Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Un club de sport compte 36 joueurs. On veut former des equipes de même taille, sans qu’il reste de joueur. Quelles tailles d’equipes sont possibles ?
Euclide (vers 300 av. J.-C.) a écrit les Éléments, un des ouvrages les plus influents de l’histoire des mathematiques. Le Livre VII est consacré a l’arithmétique : il y definit les notions de nombre premier, de diviseur, et présente l'algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux entiers.
Cet algorithme, vieux de plus de 2300 ans, est toujours utilise aujourd’hui en informatique. C’est l’un des plus anciens algorithmes connus !
📜 Lire l’article — Ératosthène et Euclide : le crible et l’infini →
📜 Lire l’article — Euclide et Thābit : le plus vieil algorithme →
Soit \(n\) un entier naturel. Le nombre \(n^2 + n\) est-il toujours pair ? Toujours impair ? Ca depend ?
| Divisible par | Critère |
|---|---|
| 2 | Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 |
| 5 | Le chiffre des unités est 0 ou 5 |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 |
| 10 | Le chiffre des unités est 0 |
Résultat admis -- justification intuitive :
Le critère par 2 vient du fait qu’un nombre est pair si et seulement si son chiffre des unités est pair (car \(10 = 2 \times 5\) est un multiple de 2).
Le critère par 3 s’explique par le fait que \(10\) a pour reste \(1\) dans la division par \(3\), donc \(10^k\) aussi. Ainsi un nombre \(a_n \cdot 10^n + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0\) a le même reste dans la division par 3 que \(a_n + \cdots + a_1 + a_0\).
Les autres critères se justifient de manière analogue.
Les opérateurs // (quotient) et % (reste) donnent directement la division euclidienne : 47 // 6 vaut 7 et 47 % 6 vaut 5.
Montrons par exemple que la somme de deux impairs est paire.
Soient \(a = 2k + 1\) et \(b = 2k' + 1\) deux impairs (\(k, k' \in \mathbb{Z}\)).
\(a + b = 2k + 1 + 2k' + 1 = 2(k + k' + 1)\).
Comme \(k + k' + 1 \in \mathbb{Z}\), la somme est de la forme \(2 \times \text{entier}\), donc paire.
Les autres propriétés se demontrent de la même facon en utilisant les ecritures \(2k\) (pair) et \(2k+1\) (impair), puis en developpant et factorisant.
Soient \(a = 2k\) et \(b = 2k'\) deux nombres pairs (\(k, k' \in \mathbb{Z}\)).
\(a + b = 2k + 2k' = 2(k + k')\)
Comme \(k + k'\) est un entier, \(a + b\) est de la forme \(2 \times \text{entier}\), donc \(a + b\) est pair.
Pour lister tous les nombres premiers jusqu’à \(N\) :
Astuce : il suffit de cribler jusqu’à \(\sqrt{N}\). Une fois 7 criblé pour \(N = 100\), tous les restants sont premiers car \(11^2 = 121 > 100\).
\(\sqrt{97} \approx 9{,}85\). On teste les diviseurs possibles \(d \in \{2, 3, 5, 7\}\) (seuls les premiers suffisent) :
Aucun diviseur trouvé, donc 97 est premier.
On divise successivement par le plus petit diviseur premier, jusqu’à obtenir 1.
Exemple : décomposer 360.
Donc \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).
On raisonne par l’absurde. Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers, notés \(p_1, p_2, \ldots, p_n\).
Considérons l’entier \(N = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n + 1\).
Comme \(N \geqslant 2\), \(N\) admet au moins un diviseur premier \(p\) (d’après le théorème fondamental). Ce diviseur \(p\) figure dans notre liste, donc \(p = p_i\) pour un certain \(i\).
Mais alors \(p\) divise \(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n\) et \(p\) divise \(N\), donc \(p\) divise la différence : \[N - p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_n = 1.\] Or un nombre premier est \(\geqslant 2\), il ne peut pas diviser 1. Contradiction.
Donc l’ensemble des nombres premiers est infini. ∎
Si \(a\) et \(b\) sont décomposés, alors :
Exemple : \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) et \(84 = 2^2 \times 3 \times 7\).
\(\text{PGCD}(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12\) et \(\text{PPCM}(360, 84) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520\).
On divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD — voir §5).
Exemple : Simplifier \(\dfrac{84}{126}\).
\(\text{PGCD}(84, 126) = 42\), donc \(\dfrac{84}{126} = \dfrac{84 \div 42}{126 \div 42} = \dfrac{2}{3}\).
Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est irréductible si et seulement si \(\text{PGCD}(a, b) = 1\) (on dit alors que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux).
Rendre une fraction irréductible revient donc toujours à diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Résultat admis -- justification intuitive pour l’addition :
Pour additionner \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\), on réduit au même dénominateur \(bd\) :
\(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad + cb}{bd}\).
Pour la multiplication, on multiplie « en ligne » : \(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}\) car on prend \(c\) parties de \(d\) dans chaque \(b\)-ieme.
La division par \(\frac{c}{d}\) revient à multiplier par l’inverse \(\frac{d}{c}\).
On reprend l’algorithme d’Euclide : tant que \(b \neq 0\), on remplace \((a, b)\) par \((b,\ a \bmod b)\). Le dernier \(a\) non nul est le PGCD.
a = 252 b = 168 while b != 0: r = a % b # reste de la division a = b b = r print("PGCD =", a) # Affiche : PGCD = 84
Pour calculer \(\text{PGCD}(a, b)\) avec \(a \geqslant b > 0\) : on remplace \((a, b)\) par \((b,\ r)\) ou \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\). On recommence jusqu’a obtenir un reste nul : le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple : \(\text{PGCD}(84, 126)\).
Dernier reste non nul : 42. Donc \(\text{PGCD}(84, 126) = 42\).
Calculer \(\text{PPCM}(84, 126)\) connaissant \(\text{PGCD}(84, 126) = 42\) :
\(\text{PPCM}(84, 126) = \dfrac{84 \times 126}{42} = \dfrac{10\,584}{42} = 252\).
Pour additionner deux fractions, on peut réduire au PPCM des dénominateurs (et non au produit), ce qui évite les grandes valeurs.
Exemple : \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4}\). \(\text{PPCM}(6, 4) = 12\).
\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Deux lignes de bus partent simultanément d’une même station à 7 h. La ligne A passe toutes les 12 minutes, la ligne B toutes les 18 minutes. À quelle heure les deux bus se retrouveront-ils à nouveau ensemble à la station ?
Solution. Les passages de la ligne A sont les multiples de 12 ; ceux de B, les multiples de 18. On cherche le premier multiple commun, c’est-à-dire \(\text{PPCM}(12, 18)\).
Calcul : \(\text{PGCD}(12, 18) = 6\), donc \(\text{PPCM}(12, 18) = \dfrac{12 \times 18}{6} = 36\) minutes.
Les deux bus se retrouveront ensemble à 7 h 36, puis à 8 h 12, 8 h 48, etc.
Existe-t-il deux entiers naturels \(a\) et \(b\) tels que \(\text{PGCD}(a, b) = 6\) et \(\text{PPCM}(a, b) = 84\) ? Si oui, en donner un couple.
D’après la relation PGCD-PPCM : \(a \times b = 6 \times 84 = 504\).
On cherche deux entiers de produit 504 et de PGCD 6. Posons \(a = 6a'\) et \(b = 6b'\) avec \(\text{PGCD}(a', b') = 1\) (premiers entre eux). Alors \(a \times b = 36\, a'b' = 504\), soit \(a'b' = 14\).
Les couples \((a', b')\) premiers entre eux vérifiant \(a'b' = 14\) sont : \((1, 14)\) et \((2, 7)\).
On obtient donc deux solutions : \(\boxed{(a, b) = (6, 84)}\) ou \(\boxed{(a, b) = (12, 42)}\).
Vérification pour \((12, 42)\) : \(\text{PGCD}(12, 42) = 6\) ✓ et \(\text{PPCM}(12, 42) = \dfrac{12 \times 42}{6} = 84\) ✓.
Propriété : La somme de deux multiples de \(a\) est un multiple de \(a\).
Soient \(m\) et \(n\) deux multiples de \(a\). Il existe donc des entiers \(k\) et \(k'\) tels que \(m = ka\) et \(n = k'a\).
\(m + n = ka + k'a = (k + k')a.\)
Comme \(k + k'\) est un entier, \(m + n\) est bien un multiple de \(a\). ∎
Propriété : Le carré d’un nombre impair est impair.
Soit \(n\) un nombre impair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\).
\(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1.\)
Comme \(2k^2 + 2k\) est un entier, \(n^2\) est de la forme \(2 \times \text{entier} + 1\), donc \(n^2\) est impair. ∎
Ce résultat sera réutilisé dans la démonstration de l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) (chapitre 2, section 6).
Soit \(n\) un entier. Les trois entiers consécutifs sont \(n\), \(n+1\) et \(n+2\).
Leur somme : \(n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)\)
C’est un multiple de 3. \(\square\)
| Notion | Définition / Propriété |
|---|---|
| \(a\) multiple de \(b\) | Il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a = kb\) |
| Nombre pair | \(n = 2k\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
| Nombre impair | \(n = 2k + 1\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
| Fraction irréductible | \(\text{PGCD}(a, b) = 1\) |
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
On peut donc former : 36 equipes de 1 joueur, 18 equipes de 2, 12 equipes de 3, 9 equipes de 4, 6 equipes de 6, 4 equipes de 9, 3 equipes de 12, 2 equipes de 18, ou 1 equipe de 36.
Il y a 9 organisations possibles (autant que de diviseurs de 36).
\(n^2 + n = n(n + 1)\)
Parmi deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\), l’un est toujours pair. Donc leur produit est toujours pair.
Conclusion : \(n^2 + n\) est toujours pair, quel que soit l’entier \(n\).
Arithmétique et divisibilité : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« 1 est un nombre premier. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Or 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même).
Cette convention est essentielle pour que la décomposition en facteurs premiers soit unique.
Mini-test : combien de diviseurs positifs a le nombre 1 ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les nombres premiers
« \(6 \mid 4 \times 9\), donc \(6 \mid 4\) ou \(6 \mid 9\). »
Cette deduction est-elle correcte ?
\(6 \mid 36\) est vrai, mais \(6 \nmid 4\) et \(6 \nmid 9\). La deduction est donc fausse.
Ce résultat est vrai uniquement si \(a\) est un nombre premier (lemme d’Euclide). Pour un \(a\) compose comme 6, c’est faux.
Si \(p\) est premier et \(p \mid bc\), peut-on conclure \(p \mid b\) ou \(p \mid c\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur la divisibilité
« \(\text{pgcd}(12, 8) \neq \text{pgcd}(12+8,\, 8) = \text{pgcd}(20, 8)\). »
Ces deux PGCD sont-ils differents ?
\(\text{pgcd}(12, 8) = 4\) et \(\text{pgcd}(20, 8) = 4\) : ils sont egaux.
Propriété : \(\text{pgcd}(a, b) = \text{pgcd}(a + kb, b)\) pour tout entier \(k\). C’est ce qui fonde l’algorithme d’Euclide.
Mini-test : \(\text{pgcd}(15, 6)\) est-il egal à \(\text{pgcd}(21, 6)\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur le PGCD et l’algorithme d’Euclide
« Si \(\text{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(a\) ou \(b\) est un nombre premier. »
Cette deduction est-elle toujours vraie ?
Deux nombres peuvent etre premiers entre eux sans qu’aucun ne soit un nombre premier.
Contre-exemple : \(\text{pgcd}(8, 9) = 1\), donc 8 et 9 sont premiers entre eux. Pourtant \(8 = 2^3\) et \(9 = 3^2\) : aucun n’est premier.
Mini-test : \(\text{pgcd}(4, 9)\) vaut :
🔗 Travaille dans les exercices sur les entiers premiers entre eux
« Si \(a\) divise \(b\) et \(a\) divise \(c\), alors \(a\) divise \(b + c\). »
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! Si \(b = ka\) et \(c = la\), alors \(b + c = (k+l)a\).
Plus généralement, \(a\) divise toute combinaison lineaire de \(b\) et \(c\). C’est une propriété fondamentale de la divisibilité.
Mini-test : 6 divise 12 et 6 divise 18. 6 divise-t-il 30 ?
🔗 Voir la section sur la divisibilité