Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
En géométrie, on obtient souvent des expressions contenant des racines carrées. Comment les simplifier pour obtenir un résultat plus lisible ?
François Viète (1540–1603), mathématicien français, est considéré comme le père du calcul littéral moderne. Il est le premier à utiliser systématiquement des lettres pour représenter des inconnues et des constantes dans les équations.
Avant Viète, les mathématiciens écrivaient les équations en toutes lettres (comme une phrase). Grâce à son système de notation, les calculs sont devenus beaucoup plus efficaces et les identités remarquables ont pu être formulées de façon générale.
Pour \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\), n’est-il vrai que \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) ? Comment le démontrer ?
Pour \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) et \(m, n \in \mathbb{Z}\) :
Résultat admis -- justification intuitive pour la règle du produit :
\(a^m \times a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m} \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{n} = \underbrace{a \times \cdots \times a}_{m+n} = a^{m+n}\).
La règle du quotient se déduit : \(\frac{a^m}{a^n} = a^m \times a^{-n} = a^{m+(-n)} = a^{m-n}\).
La puissance de puissance : \((a^m)^n = \underbrace{a^m \times \cdots \times a^m}_{n} = a^{m+m+\cdots+m} = a^{mn}\).
La propriété \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) est démontrée dans la section 3 ci-dessous.
Pour le quotient, on pose \(x = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). Alors \(x \geqslant 0\) et \(x^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}\), donc \(x = \sqrt{\frac{a}{b}}\). \(\square\)
Exemples : \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\) ; \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\).
Cette notion n’est pas explicitement au programme de Seconde. Présentée pour culture mathématique et préparation à la Première.
Pour tout réel \(a\) (positif ou négatif), la racine cubique de \(a\), notée \(\sqrt[3]{a}\), est l'unique réel dont le cube vaut \(a\) : \[\sqrt[3]{a} = x \iff x^3 = a.\]
Contrairement à la racine carrée, elle est définie pour tout réel. Exemples : \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{-27} = -3\), \(\sqrt[3]{0} = 0\).
L'étude complète de la fonction racine cubique est faite au chapitre 10, section 7 (également en approfondissement).
Rappel : la valeur absolue \(|a|\) a été définie au chapitre 2, section 3.
Soit \(a \in \mathbb{R}\). On distingue deux cas :
Si \(a \geqslant 0\) : \(a^2 = a \times a\), et \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\). C’est \(a\) (qui est positif). Or \(|a| = a\).
Si \(a < 0\) : \(a^2 = (-a)^2\) avec \(-a > 0\). Donc \(\sqrt{a^2} = -a\) (qui est positif). Or \(|a| = -a\).
Dans les deux cas, \(\sqrt{a^2} = |a|\). \(\square\)
\(\sqrt{a^2} \neq a\) en général ! Si \(a\) est négatif, \(\sqrt{a^2} = -a\).
La bonne formule est \(\sqrt{a^2} = |a|\), qui vaut \(a\) si \(a \geqslant 0\) et \(-a\) si \(a < 0\).
Propriété : Pour tous réels \(a, b \geqslant 0\) :
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.\)
Posons \(x = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\). Montrons que \(x = \sqrt{ab}\) en vérifiant les deux propriétés qui caractérisent la racine carrée de \(ab\).
1. \(x \geqslant 0\). Car \(\sqrt{a} \geqslant 0\) et \(\sqrt{b} \geqslant 0\), leur produit est positif.
2. \(x^2 = ab\). On calcule :
\(x^2 = (\sqrt{a} \times \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b = ab.\)
Donc \(x\) est l’unique nombre positif dont le carré vaut \(ab\). Par définition de la racine carrée, \(x = \sqrt{ab}\). Conclusion :
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.\) ∎
Attention : la propriété est fausse si \(a\) où \(b\) est négatif. Par exemple, \(\sqrt{(-1)\times(-1)} = \sqrt{1} = 1\), alors que « \(\sqrt{-1}\times\sqrt{-1}\) » n’est pas défini dans \(\mathbb{R}\).
Résultat admis -- justification intuitive :
La distributivité \(k(a + b) = ka + kb\) est un axiome fondamental des nombres réels. On peut la visualiser géométriquement : l’aire d’un rectangle de largeur \(k\) et de longueur \(a + b\) est égale à la somme des aires de deux rectangles de largeurs \(k\) et de longueurs \(a\) et \(b\).
La double distributivité \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) s’obtient en appliquant deux fois la distributivité simple.
On développe chaque identité par la double distributivité :
Carré d’une somme : \((a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Carré d’une différence : \((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Produit somme-différence : \((a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2\). \(\square\)
Un carré de côté \(a+b\) se décompose naturellement en quatre parties : un carré \(a \times a\), un carré \(b \times b\), et deux rectangles identiques \(a \times b\).
Aire totale : \(a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Les trois propriétés suivantes prolongent les identités remarquables. Elles ne sont pas exigibles, mais utiles pour les concours et la suite du lycée.
\((a+b+c)^2 = ((a+b)+c)^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2\)
\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\). \(\square\)
\((1 + 2 + 3)^2 = 6^2 = 36\).
Vérification par la formule : \(1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(1)(2) + 2(1)(3) + 2(2)(3) = 1 + 4 + 9 + 4 + 6 + 12 = 36\). ✓
\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)\)
\(= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). \(\square\)
On utilisé l’identité remarquable. Pour \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\(\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0\).
Donc \(\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}\), avec égalité ssi \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), c’est-à-dire \(a = b\). \(\square\)
Un test sur plusieurs couples \((a, b)\) : les deux expressions donnent toujours le même résultat.
couples = [(2, 3), (-1, 5), (0.5, -2), (10, 10)] for a, b in couples: gauche = (a + b) ** 2 droite = a**2 + 2*a*b + b**2 print(f"a={a}, b={b}: (a+b)^2={gauche}, a^2+2ab+b^2={droite}, égal ? {gauche == droite}")
Résultat admis -- justification intuitive :
La simplification \(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\) vient du fait que multiplier numérateur et dénominateur par le même nombre ne change pas la valeur du quotient.
Les règles d’addition, multiplication et division de fractions se déduisent des propriétés de base de la multiplication et de la division.
Toujours préciser les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur).
Exemple : \(\dfrac{3x+1}{x-2}\) est définie pour \(x \neq 2\).
| Nom | Formule |
|---|---|
| Puissances | \(a^m \times a^n = a^{m+n}\), \(\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| Racine carrée | \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\), \(\sqrt{a^2} = |a|\) |
| Carré somme | \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) |
| Carré différence | \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) |
| Différence de carrés | \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) |
On décompose \(75 = 25 \times 3\), donc :
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
Par suite : \(\sqrt{75} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \boxed{7\sqrt{3}}\).
Méthode générale : pour simplifier \(\sqrt{n}\), on cherche le plus grand carré parfait qui divise \(n\), puis on l’extrait grâce a la règle \(\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}\) (pour \(a \geq 0\)).
Posons \(x = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\). Montrons que \(x = \sqrt{ab}\).
\(x \geqslant 0\) car \(\sqrt{a} \geqslant 0\) et \(\sqrt{b} \geqslant 0\).
\(x^2 = (\sqrt{a})^2 \times (\sqrt{b})^2 = a \times b = ab\).
Donc \(x\) est le nombre positif dont le carré vaut \(ab\) : par définition, \(x = \sqrt{ab}\).
Conclusion : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pour tous réels \(a \geqslant 0\) et \(b \geqslant 0\). \(\square\)
Calcul littéral : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \((a+b)^2 = a^2 + b^2\) »
Cette identité n’est-elle vraie ?
On oublie le terme croisé \(2ab\). La formule correcte est \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Contre-exemple : \((3+4)^2 = 7^2 = 49\), mais \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \neq 49\).
Mini-test : que vaut \((2+5)^2\) ?
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« \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) »
Ce calcul n’est-il correct ?
La racine carrée ne se distribue pas sur la somme. \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 7\).
En revanche \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) est vrai (pour \(a, b \geq 0\)).
Mini-test : \(\sqrt{36 \times 4}\) n’est-il égal à \(\sqrt{36} \times \sqrt{4}\) ?
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« On peut simplifier \(\dfrac{a+b}{a} = b\) »
Cette simplification n’est-elle correcte ?
On ne peut simplifier que des facteurs communs, pas des termes d’une somme. \(\dfrac{a+b}{a} = 1 + \dfrac{b}{a} \neq b\).
Contre-exemple : \(\dfrac{3+5}{3} = \dfrac{8}{3} \neq 5\).
En revanche \(\dfrac{a \times b}{a} = b\) est validé (pour \(a \neq 0\)).
Mini-test : que vaut \(\dfrac{3+6}{3}\) ?
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« \(\sqrt{(-5)^2} = -5\) »
Ce calcul n’est-il correct ?
La racine carrée est toujours positive, donc \(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\).
\(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\), et non \(-5\).
Si \(a \geq 0\) alors \(\sqrt{a^2} = a\). Mais si \(a < 0\), \(\sqrt{a^2} = -a > 0\).
Mini-test : \(\sqrt{(-3)^2}\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices sur les racines carrées
« Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(k\) : \(k(a + b) = ka + kb\). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! C’est la propriété de distributivité, fondement du calcul littéral.
Ne pas confondre avec \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) (piege 1) — la distributivité ne s’applique qu’à la multiplication, pas au carré ni à la racine.
Mini-test : \(3(x + 2)\) = ?
🔗 Voir la section sur le développement