Seconde — Nouveau programme (BO 2026) · Math@mine
Un agriculteur dispose de 40 mètres de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire le long d’un mur (qui sert d’un côté). Quelles dimensions choisir pour que l’aire de l’enclos soit maximale ?
Pierre de Fermat (1601–1665), magistrat toulousain et mathématicien amateur de génie, a été le premier à proposer une méthode systématique pour trouver les extremums d’une fonction. Sa méthode d'« adéquation » (1636) est considérée comme un précurseur du calcul différentiel.
Fermat cherchait les valeurs où une petite variation de \(x\) ne change pas (ou presque) la valeur de \(f(x)\) : c’est le principe du « maximum ou minimum ».
📜 Lire l’article — Archimède et Ibn al-Haytham : mesurer l’impossible →
Parmi tous les rectangles de périmètre 20 cm, lequel a l’aire maximale ?
Ce chapitre utilise les fonctions de référence étudiees au chapitre 10 (affine, valeur absolue, carré, inverse, racine carrée, cube, racine cubique). Leurs variations et leurs courbes seront utilisees comme exemples.
Soient \(x_1 \leqslant x_2\) dans \(\mathbb{R}\).
\(f(x_2) - f(x_1) = (3x_2 + 2) - (3x_1 + 2) = 3(x_2 - x_1)\).
Or \(x_2 - x_1 \geqslant 0\) et \(3 > 0\), donc \(3(x_2 - x_1) \geqslant 0\), soit \(f(x_2) - f(x_1) \geqslant 0\).
Donc \(f\) est bien croissante sur \(\mathbb{R}\). \(\square\)
La fonction \(f(x) = x^2\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\, 0]\) et croissante sur \([0\,;\, +\infty[\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | \(\searrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La fonction \(f(x) = x^2\) admet un minimum égal à 0, atteint en \(x = 0\). Elle n’admet pas de maximum sur \(\mathbb{R}\).
Soient \(a \leqslant b\). Alors \(f(b) - f(a) = m(b - a)\).
Si \(m > 0\) : \(b - a \geqslant 0\) donc \(f(b) - f(a) \geqslant 0\), soit \(f(a) \leqslant f(b)\) : \(f\) est croissante.
Si \(m < 0\) : \(f(b) - f(a) \leqslant 0\), soit \(f(a) \geqslant f(b)\) : \(f\) est décroissante.
Le nombre \(m\) est le taux d’accroissement : \(m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).
Soient \(0 \leqslant a \leqslant b\). Alors :
\(b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\).
Comme \(b \geqslant a \geqslant 0\), on a \(b - a \geqslant 0\) et \(b + a \geqslant 0\), donc \(b^2 - a^2 \geqslant 0\), soit \(a^2 \leqslant b^2\). ✓
Soient \(0 < a \leqslant b\). Alors :
\(\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}\).
Comme \(a \leqslant b\), on a \(a - b \leqslant 0\), et \(ab > 0\), donc \(\frac{a - b}{ab} \leqslant 0\), soit \(\frac{1}{b} \leqslant \frac{1}{a}\). ✓
| Fonction | Ensemble de définition | Variations |
|---|---|---|
| \(x \mapsto mx + p\) (\(m > 0\)) | \(\mathbb{R}\) | Croissante sur \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto mx + p\) (\(m < 0\)) | \(\mathbb{R}\) | Décroissante sur \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto |x|\) | \(\mathbb{R}\) | Décroissante sur \(]-\infty, 0]\), croissante sur \([0, +\infty[\) |
| \(x \mapsto x^2\) | \(\mathbb{R}\) | Décroissante sur \(]-\infty, 0]\), croissante sur \([0, +\infty[\) |
| \(x \mapsto \frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}^*\) | Décroissante sur \(]-\infty, 0[\) et sur \(]0, +\infty[\) |
| \(x \mapsto \sqrt{x}\) | \([0, +\infty[\) | Croissante sur \([0, +\infty[\) |
| ⭐ \(x \mapsto x^3\) (approfondissement) | \(\mathbb{R}\) | Croissante sur \(\mathbb{R}\) |
| ⭐ \(x \mapsto \sqrt[3]{x}\) (approfondissement) | \(\mathbb{R}\) | Croissante sur \(\mathbb{R}\) |
Chaque résultat de ce tableau est démontré dans les sections précédentes du chapitre ou dans les chapitres antérieurs :
Pour \(x \geqslant 0\), on étudie le signe de \(x^2 - x = x(x - 1)\).
Les courbes se croisent en \(x = 0\) et \(x = 1\).
Avec 40 m de clôture le long d’un mur, l’aire est \(A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x\) pour \(x \in ]0\,;\, 20[\).
On développe : \(A(x) = -2(x^2 - 20x) = -2(x^2 - 20x + 100 - 100) = -2(x - 10)^2 + 200\).
La forme canonique montre que \(A(x) \leqslant 200\) pour tout \(x\), avec égalité quand \(x = 10\).
Le maximum est \(A(10) = 200\) m2, obtenu pour un enclos de 10 m sur 20 m.
La boîte en carton : \(V(x) = x(20 - 2x)(30 - 2x)\) sur \(]0\,;\,10[\). On cherche \(x\) qui maximise \(V\) en resserrant le pas.
def V(x): return x * (20 - 2*x) * (30 - 2*x) x_max = 1 V_max = V(1) for k in range(10, 100): # x = 1.0, 1.1, ..., 9.9 x = k / 10 if V(x) > V_max: V_max = V(x) x_max = x print(f"x optimal ≈ {x_max}, V max ≈ {V_max:.1f}") # 3.9 et ~1056
On trouve un maximum aux alentours de \(x = 3{,}9\) cm, avec \(V \approx 1\,056\ \text{cm}^3\). Un pas plus fin donnerait plus de précision.
Pour approfondir, d'autres applets s'ouvrent en plein écran dans un nouvel onglet :
Banque complète (1245 applets) — voir le catalogue GeoGebra.
| Notion | Définition / Propriété |
|---|---|
| Croissante sur I | \(a \leqslant b \implies f(a) \leqslant f(b)\) |
| Décroissante sur I | \(a \leqslant b \implies f(a) \geqslant f(b)\) |
| Maximum M sur I | \(f(x) \leqslant M\) pour tout \(x \in I\) |
| Taux d’accroissement | \(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) |
| Position relative | Signe de \(f(x) - g(x)\) |
Si \(x\) est la largeur (perpendiculaire au mur) et \(40 - 2x\) la longueur, l’aire de l’enclos est \(\mathcal{A}(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x\), pour \(x \in \,]0\,;\,20[\).
Méthode du tableau de valeurs :
| \(x\) | 2 | 5 | 8 | 10 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathcal{A}(x)\) | 72 | 150 | 192 | 200 | 192 | 150 | 72 |
Le maximum apparaît en \(x = 10\). Par symétrie du tableau, on conjecture \(\mathcal{A}\) maximale exactement en ce point.
Vérification par forme canonique. \(\mathcal{A}(x) = -2(x^2 - 20x) = -2\bigl((x-10)^2 - 100\bigr) = -2(x-10)^2 + 200\).
Comme \(-2(x-10)^2 \leq 0\) pour tout \(x\), l’aire est maximale lorsque \((x-10)^2 = 0\), donc en \(x = 10\).
Conclusion : l’enclos optimal a pour largeur \(\mathbf{10}\) m et longueur \(\mathbf{20}\) m, pour une aire maximale de \(\mathbf{200\ \text{m}^2}\).
Si la longueur est \(x\), la largeur est \(\frac{20 - 2x}{2} = 10 - x\). L’aire est \(A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x\).
On reconnait une fonction du second degré avec \(a = -1 < 0\), donc la parabole est tournée vers le bas.
Le maximum est atteint en \(x = -\frac{10}{2 \times (-1)} = 5\). La largeur est aussi \(10 - 5 = 5\).
Le rectangle d’aire maximale est le carré de côté 5 cm, d’aire 25 cm2.
Variations et extremums : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.
« Si \(f(a) < f(b)\) alors \(f\) est croissante sur \([a,b]\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. La fonction peut « osciller » entre \(a\) et \(b\). Pour être croissante, il faut que pour tout \(x_1 < x_2\) dans \([a,b]\), on ait \(f(x_1) \leq f(x_2)\), pas seulement aux bornes.
Mini-test : une fonction peut-elle avoir \(f(0) < f(10)\) sans être croissante sur \([0,10]\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les variations
« Le maximum de \(f\) est la plus grande valeur de \(x\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. Le maximum de \(f\) est la plus grande valeur de \(f(x)\), c’est-à-dire la plus grande ordonnée atteinte sur la courbe, pas la plus grande abscisse.
Mini-test : si \(f(2) = 10\) et \(f(5) = 3\), le maximum est :
🔗 Travaille dans les exercices sur les extremums
« Si \(f\) est croissante et \(g\) est décroissante, alors \(f - g\) est décroissante. »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. \(f - g = f + (-g)\). Si \(g\) est décroissante, alors \(-g\) est croissante. Donc \(f - g\) est la somme de deux fonctions croissantes : elle est croissante.
Mini-test : si \(f\) est croissante et \(g\) décroissante, \(f - g\) est :
🔗 Travaille dans les exercices sur les opérations et variations
« Si \(f\) est croissante sur \([0,3]\) et sur \([5,8]\) alors \(f\) est croissante sur \([0,8]\). »
Cette affirmation est-elle vraie ?
FAUX. On n’a aucune information sur \(f\) sur l’intervalle \([3,5]\). La fonction pourrait y décroître fortement. La croissance ne se « transmet » pas d’un intervalle à un autre s’ils ne sont pas contigus.
Mini-test : \(f\) est croissante sur \([0,3]\) et sur \([3,8]\). Est-elle croissante sur \([0,8]\) ?
🔗 Travaille dans les exercices sur les variations
« Si \(f\) est croissante sur \([a,b]\) alors pour tout \(x_1 < x_2\) dans \([a,b]\), \(f(x_1) \leq f(x_2)\). »
Cette affirmation n’est-elle vraie ou fausse ?
C’est VRAI ! C’est exactement la définition d’une fonction croissante sur un intervalle : l’ordre des images respecte l’ordre des antécédents.
Mini-test : \(f\) croissante sur \([1,5]\) avec \(f(2) = 3\) et \(f(4) = 7\). A-t-on \(f(2) \leq f(4)\) ?
🔗 Voir la section sur les variations