Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
En mécanique de précision, une pièce doit mesurer 25 mm avec une tolérance de ±0,02 mm. La pièce est conforme si sa mesure \(x\) vérifie \(|x - 25| \leqslant 0{,}02\).
Les Pythagoriciens (VIe siècle av. J.-C.) croyaient que tout nombre pouvait s’écrire comme quotient de deux entiers. La découverte que la diagonale d’un carré de côté 1 (qui mesure \(\sqrt{2}\)) ne peut pas s’écrire sous forme de fraction a provoque une véritable crise philosophique.
Selon la legende, Hippase de Métaponte, qui aurait divulgué ce secret, aurait été jeté par-dessus bord lors d’une traversée en mer ! Cette découverte a marque la naissance du concept de nombre irrationnel.
📜 Lire l’article — Le scandale de √2 : les Pythagoriciens et la crise des irrationnels →
Peut-on écrire \(\sqrt{2}\) sous la forme \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers ?
Résultat admis -- justification intuitive :
Tout entier naturel \(n\) est un entier relatif (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)).
Tout entier relatif \(n\) s’écrit \(\frac{n}{1} = \frac{n}{10^0}\), donc est décimal (\(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\)).
Tout décimal \(\frac{a}{10^n}\) est un quotient de deux entiers, donc rationnel (\(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\)).
Tout rationnel correspond a un point de la droite numérique, donc est réel (\(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)).
Les inclusions sont strictes : \(\frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{D}\) et \(\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
Tout nombre réel correspond a un unique point de la droite graduée, et reciproquement. On dit que \(\mathbb{R}\) est complet : il n’y a pas de « trou » sur la droite.
Inclusion des ensembles : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
| Notation | Ensemble | Représentation |
|---|---|---|
| \([a\,;\,b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x \leqslant b\}\) | Segment fermé |
| \(]a\,;\,b[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\) | Intervalle ouvert |
| \([a\,;\,b[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leqslant x < b\}\) | Semi-ouvert a droite |
| \(]a\,;\,b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leqslant b\}\) | Semi-ouvert a gauche |
| \([a\,;\,+\infty[\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geqslant a\}\) | Demi-droite fermée |
| \(]-\infty\,;\,a]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \leqslant a\}\) | Demi-droite fermée |
| \(]-\infty\,;\,+\infty[\) | \(\mathbb{R}\) | Droite entière |
Résultat admis -- justification intuitive :
Sur la droite numérique, la distance entre deux points d’abscisses \(a\) et \(b\) est la longueur du segment \([a, b]\) (ou \([b, a]\)).
Si \(a \leqslant b\), cette longueur est \(b - a = |b - a|\). Si \(a > b\), c’est \(a - b = |a - b|\).
Dans les deux cas, \(d(a, b) = |b - a| = |a - b|\) (car \(|{-x}| = |x|\)).
La fonction \(x \mapsto |x|\) est une fonction de reference du programme 2026. Sa courbe (en forme de V), ses variations et ses propriétés sont etudiees en détail au chapitre 10 — Fonctions de reference.
Géométriquement : les solutions sont les points de la droite dont la distance au centre \(a\) est au plus \(r\).
Montrons que \(|x - a| \leqslant r \iff a - r \leqslant x \leqslant a + r\).
Par définition de la valeur absolue, \(|x - a| \leqslant r\) signifie \(-r \leqslant x - a \leqslant r\).
En ajoutant \(a\) a chaque membre : \(a - r \leqslant x \leqslant a + r\).
Réciproquement, si \(a - r \leqslant x \leqslant a + r\), alors \(-r \leqslant x - a \leqslant r\), donc \(|x - a| \leqslant r\). \(\square\)
Une pièce doit mesurer 25 mm a ±0,02 mm pres : \(|x - 25| \leqslant 0{,}02\).
Solutions : \(x \in [24{,}98\,;\,25{,}02]\). La pièce est conforme si sa mesure est entre 24,98 mm et 25,02 mm.
Une fonction qui renvoie True si la pièce est conforme :
def conforme(mesure, cible, tolérance): return abs(mesure - cible) <= tolérance print(conforme(24.99, 25, 0.02)) # True print(conforme(25.05, 25, 0.02)) # False print(conforme(24.98, 25, 0.02)) # True (borne exacte)
abs() calcule la valeur absolue : abs(-3) == 3.
Autrement dit : on reconnaît la nature d’un réel à son développement décimal.
Propriété : Le nombre rationnel \(\dfrac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal.
Supposons que \(\dfrac{1}{3}\) est décimal. Alors il existe \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\) tels que :
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n}.\)
Donc \(10^n = 3a\), ce qui signifie que \(10^n\) est un multiple de 3.
Or \(10^n = 2^n \times 5^n\). La décomposition en facteurs premiers de \(10^n\) ne contient que des 2 et des 5, jamais de 3.
Donc \(10^n\) n’est pas un multiple de 3. Contradiction !
Conclusion : \(\dfrac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal. ∎
Représentation sur la droite réelle : disque plein = borne incluse, disque vide = borne exclue
Propriété : Le nombre \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel, c’est-a-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers.
Supposons que \(\sqrt{2}\) soit rationnel. Alors il existe deux entiers \(p\) et \(q\) (\(q \neq 0\)) tels que \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\), avec la fraction \(\dfrac{p}{q}\) irréductible.
En élevant au carré : \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc :
\(p^2 = 2q^2.\)
Donc \(p^2\) est pair. Or le carré d’un impair est impair (démonstration du chapitre 1, section 2 — Nombres pairs et impairs), donc \(p\) est nécessairement pair. On écrit \(p = 2k\).
Alors \((2k)^2 = 2q^2\), soit \(4k^2 = 2q^2\), donc \(q^2 = 2k^2\).
Donc \(q^2\) est pair, et par le même raisonnement, \(q\) est pair.
Mais si \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs, la fraction \(\dfrac{p}{q}\) n’est pas irréductible. Contradiction !
Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel. ∎
Une calculatrice n’affiche qu’un nombre fini de décimales. Elle donné donc une valeur approchée de \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\), jamais la valeur exacte. Il faut toujours garder les écritures exactes (\(\sqrt{2}\), \(\pi\)) dans les calculs quand c’est possible.
Pour les nombres positifs, \(\lfloor x \rfloor\) revient à « enlever les décimales ». Mais pour les négatifs, c’est différent : \(\lfloor -2{,}3 \rfloor = -3\) et non \(-2\).
floorLe module math fournit floor pour la partie entière :
from math import floor print(floor(3.7)) # 3 print(floor(-2.3)) # -3 print(floor(5)) # 5
Pour les entiers naturels, n // 1 équivaut aussi à la partie entière.
| Notion | Définition / Formule |
|---|---|
| Valeur absolue | \(|a|\) = distance de \(a\) a 0 |
| Distance | \(d(a,b) = |b - a|\) |
| \(|x - a| \leqslant r\) | \(x \in [a-r\,;\,a+r]\) |
| Décimal | \(\dfrac{a}{10^n}\), écriture décimale finie |
| Rationnel | \(\dfrac{p}{q}\), \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{Z}^*\) |
| Irrationnel | Non rationnel (ex: \(\sqrt{2}\), \(\pi\)) |
| Partie entière \(\lfloor x \rfloor\) | Plus grand entier \(\leqslant x\) : \(\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1\) |
| Inégalité triangulaire | \(|a+b| \leqslant |a| + |b|\) |
La pièce doit mesurer 25 mm avec une tolérance de ±0,02 mm : \(|x - 25| \leqslant 0{,}02\).
Les mesures acceptables sont : \(x \in [24{,}98\,;\,25{,}02]\), soit entre 24,98 mm et 25,02 mm.
Supposons \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(\dfrac{p}{q}\) irréductible. Alors \(2 = \dfrac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 2q^2\).
Donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p = 2k\).
Alors \(4k^2 = 2q^2\), donc \(q^2 = 2k^2\), donc \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, ce qui contredit l’hypothese que \(\dfrac{p}{q}\) est irréductible. Contradiction !
Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Nombres réels : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(\sqrt{a^2} = a\) pour tout réel \(a\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(\sqrt{a^2} = |a|\), pas \(a\). Contre-exemple : pour \(a = -3\), \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\).
La racine carree renvoie toujours un résultat positif ou nul.
Mini-test : que vaut \(\sqrt{(-5)^2}\) ?
🔗 Travaille dans les exercices du chapitre
« \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\). »
Cette égalité est-elle toujours vraie ?
Contre-exemple : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), mais \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
On a \(5 \neq 7\). La racine carree ne se distribue ni sur l’addition, ni sur la soustraction.
Mini-test : \(\sqrt{4+9}\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices du chapitre
« \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) est un nombre irrationnel car il a une infinite de décimales. »
Cette affirmation est-elle correcte ?
\(\dfrac{1}{3}\) est rationnel car c’est une fraction de deux entiers. Un nombre est irrationnel seulement si son developpement décimal est infini et non périodique.
\(0{,}333\ldots\) est périodique (motif « 3 » qui se repete), donc rationnel.
Mini-test : \(0{,}142857142857\ldots\) est-il rationnel ?
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« Si \(a < b\), alors \(-a < -b\). »
Cette affirmation est-elle correcte ?
L’inégalité s’inverse quand on prend l’opposé. Exemple : \(-2 < 3\), mais \(-(-2) = 2 > -3\).
Règle : si \(a < b\), alors \(-a > -b\).
Mini-test : si \(x < 5\), alors \(-x\) est :
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« L’intersection de deux intervalles est toujours un intervalle (eventuellement vide). »
Cette propriété est-elle toujours vraie ?
C’est vrai. L’intersection de deux intervalles de \(\mathbb{R}\) est toujours un intervalle (qui peut être vide, reduit a un point, ou un intervalle classique).
Exemples : \([1;5] \cap [3;7] = [3;5]\), \([1;3] \cap [5;7] = \emptyset\).
Mini-test : \([-2;4] \cap [1;6]\) vaut :
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