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Chapitre 2 — Nombres réels, intervalles, valeur absolue · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Ensembles de nombres ▾
1

Classification. Base

Pour chaque nombre, indiquer à quels ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) il appartient.

  1. \(-7\)
  2. \(\dfrac{5}{3}\)
  3. \(\sqrt{9}\)
  4. \(\sqrt{5}\)
  5. \(0{,}1\overline{6}\)
  6. \(\pi\)
1. \(-7 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) (pas dans \(\mathbb{N}\))
2. \(\frac{5}{3} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)
3. \(\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}\)
4. \(\sqrt{5} \in \mathbb{R}\) seulement (irrationnel)
5. \(0{,}1\overline{6} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}\) (développement périodique)
6. \(\pi \in \mathbb{R}\) seulement (irrationnel transcendant)
2

Vrai ou faux. Base

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifier.

  1. \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}\)
  2. Tout nombre décimal fini est rationnel.
  3. \(\sqrt{4} \in \mathbb{Q}\)
  4. Il existe un réel qui n’est pas rationnel.
1. Faux : \(-1 \in \mathbb{Z}\) mais \(-1 \notin \mathbb{N}\). C’est \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
2. Vrai : un décimal fini s’écrit \(\frac{p}{10^n}\), c’est un rationnel.
3. Vrai : \(\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{Q}\).
4. Vrai : par exemple \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
🔵 Groupe 2 — Intervalles ▾
3

Traduction inégalité ↔ intervalle. Base

Traduire chaque condition en notation d’intervalle, puis représenter sur la droite réelle.

  1. \(-2 \leq x \leq 5\)
  2. \(x > 3\)
  3. \(x \leq -1\)
  4. \(0 \leq x < 4\)
1. \(x \in [-2\,;\,5]\)
2. \(x \in ]3\,;\,+\infty[\)
3. \(x \in ]-\infty\,;\,-1]\)
4. \(x \in [0\,;\,4[\)
4

Intersection et réunion. Intermédiaire

Calculer \(A \cap B\) et \(A \cup B\) pour :

  1. \(A = [-3\,;\,5]\) et \(B = [1\,;\,8]\)
  2. \(A = ]-\infty\,;\,2[\) et \(B = [-1\,;\,+\infty[\)
  3. \(A = [0\,;\,3]\) et \(B = [5\,;\,7]\)
1. \(A \cap B = [1\,;\,5]\), \(A \cup B = [-3\,;\,8]\)
2. \(A \cap B = [-1\,;\,2[\), \(A \cup B = \mathbb{R}\)
3. \(A \cap B = \emptyset\) (intervalles disjoints), \(A \cup B = [0\,;\,3] \cup [5\,;\,7]\)
5

Appartenance. Base

Parmi les nombres \(-\sqrt{3}\), \(0\), \(1{,}5\), \(\pi\), \(-4\), \(7\), lesquels appartiennent à l’intervalle \([-\sqrt{3}\,;\,\pi]\) ?

\(-\sqrt{3} \approx -1{,}73\) et \(\pi \approx 3{,}14\).
Appartiennent à \([-\sqrt{3}\,;\,\pi]\) : \(-\sqrt{3}\) (borne incluse), \(0\), \(1{,}5\), \(\pi\) (borne incluse).
N’appartiennent pas : \(-4 < -\sqrt{3}\) et \(7 > \pi\).
🟣 Groupe 3 — Valeur absolue ▾
6

Calculs de valeur absolue. Base

Calculer :

  1. \(|{-8}|\)
  2. \(|3 - 7|\)
  3. \(|2 \times (-5)|\)
  4. \(|-\sqrt{3}|\)
  5. \(|(-4)^2|\)
1. \(8\) · 2. \(4\) · 3. \(10\) · 4. \(\sqrt{3}\) · 5. \(16\)
7

Équations avec valeur absolue. Intermédiaire

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \(|x| = 4\)
  2. \(|x - 3| = 2\)
  3. \(|2x + 1| = 5\)
  4. \(|x + 2| = -1\)
1. \(x = 4\) ou \(x = -4\). \(S = \{-4\,;\,4\}\).
2. \(x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5\) ou \(x - 3 = -2 \Rightarrow x = 1\). \(S = \{1\,;\,5\}\).
3. \(2x + 1 = 5 \Rightarrow x = 2\) ou \(2x + 1 = -5 \Rightarrow x = -3\). \(S = \{-3\,;\,2\}\).
4. Impossible (\(|\cdot| \geq 0 > -1\)). \(S = \emptyset\).
8

Inéquations avec valeur absolue. Intermédiaire

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) et donner la solution sous forme d’intervalle :

  1. \(|x| \leq 3\)
  2. \(|x - 2| < 4\)
  3. \(|2x - 1| \geq 5\)
  4. \(|x + 3| > 1\)
1. \(-3 \leq x \leq 3\), donc \(x \in [-3\,;\,3]\).
2. \(-4 < x - 2 < 4\), soit \(-2 < x < 6\), donc \(x \in ]-2\,;\,6[\).
3. \(2x - 1 \leq -5\) ou \(2x - 1 \geq 5\), soit \(x \leq -2\) ou \(x \geq 3\). \(x \in ]-\infty\,;\,-2] \cup [3\,;\,+\infty[\).
4. \(x + 3 < -1\) ou \(x + 3 > 1\), soit \(x < -4\) ou \(x > -2\). \(x \in ]-\infty\,;\,-4[ \cup ]-2\,;\,+\infty[\).
🔴 Groupe 4 — Problèmes ▾
9

Distance et précision. Intermédiaire

Une machine fabrique des pièces de longueur nominale \(50\) mm avec une tolérance de \(\pm 0{,}3\) mm. Exprimer à l’aide d’une valeur absolue et d’un intervalle l’ensemble des longueurs \(x\) acceptables.

Condition : \(|x - 50| \leq 0{,}3\), c’est-à-dire \(x \in [49{,}7\,;\,50{,}3]\).
10

Problème d’approfondissement. Approfondissement

Montrer que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. (Raisonnement par l’absurde : supposer \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\) avec \(\text{pgcd}(p,q) = 1\) et aboutir à une contradiction.)

Supposons \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) avec \(p, q \in \mathbb{Z}^*\) et \(\text{pgcd}(p,q) = 1\).
Alors \(2 = \frac{p^2}{q^2}\), soit \(p^2 = 2q^2\). Donc \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair : \(p = 2k\).
Ainsi \(4k^2 = 2q^2\), soit \(q^2 = 2k^2\). Donc \(q\) est pair.
Mais alors \(p\) et \(q\) sont tous deux pairs, ce qui contredit \(\text{pgcd}(p,q) = 1\). Contradiction.
Donc \(\sqrt{2}\) est irrationnel. \(\square\)
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