Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Sur route seche, la distance de freinage (en metres) d’une voiture roulant a \(v\) km/h est environ \(d(v) = \frac{v^2}{250}\). A 50 km/h : \(d = 10\) m. A 100 km/h : \(d = 40\) m (et non 20 !). La distance est proportionnelle au carré de la vitesse.
Apollonius de Perge (vers 262–190 av. J.-C.) a etudie les sections coniques : ellipse, parabole, hyperbole. La parabole, courbe representative de la fonction carré, etait déjà connue des Grecs comme section d’un cone par un plan parallele a une generatrice.
L’hyperbole (courbe de la fonction inverse) et la parabole sont omnipresentes en physique : trajectoire d’un projectile, miroir parabolique, orbite des cometes…
Sans calculatrice, comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) dans chaque cas :
Les points \((x, mx + p)\) verifient \(y = mx + p\), qui est l’équation d’une droite de pente \(m\) et d’ordonnee a l’origine \(p\) (chapitre 8). \(\square\)
C’est une conséquence directe de l’étude du signe de \(ax + b\) vue au chapitre 5, section 3. L’expression \(mx + p\) s’annule en \(x = -\frac{p}{m}\) et le signe depend du signe de \(m\). \(\square\)
\(|x| \geqslant 0\) : si \(x \geqslant 0\), \(|x| = x \geqslant 0\). Si \(x < 0\), \(|x| = -x > 0\).
\(|x| = 0 \iff x = 0\) : si \(x > 0\), \(|x| = x > 0\). Si \(x < 0\), \(|x| = -x > 0\). Seul \(x = 0\) donne \(|0| = 0\).
\(|-x| = |x|\) : si \(x \geqslant 0\), \(-x \leqslant 0\) donc \(|-x| = -(-x) = x = |x|\). De même si \(x < 0\).
Les variations sont demontrees au chapitre 11.
\(x^2 \geqslant 0\) : un carré est toujours positif ou nul (produit d’un nombre par lui-même).
Symétrie : \((-x)^2 = (-x)(-x) = x^2 = f(x)\), donc \(f(-x) = f(x)\) : la fonction est paire.
Les variations sont demontrees au chapitre 11 (section 4) : on montre que pour \(0 \leqslant a \leqslant b\), \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) \geqslant 0\).
\(x^2 = x \times x\). Si \(x > 0\) : produit de deux positifs, donc \(x^2 > 0\). Si \(x < 0\) : produit de deux négatifs, donc \(x^2 > 0\). Si \(x = 0\) : \(0^2 = 0\). \(\square\)
Comparer \((-3)^2\) et \(2^2\). Comme \(|-3| = 3 > 2\) et que la fonction carré est croissante sur \([0, +\infty[\), on a \(3^2 > 2^2\), soit \((-3)^2 > 2^2\).
La décroissance sur \(]0, +\infty[\) est demontree au chapitre 11 : pour \(0 < a \leqslant b\), \(\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a-b}{ab} \leqslant 0\).
La symétrie vient de \(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) : la fonction est impaire.
Si \(x > 0\), alors \(\frac{1}{x} > 0\) car le quotient de deux positifs est positif.
Si \(x < 0\), alors \(\frac{1}{x} < 0\) car \(1 > 0\) et \(x < 0\) (quotient de signes differents). \(\square\)
On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\). Par exemple \(\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}\), mais \(-1 < 1\). La fonction n’est pas décroissante sur un intervalle contenant 0.
La croissance se démontré : pour \(0 \leqslant a \leqslant b\), \(\sqrt{b} - \sqrt{a} = \frac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} \geqslant 0\) (car \(b - a \geqslant 0\) et \(\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0\)).
\(\sqrt{x} \geqslant 0\) par définition de la racine carree. \((\sqrt{x})^2 = x\) est aussi la définition. \(\sqrt{x^2} = |x|\) est démontré au chapitre 3. \(\square\)
Comme la fonction racine carree est croissante et \(5 < 8\), on a \(\sqrt{5} < \sqrt{8}\).
Signe : \(x^3 = x \times x^2\). Comme \(x^2 \geqslant 0\), le signe de \(x^3\) est celui de \(x\).
Imparite : \((-x)^3 = (-x)(-x)(-x) = (-1)^3 x^3 = -x^3\).
Croissance : pour \(a \leqslant b\), on calcule \(b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)\). Le facteur \(b - a \geqslant 0\). Le facteur \(b^2 + ab + a^2\) est toujours positif (on peut montrer que \(b^2 + ab + a^2 = \frac{1}{2}[(a+b)^2 + a^2 + b^2] \geqslant 0\) avec égalité seulement si \(a = b = 0\)). Donc \(b^3 - a^3 \geqslant 0\), soit \(a^3 \leqslant b^3\). \(\square\)
La fonction carré est paire (\((-x)^2 = x^2\)) et non monotone sur \(\mathbb{R}\). La fonction cube est impaire (\((-x)^3 = -x^3\)) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Sur \([0\,;\,1]\), c’est \(\sqrt{x}\) qui domine ; après \(x=1\), c’est \(x^3\). Vérifions sur quelques valeurs :
from math import sqrt for x in [0, 0.25, 0.5, 1, 2, 3, 4]: cube = x ** 3 rac = sqrt(x) plus_grand = "x^3" if cube > rac else ("egaux" if cube == rac else "sqrt(x)") print(f"x = {x:4} | x^3 = {cube:6.3f} | sqrt(x) = {rac:6.3f} | plus grand : {plus_grand}")
Point de rencontre en \(x = 1\) (les deux valent 1). C’est la règle générale : pour \(x \in ]0\,;\,1[\), les puissances diminuent ; pour \(x > 1\), elles augmentent.
La racine cubique est définie pour tout réel (même négatif), car la fonction cube prend toutes les valeurs de \(\mathbb{R}\). Au contraire, \(\sqrt{x}\) n’est définie que pour \(x \geqslant 0\).
Exemples : \(\sqrt[3]{8} = 2\), \(\sqrt[3]{-27} = -3\), \(\sqrt[3]{0} = 0\).
Existence et unicite : la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (vu en section 6) et prend toutes les valeurs de \(\mathbb{R}\). Pour tout réel \(a\), il existe donc un unique réel \(x\) tel que \(x^3 = a\) : c’est \(\sqrt[3]{a}\).
Imparite : soit \(y = \sqrt[3]{x}\), donc \(y^3 = x\). Alors \((-y)^3 = -y^3 = -x\), donc \(-y = \sqrt[3]{-x}\), c’est-a-dire \(\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}\).
Croissance : si \(a \leqslant b\), posons \(x = \sqrt[3]{a}\) et \(y = \sqrt[3]{b}\). Supposons par l’absurde \(x > y\). Comme le cube est croissant, \(x^3 > y^3\), soit \(a > b\) : contradiction. Donc \(x \leqslant y\), soit \(\sqrt[3]{a} \leqslant \sqrt[3]{b}\). \(\square\)
Les fonctions cube et racine cubique sont reciproques l’une de l’autre : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Fonction | Formule | Domaine | Signe | Parité | Courbe |
|---|---|---|---|---|---|
| Affine | \(mx + p\) | \(\mathbb{R}\) | Change en \(-p/m\) | Ni paire ni impaire (sauf \(p = 0\) : impaire) | Droite |
| Valeur absolue | \(|x|\) | \(\mathbb{R}\) | \(\geqslant 0\) | Paire | V |
| Carré | \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \(\geqslant 0\) | Paire | Parabole |
| Inverse | \(\frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | Signe de \(x\) | Impaire | Hyperbole |
| Racine carrée | \(\sqrt{x}\) | \([0, +\infty[\) | \(\geqslant 0\) | Ni paire ni impaire (domaine non symétrique) | Demi-parabole |
| Cube | \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) | Signe de \(x\) | Impaire | Cubique |
| Racine cubique | \(\sqrt[3]{x}\) | \(\mathbb{R}\) | Signe de \(x\) | Impaire | Symétrique de cubique |
La distance de freinage est \(d(v) = \dfrac{v^2}{250}\) (fonction carré en \(v\), à un coefficient près).
Si on double la vitesse, on passe de \(v\) à \(2v\) :
\(d(2v) = \dfrac{(2v)^2}{250} = \dfrac{4v^2}{250} = 4 \cdot d(v)\).
La distance est donc multipliée par \(\mathbf{4}\), pas par 2. C’est la propriété fondamentale de la fonction carré : elle amplifie les grandes valeurs de manière non linéaire.
Exemples numériques :
C’est pourquoi les distances de sécurité doivent augmenter bien plus vite que la vitesse.
Pour \(f(x) = x^2\) : \(|{-7}| = 7 > 5 = |b|\). La fonction carré est croissante sur \([0, +\infty[\), donc \(7^2 > 5^2\), soit \(f(a) = 49 > 25 = f(b)\).
Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\) : la fonction inverse est décroissante sur \(]0, +\infty[\). Comme \(3 < 7\), on a \(f(3) > f(7)\), soit \(\frac{1}{3} > \frac{1}{7}\).
Fonctions de reference : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« \(\sqrt{a^2} = a\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. \(\sqrt{a^2} = |a|\). Par exemple \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \neq -3\). La racine carree renvoie toujours un résultat positif.
Mini-test : \(\sqrt{(-5)^2}\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices sur la racine carree
« La fonction \(x \mapsto x^3\) est paire, comme la fonction carré. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. La fonction cube est impaire : \((-x)^3 = -x^3\), donc \(f(-x) = -f(x)\). Sa courbe admet une symétrie centrale par rapport a l’origine, pas une symétrie axiale.
Contre-exemple : \((-2)^3 = -8 \neq 8 = 2^3\).
Mini-test : \((-3)^3\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices sur la fonction cube
« \(|a + b| = |a| + |b|\) pour tous réels \(a\) et \(b\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. C’est l'inégalité triangulaire : \(|a+b| \leq |a| + |b|\). L’égalité n’est vraie que si \(a\) et \(b\) sont de même signe.
Contre-exemple : \(|3 + (-5)| = |-2| = 2\), mais \(|3| + |-5| = 3 + 5 = 8 \neq 2\).
Mini-test : \(|4 + (-7)|\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices sur la valeur absolue
« La fonction \(x \mapsto x^2\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. \(x^2\) est décroissante sur \(]-\infty, 0]\) puis croissante sur \([0, +\infty[\). Par exemple \((-3)^2 = 9 > (-1)^2 = 1\) : quand \(x\) augmente de \(-3\) a \(-1\), \(x^2\) diminue.
Mini-test : sur quel intervalle \(x^2\) est-elle décroissante ?
🔗 Travaille dans les exercices sur la fonction carré
« Pour tout réel \(x\), on a \(|x| \geq 0\). »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! La valeur absolue représenté une distance, et une distance est toujours positive ou nulle. \(|x| = 0\) si et seulement si \(x = 0\).
Mini-test : \(|-7|\) vaut :
🔗 Voir la section sur la valeur absolue