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Chapitre 4 — Équations et inéquations du premier degré · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
⚠️ Pièges fréquents dans ce chapitre — Diviser par \(x\) · Inégalité × négatif · Valeur absolue · Tautologie vs contradiction — Voir tous les pièges →
🟢 Groupe 1 — Équations du premier degré ▾
1

Équations simples. Base

Résoudre chacune des équations suivantes :

  1. \(3x + 5 = 14\)
  2. \(2x - 7 = x + 3\)
  3. \(-4x + 12 = 0\)
  4. \(5(x-2) = 3(x+4)\)
1. \(3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
2. \(x = 10\)
3. \(x = 3\)
4. \(5x - 10 = 3x + 12 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11\)
2

Équations avec fractions. Base

Résoudre :

  1. \(\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{x-3}{4} + 2\)
  2. \(\dfrac{3x-1}{5} - \dfrac{x+2}{3} = 1\)
1. Multiplier par 4 : \(2(x+1) = (x-3) + 8\) → \(2x+2 = x+5\) → \(x = 3\).
2. Multiplier par 15 : \(3(3x-1) - 5(x+2) = 15\) → \(9x-3-5x-10=15\) → \(4x=28\) → \(x = 7\).
3

Cas particuliers. Intermédiaire

Résoudre et interpréter chaque équation :

⚠️ Piège lié : Tautologie vs contradiction

  1. \(3(x+2) - 3x = 6\)
  2. \(2(x-1) + 4 = 2x + 3\)
  3. \(5x + 10 = 5(x+2)\)
1. \(3x+6-3x=6 \Rightarrow 6=6\) → tautologie : \(\mathcal{S}=\mathbb{R}\) (tous les réels sont solutions).
2. \(2x-2+4=2x+3 \Rightarrow 2=3\) → contradiction : \(\mathcal{S}=\emptyset\).
3. \(5x+10=5x+10 \Rightarrow 0=0\) → tautologie : \(\mathcal{S}=\mathbb{R}\).
🔵 Groupe 2 — Systèmes d’équations ▾
4

Systèmes par substitution. Base

Résoudre par substitution :

  1. \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} x = y + 4 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}\)
1. \(3x + (2x-1) = 9 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x=2\), \(y=3\). Solution : \((2\,;\,3)\).
2. \(2(y+4)-3y=1 \Rightarrow -y = -7 \Rightarrow y=7\), \(x=11\). Solution : \((11\,;\,7)\).
5

Systèmes par combinaison. Intermédiaire

Résoudre par combinaison linéaire :

  1. \(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} 3x - 2y = 8 \\ 5x + 3y = 7 \end{cases}\)
1. Multiplier L2 par 3 : \(12x-3y=3\). Ajouter à L1 : \(14x=10 \Rightarrow x=\frac{5}{7}\). En reportant dans L1 : \(\frac{10}{7}+3y=7\), soit \(3y=\frac{39}{7}\), donc \(y=\frac{13}{7}\). Vérif L2 : \(\frac{20}{7}-\frac{13}{7}=\frac{7}{7}=1\) ✓.
2. Multiplier L1 par 3, L2 par 2 : \(9x-6y=24\) et \(10x+6y=14\). Addition : \(19x=38 \Rightarrow x=2\), \(y=-1\). Solution : \((2\,;\,-1)\).
6

Problème modélisé par un système. Intermédiaire

Un boulanger fabrique deux sortes de pains : une baguette normale (250 g de farine, 5 g de levure) et un pain de campagne (400 g de farine, 3 g de levure). Il dispose de 7 kg de farine et de 105 g de levure.

Combien peut-il fabriquer de baguettes et de pains de campagne pour utiliser exactement toute sa farine et toute sa levure ?

Soit \(x\) le nombre de baguettes et \(y\) le nombre de pains.
Farine : \(250x + 400y = 7000\) (en g), soit \(5x + 8y = 140\).
Levure : \(5x + 3y = 105\).
Soustraction : \(5y = 35 \Rightarrow y = 7\).
\(5x = 105 - 21 = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{5}\) — non entier → impossible d’utiliser exactement tous les ingrédients.
(Le boulanger devra ajuster ses quantités.)
🟣 Groupe 3 — Inéquations du premier degré ▾
7

Inéquations simples. Base

Résoudre et représenter sur une droite numérique :

⚠️ Piège lié : Inégalité × négatif

  1. \(3x - 4 > 2\)
  2. \(-2x + 5 \leq 1\)
  3. \(4x + 3 \geq 7x - 6\)
  4. \(\dfrac{x-1}{3} < \dfrac{x+2}{4}\)
1. \(3x > 6 \Rightarrow x > 2\). \(\mathcal{S} = \left]2\,;\,+\infty\right[\).
2. \(-2x \leq -4 \Rightarrow x \geq 2\) (sens inversé). \(\mathcal{S} = \left[2\,;\,+\infty\right[\).
3. \(-3x \geq -9 \Rightarrow x \leq 3\). \(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,3\right]\).
4. Multiplier par 12 : \(4(x-1) < 3(x+2) \Rightarrow 4x-4 < 3x+6 \Rightarrow x < 10\). \(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,10\right[\).
8

Tableau de signes. Intermédiaire

Dresser un tableau de signes et résoudre chaque inéquation :

  1. \((2x-4)(x+3) \leq 0\)
  2. \(\dfrac{x+5}{x-1} > 0\)
  3. \((x-1)(x+2)(2-x) > 0\)
1. Racines : \(x=2\) et \(x=-3\).
\(x\)\(-\infty\)\(-3\)\(2\)\(+\infty\)
\(2x-4\)−−−0+
\(x+3\)−0+++
Produit+0−0+
\(\mathcal{S} = [-3\,;\,2]\).

2. Valeurs remarquables : \(x=-5\) (num. = 0) et \(x=1\) (dén. = 0, exclu).
Signe positif pour \(x \in \left]-\infty\,;\,-5\right[ \cup \left]1\,;\,+\infty\right[\).

3. Racines : \(x=-2, 1, 2\). Test : en \(x=-3\) : \((-4)(-1)(5)=20>0\) ; en \(x=0\) : \((-1)(2)(2)=-4<0\) ; en \(x=1{,}5\) : \((0{,}5)(3{,}5)(0{,}5)>0\) ; en \(x=3\) : \((2)(5)(-1)<0\). Donc :
\(\mathcal{S} = \left]-\infty\,;\,-2\right[ \cup \left]1\,;\,2\right[\).
16

Encadrement d’une expression. Approfondissement

Si \(x\) vérifie \(-10 < x \leqslant -6\), que peut-on dire de l’expression \(7 - 3(x-10)^2\) ?

Rédiger la solution étape par étape, en justifiant chaque transformation de l’encadrement.

Étape 1 : On part de \(-10 < x \leqslant -6\).

On ajoute \(-10\) aux trois membres :

\(-10 - 10 < x - 10 \leqslant -6 - 10\), soit \(-20 < x - 10 \leqslant -16\).

Étape 2 : On élève au carré. Les nombres \(x-10\) sont tous strictement négatifs (entre \(-20\) et \(-16\)), donc les carrés sont positifs et l’ordre s’inverse :

\(16^2 \leqslant (x-10)^2 < 20^2\), soit \(256 \leqslant (x-10)^2 < 400\).

Étape 3 : On multiplie par \(-3\) (négatif → inversion) :

\(-3 \times 400 < -3(x-10)^2 \leqslant -3 \times 256\), soit \(-1200 < -3(x-10)^2 \leqslant -768\).

Étape 4 : On ajoute 7 :

\(-1200 + 7 < 7 - 3(x-10)^2 \leqslant -768 + 7\), soit \(\boxed{-1193 < 7 - 3(x-10)^2 \leqslant -761}\).

🔴 Groupe 4 — Mise en équation et problèmes ▾
9

Problème de partage. Intermédiaire

Trois amis ont ensemble 540 €. Le deuxième a le double du premier. Le troisième a 30 € de moins que le deuxième. Combien chacun possède-t-il ?

Soit \(x\) la part du premier. Deuxième : \(2x\). Troisième : \(2x - 30\).
\(x + 2x + 2x - 30 = 540 \Rightarrow 5x = 570 \Rightarrow x = 114\).
Le premier a 114 €, le deuxième 228 €, le troisième 198 €.
10

Rentabilité et inéquation. Intermédiaire

Une salle de sport facture 30 € par mois d’abonnement fixe. Un cours collectif coûte 6 € supplémentaires par séance. Un cours chez un coach particulier coûte 25 € la séance, sans abonnement.

  1. À partir de combien de séances par mois l’abonnement est-il plus avantageux ?
  2. Pour exactement combien de séances les deux options coûtent-elles le même prix ?
Soit \(n\) le nombre de séances.
Coût abonnement : \(30 + 6n\). Coût coach : \(25n\).
1. Abonnement avantageux : \(30 + 6n < 25n \Rightarrow 30 < 19n \Rightarrow n > \frac{30}{19} \approx 1{,}58\).
Dès 2 séances par mois, l’abonnement est plus avantageux.
2. \(30 + 6n = 25n \Rightarrow n = \frac{30}{19} \approx 1{,}58\) séances. (Pas un nombre entier — il n’y a pas d’égalité exacte pour un nombre entier de séances.)
11

Âge et équation. Base

Aujourd’hui, une mère a trois fois l’âge de sa fille. Dans 12 ans, elle aura le double de l’âge de sa fille. Quel est l’âge actuel de chacune ?

Soit \(x\) l’âge de la fille aujourd’hui. La mère a \(3x\) ans.
Dans 12 ans : \(3x + 12 = 2(x + 12) \Rightarrow 3x + 12 = 2x + 24 \Rightarrow x = 12\).
La fille a 12 ans, la mère a 36 ans.
12

Les dimensions d’une piscine. Intermédiaire

Une piscine rectangulaire a un périmètre de 50 m. Sa longueur est le double de sa largeur.

  1. Quelles sont les dimensions de la piscine ? (Équation du 1er degré.)
  2. Avec ces dimensions, quelle est l’aire de la piscine ?
  3. On souhaite que la piscine ait également une aire de 150 m². Est-ce compatible avec les contraintes précédentes ? Justifier.
  4. (Bonus.) Quelles dimensions faudrait-il pour avoir \(L = 2l\) et une aire de 150 m² ? Quelle serait alors la valeur de \(l\) ? (On admettra qu’on obtient une équation du 2nd degré, hors programme.)
1. Soit \(l\) la largeur. \(L = 2l\). Périmètre : \(2(l + 2l) = 50 \Rightarrow 6l = 50 \Rightarrow l = \dfrac{25}{3} \approx 8{,}3\) m. Longueur : \(L = \dfrac{50}{3} \approx 16{,}7\) m.

2. Aire \(= l \times L = \dfrac{25}{3} \times \dfrac{50}{3} = \dfrac{1250}{9} \approx 138{,}9\) m².

3. L’aire avec les contraintes (périmètre 50 m et \(L = 2l\)) est fixée à \(\approx 138{,}9\) m². Elle ne peut pas valoir 150 m² simultanément — les trois contraintes sont incompatibles.

4. Avec \(L = 2l\) et \(l \times 2l = 150\) : \(2l^2 = 150 \Rightarrow l^2 = 75 \Rightarrow l = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\) m, \(L \approx 17{,}32\) m. Le périmètre serait alors \(2(l+L) = 6l = 30\sqrt{3} \approx 51{,}96\) m \(\neq 50\) m.
🟡 Groupe 5 — Approfondissement ▾
13

Inéquation avec valeur absolue. Approfondissement

Résoudre \(|2x - 3| \leq 5\).

⚠️ Piège lié : Valeur absolue

\(|2x-3| \leq 5\) équivaut à \(-5 \leq 2x-3 \leq 5\).
\(-2 \leq 2x \leq 8 \Rightarrow -1 \leq x \leq 4\).
\(\mathcal{S} = [-1\,;\,4]\).
14

Équation à paramètre. Approfondissement

Soit \(m\) un réel. Discuter le nombre de solutions de l’équation \((m-1)x = m^2 - 1\) selon les valeurs de \(m\).

⚠️ Piège lié : Diviser par \(x\)

On factorise le membre de droite : \(m^2-1 = (m-1)(m+1)\).
L’équation devient \((m-1)x = (m-1)(m+1)\).
Cas 1 : \(m \neq 1\). On divise par \(m-1\) : \(x = m+1\). Une unique solution.
Cas 2 : \(m = 1\). L’équation devient \(0 = 0\). Infinité de solutions (\(\mathcal{S} = \mathbb{R}\)).
15

Problème d’optimisation. Approfondissement

Un maraîcher veut clôturer un terrain rectangulaire en bordure d’une rivière (le côté rivière n’a pas besoin de grillage). Il dispose de 60 m de grillage et veut que la longueur du terrain soit au moins le double de sa largeur.

  1. Si la largeur est \(l\), exprimer la longueur en fonction de \(l\).
  2. Quelle inéquation traduit la contrainte « longueur ≥ 2 × largeur » ?
  3. Quel est l’intervalle des valeurs possibles pour \(l\) ?
  4. Quelle largeur maximise l’aire du terrain ?
1. Les deux largeurs + une longueur = 60, donc \(L = 60 - 2l\).
2. Contrainte : \(60 - 2l \geq 2l \Rightarrow 60 \geq 4l \Rightarrow l \leq 15\).
Aussi : \(l > 0\) et \(L = 60-2l > 0 \Rightarrow l < 30\). D’où \(l \in \left]0\,;\,15\right]\).
3. \(l \in \left]0\,;\,15\right]\).
4. Aire : \(\mathcal{A}(l) = l(60-2l) = 60l - 2l^2\). Cette fonction est croissante sur \(\left]0\,;\,15\right]\) (on le verra en ch. 10), donc l’aire est maximale pour \(l = 15\) m, ce qui donne \(L = 30\) m et une aire de \(450\ \text{m}^2\).
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