe que \(B(x)\) (car \(B(x) \times \frac{1}{B(x)} = 1 > 0\)).
Donc le signe du quotient \(\frac{A(x)}{B(x)}\) suit la même règle des signes que le produit \(A(x) \times B(x)\). \(\square\)
Dans un tableau de signes de quotient, les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites (on note une double barre “||”), tandis que les valeurs qui annulent le numérateur donnent un résultat nul (on note “0”).
Numérateur nul : \(x = 3\). Dénominateur nul : \(x = 4\) (valeur interdite).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(3\) | \(4\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x - 6\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||
| \(-3x + 12\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| Quotient | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(\|\|\) | \(-\) |
0 = valeur annulant le numérateur (quotient nul)
|| = valeur interdite (dénominateur nul, quotient non défini)
+/− = signe du quotient entre deux valeurs remarquables
On calcule le signe du produit pour quelques valeurs de \(x\) encadrant les racines \(-3\) et \(2\) :
def signe(y): if y > 0: return "+" if y < 0: return "-" return "0" for x in [-5, -3, -1, 0, 2, 4]: produit = (x - 2) * (x + 3) print(f"x = {x:3d} -> (x-2)(x+3) = {produit:4d} (signe {signe(produit)})")
On retrouve : positif avant \(-3\), négatif entre \(-3\) et \(2\), positif après \(2\), zéro aux racines.
D’après le tableau de signes de la section 4 :
Le produit est positif ou nul sur \([3\,;\ 4]\).
L’ensemble des solutions est \(\boldsymbol{[3\,;\ 4]}\).
D’après le tableau de signes de la section 5 :
Le quotient est strictement négatif sur \(]-\infty\,;\ 3[\,\cup\,]4\,;\ +\infty[\).
L’ensemble des solutions est \(\boldsymbol{]-\infty\,;\ 3[\,\cup\,]4\,;\ +\infty[}\).
Résoudre \(\dfrac{x + 1}{x - 2} \geqslant 3\).
On ramene a zéro : \(\dfrac{x + 1}{x - 2} - 3 \geqslant 0\), soit \(\dfrac{x + 1 - 3(x - 2)}{x - 2} \geqslant 0\), donc \(\dfrac{-2x + 7}{x - 2} \geqslant 0\).
Numérateur nul : \(-2x + 7 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{7}{2}\). Dénominateur nul : \(x = 2\) (interdit).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(2\) | \(\frac{7}{2}\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(-2x + 7\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(x - 2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | ||
| Quotient | \(-\) | \(\|\|\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
L’ensemble des solutions est \(\boldsymbol{\left]2\,;\ \dfrac{7}{2}\right]}\).
| Notion | Règle |
|---|---|
| Produit nul | \(A(x)B(x) = 0 \iff A(x) = 0\) ou \(B(x) = 0\) |
| Équation \(x^2 = a\) | Si \(a > 0\) : \(x = \pm\sqrt{a}\) ; si \(a = 0\) : \(x = 0\) ; si \(a < 0\) : aucune solution |
| Signe de \(ax + b\) (\(a > 0\)) | Négatif avant \(-\frac{b}{a}\), nul en \(-\frac{b}{a}\), positif après |
| Signe de \(ax + b\) (\(a < 0\)) | Positif avant \(-\frac{b}{a}\), nul en \(-\frac{b}{a}\), négatif après |
| Signe d’un produit | Meme signe \(\Rightarrow +\) ; signes contraires \(\Rightarrow -\) |
| Signe d’un quotient | Meme règle que le produit, mais valeur interdite si dénominateur nul |
L’aire du rectangle vaut \(\mathcal{A}(x) = (x + 3)(2x - 1)\).
Par la règle du produit nul : \(\mathcal{A}(x) = 0 \iff (x+3) = 0 \text{ ou } (2x-1) = 0\).
L’aire est donc nulle pour \(x = -3\) ou \(x = \dfrac{1}{2}\). Dans un contexte géométrique (longueurs positives), seule la solution \(x = \dfrac{1}{2}\) est exploitable : le rectangle devient aplati (sa largeur \(2x - 1\) s’annule).
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
On remarque que \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) (identité remarquable).
L’équation possede 4 solutions : \(x \in \left\{-2\,;\ -\dfrac{1}{2}\,;\ 2\,;\ 3\right\}\).
Équations produit et signes : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Pour résoudre \(x(2x - 6) = 0\), je divise par \(x\) et j’obtiens \(2x - 6 = 0\), soit \(x = 3\). »
Cette demarche est-elle correcte ?
Diviser par \(x\) suppose \(x \neq 0\), ce qui fait perdre la solution \(x = 0\).
Méthode correcte : appliquer la règle du produit nul. \(x(2x-6) = 0\) donne \(x = 0\) ou \(2x - 6 = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 3\).
Mini-test : combien de solutions a \(x(x+7) = 0\) ?
🔗 Travaille dans les exercices du chapitre
« Le quotient \(\dfrac{x-2}{x+1}\) est défini pour tout réel \(x\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Un quotient n’est pas défini quand le dénominateur est nul. Ici \(x + 1 = 0\) pour \(x = -1\).
Le quotient est défini pour \(x \neq -1\). Dans un tableau de signes, on met une double barre a cette valeur interdite.
Mini-test : quelle est la valeur interdite de \(\dfrac{3x}{x-5}\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les quotients
« Pour résoudre \((x-1)(x+3) = 5\), je resous \(x - 1 = 5\) ou \(x + 3 = 5\). »
Cette demarche est-elle correcte ?
La règle du produit nul ne s’applique que quand le produit est egal a zéro, pas a 5 !
Pour résoudre \((x-1)(x+3) = 5\), il faut développer, tout passer a gauche, puis factoriser (ou utiliser le discriminant en Premiere).
Mini-test : peut-on appliquer le produit nul a \((x+1)(x-2) = 3\) ?
🔗 Travaille dans les exercices du chapitre
« Le produit de deux nombres négatifs est négatif. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Le produit de deux nombres négatifs est positif. Exemple : \((-2) \times (-3) = 6 > 0\).
Règle des signes : \((-) \times (-) = (+)\), \((+) \times (-) = (-)\), \((+) \times (+) = (+)\).
Mini-test : quel est le signe de \((-4) \times (-5) \times (-1)\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les tableaux de signes
« L’expression \(ax + b\) (avec \(a \neq 0\)) s’annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\) et change de signe en ce point. »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! C’est la propriété fondamentale qui permet de construire les tableaux de signes.
Si \(a > 0\) : l’expression est négative avant \(-\frac{b}{a}\) et positive après.
Si \(a < 0\) : l’expression est positive avant \(-\frac{b}{a}\) et négative après.
Mini-test : ou s’annule \(3x - 9\) ?
🔗 Voir la section sur les tableaux de signes