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Chapitre 3 — Algèbre · Exercices

Seconde — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Puissances et racines ▾
1

Calculs de puissances. Base

Simplifier en écrivant sous la forme \(a^n\) :

  1. \(3^4 \times 3^2\)
  2. \(\dfrac{2^7}{2^3}\)
  3. \((5^2)^3\)
  4. \(4^{-2}\)
  5. \(2^3 \times 4^2\) (écrire comme puissance de 2)
1. \(3^6 = 729\)
2. \(2^4 = 16\)
3. \(5^6\)
4. \(\frac{1}{16}\)
5. \(4^2 = (2^2)^2 = 2^4\), donc \(2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128\)
2

Simplification de racines. Base

Écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible :

  1. \(\sqrt{8}\)
  2. \(\sqrt{45}\)
  3. \(\sqrt{72}\)
  4. \(\sqrt{200}\)
1. \(\sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)
2. \(\sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\)
3. \(\sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\)
4. \(\sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2}\)
3

Notation scientifique. Base

Écrire en notation scientifique :

  1. \(48\,000\)
  2. \(0{,}00350\)
  3. \(1{,}5 \times 10^4 + 500\)

Et convertir en écriture décimale :

  1. \(3{,}2 \times 10^{-3}\)
  2. \(7 \times 10^5\)
1. \(4{,}8 \times 10^4\)
2. \(3{,}50 \times 10^{-3}\)
3. \(15\,000 + 500 = 15\,500 = 1{,}55 \times 10^4\)
4. \(0{,}0032\)
5. \(700\,000\)
🔵 Groupe 2 — Développement ▾
4

Développer et réduire. Base

  1. \(3(x - 4)\)
  2. \(-2(3x + 1)\)
  3. \((x + 5)(x - 2)\)
  4. \((2x - 3)(x + 4)\)
  5. \((x + 1)(x^2 - x + 1)\)
1. \(3x - 12\)
2. \(-6x - 2\)
3. \(x^2 + 3x - 10\)
4. \(2x^2 + 5x - 12\)
5. \(x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1\)
5

Identités remarquables — développement. Base

Développer à l’aide des identités remarquables :

  1. \((x + 4)^2\)
  2. \((3x - 2)^2\)
  3. \((x + 7)(x - 7)\)
  4. \((2x + 5)(2x - 5)\)
  5. \(\left(\sqrt{3} + 1\right)^2\)
1. \(x^2 + 8x + 16\)
2. \(9x^2 - 12x + 4\)
3. \(x^2 - 49\)
4. \(4x^2 - 25\)
5. \(3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\)
🟣 Groupe 3 — Factorisation ▾
6

Factoriser par facteur commun. Base

  1. \(6x + 9\)
  2. \(4x^2 - 8x\)
  3. \(15x^3 - 10x^2 + 5x\)
  4. \(a(x+1) + 3(x+1)\)
1. \(3(2x + 3)\)
2. \(4x(x - 2)\)
3. \(5x(3x^2 - 2x + 1)\)
4. \((x+1)(a + 3)\)
7

Factoriser par identités remarquables. Intermédiaire

  1. \(x^2 - 25\)
  2. \(x^2 + 6x + 9\)
  3. \(4x^2 - 20x + 25\)
  4. \(9x^2 - 1\)
  5. \(x^2 - 2\sqrt{2}\,x + 2\)
1. \((x-5)(x+5)\)
2. \((x+3)^2\)
3. \((2x-5)^2\)
4. \((3x-1)(3x+1)\)
5. \((x - \sqrt{2})^2\)
8

Stratégie mixte. Intermédiaire

Factoriser complètement :

  1. \(2x^2 - 18\)
  2. \(3x^2 + 12x + 12\)
  3. \(x^3 - 4x\)
1. \(2(x^2 - 9) = 2(x-3)(x+3)\)
2. \(3(x^2 + 4x + 4) = 3(x+2)^2\)
3. \(x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)\)
🔴 Groupe 4 — Développer ou factoriser selon le contexte ▾
9

Calcul astucieux. Intermédiaire

Calculer sans calculatrice en utilisant les identités remarquables :

  1. \(101^2\) (écrire \(101 = 100 + 1\))
  2. \(99 \times 101\)
  3. \(47^2 - 53^2\)
1. \((100+1)^2 = 10\,000 + 200 + 1 = 10\,201\)
2. \((100-1)(100+1) = 100^2 - 1 = 9\,999\)
3. \((47-53)(47+53) = (-6)(100) = -600\)
10

Simplification de fraction. Approfondissement

Simplifier au maximum (préciser les valeurs exclues) :

  1. \(\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}\)
  2. \(\dfrac{3x^2 - 12}{x^2 - 4x + 4}\)
1. Num : \((x-1)(x+1)\) · Dén : \((x+1)^2\)
\(\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2} = \dfrac{x-1}{x+1}\) pour \(x \neq -1\).

2. Num : \(3(x^2-4) = 3(x-2)(x+2)\) · Dén : \((x-2)^2\)
\(\dfrac{3(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = \dfrac{3(x+2)}{x-2}\) pour \(x \neq 2\).
17

Olympiades 4e — Pyramides bicolores. Approfondissement

Camille possède un grand nombre de petits cubes blancs et gris assemblés en tours pyramidales pleines, en alternant les couleurs :

  • chaque étage est carré et rempli de cubes de la même couleur ;
  • deux étages successifs sont de couleurs différentes ;
  • d'un étage au suivant, le côté du carré diminue de 1 ;
  • l'étage du bas et l'étage du haut sont de couleurs différentes ;
  • l'étage du haut ne comporte qu'un seul cube.
  1. Combien de cubes au total sont utilisés pour construire une pyramide de 10 étages ?
  2. Est-il possible de construire une pyramide de ce type en utilisant 818 cubes ?
  3. Camille a construit une pyramide comptant 2300 cubes blancs. Combien de cubes gris ont été utilisés ?
Soit \(n\) le nombre d'étages. L'étage \(k\) (du haut vers le bas) comporte \(k^2\) cubes.
Nombre total de cubes : \(S_n = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

1. \(n=10\) : \(S_{10} = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385\) cubes.

2. On cherche \(n\) tel que \(S_n = 818\). \(S_{13} = 819\) et \(S_{12} = 650\). Aucun \(n\) ne donne 818. Non, ce n'est pas possible.

3. L'alternance : si \(n\) est pair, blancs = étages pairs, gris = étages impairs (ou l'inverse selon la couleur du haut).
Les cubes blancs sont aux étages de même parité que l'étage du haut (qui est seul, donc blanc par exemple). Le nombre de cubes blancs dépend donc de la parité de \(n\).
\(\bullet\) Si le haut est blanc (1 cube = \(1^2\)), alors blancs = \(1^2+3^2+5^2+\cdots+(2k-1)^2 =\) somme des carrés impairs.
Formule : \(\sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2 = \dfrac{k(4k^2-1)}{3}\).
\(\bullet\) Si \(k=25\) : blancs = \(\dfrac{25(4\times 625-1)}{3}=\dfrac{25\times 2499}{3}=20825\) → trop grand.
\(\bullet\) Si \(k=20\) : blancs = \(\dfrac{20(4\times 400-1)}{3}=\dfrac{20\times 1599}{3}=10660\) → trop grand.
\(\bullet\) On cherche \(k\) tel que \(\frac{k(4k^2-1)}{3}=2300\). \(k=12\) donne \(2300\).
Alors \(n = 2k = 24\) étages (haut blanc, bas gris).
Cubes gris = étages pairs \(2^2+4^2+\cdots+24^2 = 4(1^2+2^2+\cdots+12^2) = 4\times\frac{12\times 13\times 25}{6} = 4\times 650 = 2600\).
2600 cubes gris.
🟠 Entraînement WIMS — Exercices interactifs ▾
W

Exercices interactifs sur la plateforme WIMS — faire la feuille 11.