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Chapitre 5 — Équations produit nul, signe d’expressions · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
⚠️ Pièges fréquents dans ce chapitre — Diviser par \(x\) · Valeurs interdites d’un quotient · Factoriser avant de résoudre · Signe d’un produit — Voir tous les pièges →
🟢 Groupe 1 — Équations produit nul ▾
1

Équations produit nul directes. Base

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \((x-3)(x+2) = 0\)
  2. \((2x-1)(x+5) = 0\)
  3. \(x(x-7) = 0\)
  4. \((3x+6)(4-x) = 0\)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un facteur est nul.
1. \(x-3=0\) ou \(x+2=0\) → \(\mathcal{S} = \{-2 \,;\, 3\}\)
2. \(2x-1=0\) ou \(x+5=0\) → \(\mathcal{S} = \{-5 \,;\, \tfrac{1}{2}\}\)
3. \(x=0\) ou \(x-7=0\) → \(\mathcal{S} = \{0 \,;\, 7\}\)
4. \(3x+6=0\) ou \(4-x=0\) → \(\mathcal{S} = \{-2 \,;\, 4\}\)
2

Trois facteurs. Base

Résoudre :

  1. \((x-1)(x+4)(2x-6) = 0\)
  2. \(x(x-2)(x+5) = 0\)
1. Chaque facteur nul : \(x=1\), \(x=-4\), \(x=3\) → \(\mathcal{S} = \{-4\,;\,1\,;\,3\}\)
2. \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,0\,;\,2\}\)
3

Mettre sous forme produit nul. Intermédiaire

Avant d’appliquer la règle du produit nul, ramener l’équation à la forme \(A \times B = 0\) :

  1. \((x-3)(x+2) = (x-3)(2x+1)\)
  2. \((2x+1)^2 = (2x+1)(x-4)\)
⚠️ Piège : ne pas « simplifier » par \((x-3)\) (on perdrait la solution \(x=3\)). Il faut passer tout à gauche et factoriser.
1. \((x-3)(x+2) - (x-3)(2x+1) = 0\) → \((x-3)\big[(x+2)-(2x+1)\big] = 0\) → \((x-3)(1-x) = 0\) → \(\mathcal{S} = \{1\,;\,3\}\)
2. \((2x+1)^2 - (2x+1)(x-4) = 0\) → \((2x+1)\big[(2x+1)-(x-4)\big] = 0\) → \((2x+1)(x+5) = 0\) → \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,-\tfrac{1}{2}\}\)
🔵 Groupe 2 — Factoriser avec une identité remarquable ▾
4

Différence de carrés. Base

Résoudre en factorisant avec \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) :

  1. \(x^2 - 9 = 0\)
  2. \(x^2 - 25 = 0\)
  3. \(4x^2 - 49 = 0\)
  4. \((x-1)^2 - 16 = 0\)
1. \((x-3)(x+3) = 0\) → \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\)
2. \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\)
3. \((2x-7)(2x+7)=0\) → \(\mathcal{S} = \{-\tfrac{7}{2}\,;\,\tfrac{7}{2}\}\)
4. \((x-1-4)(x-1+4)=0\) → \((x-5)(x+3)=0\) → \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,5\}\)
5

Équation \(x^2 = a\). Base

Résoudre en se ramenant à \(x^2 - a = 0\) :

  1. \(x^2 = 36\)
  2. \(x^2 = 7\)
  3. \(x^2 = -4\)
  4. \((2x-1)^2 = 9\)

⚠️ Piège lié : \(\sqrt{a^2}=|a|\), pas toujours \(a\)

1. \(x^2-36=(x-6)(x+6)=0\) → \(\mathcal{S} = \{-6\,;\,6\}\)
2. \(x^2-7 = (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})=0\) → \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\}\)
3. \(x^2 \geqslant 0\) pour tout \(x\), donc \(x^2=-4\) n’a pas de solution : \(\mathcal{S}=\emptyset\)
4. \((2x-1)^2-9 = (2x-1-3)(2x-1+3) = (2x-4)(2x+2) = 0\) → \(\mathcal{S} = \{-1\,;\,2\}\)
6

Factor commun + identité. Intermédiaire

Factoriser puis résoudre :

  1. \(3x^2 - 12 = 0\)
  2. \(x^3 - x = 0\)
  3. \(x^2(x-2) - 9(x-2) = 0\)
1. \(3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)\) → \(\mathcal{S}=\{-2\,;\,2\}\)
2. \(x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)\) → \(\mathcal{S}=\{-1\,;\,0\,;\,1\}\)
3. \((x-2)(x^2-9) = (x-2)(x-3)(x+3)\) → \(\mathcal{S}=\{-3\,;\,2\,;\,3\}\)
🟣 Groupe 3 — Signe d’une expression du premier degré ▾
7

Signe d’un binôme \(ax+b\). Base

Dresser le tableau de signes de chaque expression sur \(\mathbb{R}\) :

  1. \(2x - 6\)
  2. \(-3x + 9\)
  3. \(5 - x\)
  4. \(-\tfrac{1}{2}x - 2\)

Règle : \(ax+b\) s’annule en \(-b/a\) et est du signe de \(a\) après cette valeur.

1. S’annule en \(3\), du signe de \(+\) après : − sur \((-\infty\,;\,3)\), + sur \((3\,;\,+\infty)\).
2. S’annule en \(3\), \(a=-3<0\) : + avant 3, − après.
3. S’annule en \(5\), \(a=-1<0\) : + avant 5, − après.
4. S’annule en \(-4\), \(a=-\tfrac{1}{2}<0\) : + avant \(-4\), − après.
8

Signe d’un produit. Intermédiaire

📖 Méthode : tableau de signes d’un produit en 4 étapes

Dresser le tableau de signes et donner les intervalles où l’expression est positive :

  1. \((x-2)(x+5)\)
  2. \((3-x)(2x+4)\)
  3. \((x+1)(x-3)(x-5)\)
1. Racines : \(-5\) et \(2\). Tableau :
\(x\)−∞\(-5\)\(2\)+∞
\(x-2\)−0+
\(x+5\)−0+
produit+0−0
Positif sur \((-\infty\,;\,-5) \cup (2\,;\,+\infty)\).

2. Racines : \(3\) et \(-2\) ; \((3-x)\) est positif avant 3, \((2x+4)\) positif après \(-2\). Produit : −/\(-2\)/+/\(3\)/−. Positif sur \((-2\,;\,3)\).

3. Trois racines \(-1\,,\,3\,,\,5\). Produit : −/\(-1\)/+/\(3\)/−/\(5\)/+. Positif sur \((-1\,;\,3) \cup (5\,;\,+\infty)\).

9

Signe d’un quotient. Intermédiaire

Attention : la valeur qui annule le dénominateur est interdite (double barre dans le tableau).

Dresser le tableau de signes de \(\dfrac{x-1}{x+3}\) sur son ensemble de définition.

\(\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\). Racine du numérateur : \(1\). Valeur interdite : \(-3\).
\(x\)−∞\(-3\)\(1\)+∞
\(x-1\)−|0+
\(x+3\)−0++
quotient+‖0+
Signe : + sur \((-\infty\,;\,-3) \cup (1\,;\,+\infty)\), − sur \((-3\,;\,1)\). En \(-3\) la valeur est interdite.
🔴 Groupe 4 — Inéquations via tableau de signes ▾
10

Inéquation produit. Intermédiaire

Résoudre, puis donner l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s) :

  1. \((x-1)(x+4) \geqslant 0\)
  2. \((2x-6)(x+1) < 0\)
  3. \(x^2 - 4 \leqslant 0\)
1. Racines \(-4\,;\,1\). Signe +/\(-4\)/−/\(1\)/+. \(\geqslant 0\) → \(\mathcal{S}=(-\infty\,;\,-4] \cup [1\,;\,+\infty)\).
2. Racines \(-1\,;\,3\). Signe +/\(-1\)/−/\(3\)/+. \(< 0\) → \(\mathcal{S} = (-1\,;\,3)\) (bornes exclues).
3. \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). Signe +/\(-2\)/−/\(2\)/+. \(\leqslant 0\) → \(\mathcal{S}=[-2\,;\,2]\).
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Inéquation quotient. Approfondissement

Résoudre \(\dfrac{2x+1}{x-3} \leqslant 0\) sur son ensemble de définition.

\(\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). Racine numérateur : \(-\tfrac{1}{2}\).
\(x\)−∞\(-\tfrac{1}{2}\)\(3\)+∞
\(2x+1\)−0+++
\(x-3\)−−−0+
quotient+0−‖+
\(\leqslant 0\) → \(\mathcal{S} = \left[-\tfrac{1}{2}\,;\,3\right[\) — borne 3 exclue (valeur interdite).
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Problème concret. Approfondissement

L’aire d’un rectangle est donnée par \(\mathcal{A}(x) = (x-2)(6-x)\) pour \(x\) entre 2 et 6 (en m). Pour quelles valeurs de \(x\) l’aire est-elle positive ?

Racines \(2\) et \(6\). \((x-2)\) positif après 2 ; \((6-x)\) positif avant 6. Produit positif sur \((2\,;\,6)\). Donc pour \(x \in \,]2\,;\,6[\) l’aire est strictement positive. En \(x=2\) ou \(x=6\) le rectangle est dégénéré (aire nulle).
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