Information chiffrée : proportions, évolutions – Cours 2nde

Sommaire

1. Proportions et pourcentages (rappels) 2. Pourcentage d’un pourcentage 3. Variation absolue et variation relative 4. Coefficient multiplicateur 5. Évolutions successives 6. Évolution reciproque 7. Taux moyen d’évolution Bilan — Formules essentielles !Pieges et contre-exemples

Soldes : -30 % puis -20 %, c’est -50 % ?

Pendant les soldes, un magasin affiche -30 % sur un article a 200 €. La semaine suivante, une remise supplementaire de -20 % est appliquee sur le prix déjà solde.

Quel est le prix final ? A-t-on obtenu une reduction totale de 50 % ? Pourquoi ?
→ Solution en fin de chapitre.

→ Solution complète en fin de chapitre

Les pourcentages dans le commerce medieval

L’usage des pourcentages s’est développé au Moyen Age avec le commerce international. Les marchands italiens du XV^e siecle utilisaient l’expression per cento (pour cent) pour exprimer les taux d’interet et les taxes commerciales.

Le symbole % est apparu progressivement : d’abord écrit « p. 100 », puis « p. cento », il s’est simplifie au fil des siecles pour devenir le symbole que nous connaissons. Les calculs de pourcentages etaient essentiels pour les grandes foires commerciales de l’epoque.

Augmentation puis baisse : retour à la case depart ?

Un prix augmente de 25 %, puis baisse de 20 %. Retrouve-t-on le prix initial ?

Indice : calculer le coefficient multiplicateur global.

→ Solution complète en fin de chapitre

1. Proportions et pourcentages (rappels)

Définition — Proportion

La proportion d’une sous-population A dans une population E est le rapport : \[p = \frac{\text{effectif de } A}{\text{effectif de } E} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(E)}\] C’est un nombre compris entre 0 et 1. On l’exprime souvent en pourcentage : \(p \times 100\) %.

Exemple

Dans une classe de 35 élèves, 14 sont des filles. La proportion de filles est \(\frac{14}{35} = 0{,}4 = 40\,\%\).

La proportion de filles correspond à la part rouge : \(\dfrac{14}{35} = 0{,}4 = 40\,\%\).

Méthode — Calculer une partie ou un tout

Partie = Tout \(\times\) Proportion : 40 % de 35 = \(0{,}4 \times 35 = 14\)
Tout = Partie \(\div\) Proportion : si 14 representent 40 %, le total est \(\frac{14}{0{,}4} = 35\)

2. Pourcentage d’un pourcentage

Propriété — Pourcentage de pourcentage

Prendre \(p_1\) % d’un ensemble, puis \(p_2\) % de cette partie, revient a prendre \(\dfrac{p_1 \times p_2}{100}\) % de l’ensemble initial.

En termes de proportions : si \(A \subset B \subset E\), alors :

\[\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(E)} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(B)} \times \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(E)}\]

Preuve

Si \(A \subset B \subset E\), alors :

\(\frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(E)} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(B)} \times \frac{\text{Card}(B)}{\text{Card}(E)}\).

En effet, le membre de droite se simplifie : \(\frac{\text{Card}(A) \times \text{Card}(B)}{\text{Card}(B) \times \text{Card}(E)} = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(E)}\). \(\square\)

Exemple

Dans un lycee, 60 % des élèves font du sport. Parmi les sportifs, 25 % font du football.

Proportion de footballeurs dans le lycee : \(0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15\,\%\).

Attention

25 % de 60 %, ce n’est pas 85 % (on ne les additionne pas) et ce n’est pas 25 % non plus (l’ensemble de reference a change).

3. Variation absolue et variation relative

Définition — Variation absolue (variation additive)

Lorsqu’une grandeur passe de la valeur \(V_1\) à la valeur \(V_2\), la variation absolue est : \[\Delta V = V_2 - V_1\] Elle s’exprime dans la même unite que la grandeur.

Définition — Variation relative (taux d’evolution)

La variation relative (ou taux d’evolution) est : \[t = \frac{V_2 - V_1}{V_1} = \frac{\Delta V}{V_1}\] Elle s’exprime en pourcentage (sans unite).

Exemple

Un article passe de 80 € a 100 €.

Variation absolue : \(100 - 80 = 20\) €
Variation relative : \(\frac{100 - 80}{80} = \frac{20}{80} = 0{,}25 = 25\,\%\)

Le prix a augmente de 20 € (en valeur absolue) soit +25 % (en valeur relative).

Ne pas confondre

Si le taux de chomage passe de 8 % a 10 %, la variation absolue est +2 points de pourcentage, mais la variation relative est \(\frac{10-8}{8} = +25\,\%\).

4. Coefficient multiplicateur

Définition — Coefficient multiplicateur

Le coefficient multiplicateur associe a une evolution de taux \(t\) est : \[\text{CM} = 1 + t = \frac{V_2}{V_1}\] On a donc : \(V_2 = \text{CM} \times V_1\).

Propriété — Lien taux / coefficient multiplicateur

Augmenter de \(t\,\%\), c’est multiplier par \(1 + \frac{t}{100}\)
Diminuer de \(t\,\%\), c’est multiplier par \(1 - \frac{t}{100}\)

Preuve

Augmenter de \(t\,\%\) signifie passer de \(V_1\) a \(V_2 = V_1 + \frac{t}{100} V_1 = V_1\left(1 + \frac{t}{100}\right)\).

Le coefficient multiplicateur est donc \(\frac{V_2}{V_1} = 1 + \frac{t}{100}\).

De même, diminuer de \(t\,\%\) donne \(V_2 = V_1 - \frac{t}{100} V_1 = V_1\left(1 - \frac{t}{100}\right)\). \(\square\)

Exemples

Évolution	Taux	CM
Augmenter de 5 %	\(+0{,}05\)	\(1{,}05\)
Diminuer de 30 %	\(-0{,}30\)	\(0{,}70\)
Doubler	\(+1 = +100\,\%\)	\(2\)
Diviser par 4	\(-0{,}75 = -75\,\%\)	\(0{,}25\)

Méthode — Retrouver le taux à partir du CM

\(t = \text{CM} - 1\). On multiplie ensuite par 100 pour l’exprimer en pourcentage.

Exemple : CM = 0,85. Taux : \(0{,}85 - 1 = -0{,}15 = -15\,\%\). C’est une baisse de 15 %.

5. Évolutions successives

Propriété — Produit des coefficients multiplicateurs

Lorsqu’une grandeur subit deux evolutions successives de coefficients multiplicateurs \(\text{CM}_1\) et \(\text{CM}_2\), le coefficient multiplicateur global est : \[\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2\] Le taux global n’est pas la somme des taux.

Preuve

Apres la première evolution : \(V_2 = \text{CM}_1 \times V_1\).

Apres la deuxième evolution : \(V_3 = \text{CM}_2 \times V_2 = \text{CM}_2 \times \text{CM}_1 \times V_1\).

Donc \(\text{CM}_{\text{global}} = \frac{V_3}{V_1} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2\). \(\square\)

Exemple

Un prix augmente de 20 % puis diminue de 10 %.

\(\text{CM}_1 = 1{,}20\), \(\text{CM}_2 = 0{,}90\)
\(\text{CM}_{\text{global}} = 1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08\)
Taux global : \(1{,}08 - 1 = +0{,}08 = +8\,\%\)

Ce n’est pas \(+20\% - 10\% = +10\%\) ! L’évolution globale est une hausse de 8 %.

On multiplie les coefficients : \(+20\,\%\) suivi de \(-10\,\%\) donne \(+8\,\%\), pas \(+10\,\%\).

Generalisation a \(n\) evolutions

Pour \(n\) evolutions successives : \(\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2 \times \cdots \times \text{CM}_n\).

6. Évolution reciproque

Définition — Évolution reciproque

L'evolution reciproque d’une evolution est celle qui permet de revenir à la valeur initiale.

Propriété — Inverse du coefficient multiplicateur

Si une evolution a pour coefficient multiplicateur CM, l’evolution reciproque a pour coefficient multiplicateur : \[\text{CM}_{\text{reciproque}} = \frac{1}{\text{CM}}\] car \(\text{CM} \times \text{CM}_{\text{reciproque}} = 1\).

Preuve

L’evolution initiale donne \(V_2 = \text{CM} \times V_1\).

L’evolution reciproque doit redonner \(V_1\) à partir de \(V_2\) : \(V_1 = \text{CM}_r \times V_2\).

Donc \(V_1 = \text{CM}_r \times \text{CM} \times V_1\), soit \(\text{CM}_r \times \text{CM} = 1\), d’ou \(\text{CM}_r = \frac{1}{\text{CM}}\). \(\square\)

Exemple

Un prix augmente de 25 %. CM = 1,25.

Pour revenir au prix initial : \(\text{CM}_{\text{reciproque}} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}80\).

Il faut donc appliquer une baisse de 20 % (et non de 25 %).

Méthode — Trouver le taux reciproque

Calculer le CM de l’evolution initiale : \(\text{CM} = 1 + t\)
Calculer l’inverse : \(\text{CM}_r = \frac{1}{\text{CM}}\)
En déduire le taux reciproque : \(t_r = \text{CM}_r - 1\)

Exemple : Baisse de 40 %. CM = 0,60. Réciproque : \(\frac{1}{0{,}60} \approx 1{,}667\). Taux reciproque : \(+66{,}7\,\%\).

Attention — Asymétrie

Après une baisse de 40 %, il faut une hausse de 66,7 % pour revenir au prix initial ! L’évolution réciproque n’est jamais « l’opposé » sauf quand le taux est 0 %.

Pour défaire une baisse de 40 %, il ne faut pas une hausse de 40 % — mais de 66,7 % (car \(1/0{,}6 \approx 1{,}667\)).

🐍 Python — Interets composes a 3 % par an

On place 1 000 € à un taux annuel de 3 %. Le capital est multiplié chaque année par le coefficient \(1{,}03\). Combien après 10 ans ?

capital = 1000
taux = 0.03

for annee in range(1, 11):
    capital = capital * (1 + taux)
    print(f"Année {annee} : {capital:.2f} €")

Au bout de 10 ans, le capital est multiplié par \(1{,}03^{10} \approx 1{,}344\). Il atteint environ 1 343,92 €.

7. Taux moyen d’évolution

Définition — Taux moyen d’évolution

Lorsqu’une grandeur subit \(n\) évolutions successives équivalant à une évolution globale de coefficient multiplicateur \(\text{CM}_{\text{global}}\), le taux moyen \(t_{\text{m}}\) (par période) est le taux unique qui, appliqué \(n\) fois, donnerait la même évolution globale. Son coefficient multiplicateur vaut : \[\text{CM}_{\text{moyen}} = \sqrt[n]{\text{CM}_{\text{global}}} = (\text{CM}_{\text{global}})^{1/n}\] puis \(t_{\text{m}} = \text{CM}_{\text{moyen}} - 1\).

⚠️ Attention — Ce n’est pas une moyenne arithmétique !

Le taux moyen n’est pas obtenu en divisant le taux global par \(n\). Les évolutions étant multiplicatives, on utilise une racine \(n\)-ième (moyenne géométrique).

Par exemple, une baisse de 20 % sur 3 ans ne correspond pas à \(-20/3 \approx -6{,}7\,\%\) par an, mais à \(-7{,}17\,\%\) par an environ.

Exemple — Placement sur 5 ans

Un capital a été multiplié par \(1{,}50\) en 5 ans. Quel est le taux annuel moyen ?

\(\text{CM}_{\text{moyen}} = 1{,}50^{1/5} \approx 1{,}0845\), soit environ \(+8{,}45\,\%\) par an.

Vérification : \(1{,}0845^5 \approx 1{,}500\). ✓

Exemple — Baisse du prix d’un produit

Un produit a perdu \(20\,\%\) en 3 ans. Taux annuel moyen ?

\(\text{CM}_{\text{global}} = 0{,}80\). \(\text{CM}_{\text{moyen}} = 0{,}80^{1/3} \approx 0{,}9283\), soit \(-7{,}17\,\%\) par an.

🐍 Python — Taux moyen

def taux_moyen(cm_global, n):
    cm_moyen = cm_global ** (1 / n)
    return (cm_moyen - 1) * 100   # en %

print(taux_moyen(1.50, 5))   # 8.447...
print(taux_moyen(0.80, 3))   # -7.168...

Bilan — Formules essentielles

Notion	Formule
Proportion	\(p = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(E)}\)
Variation absolue	\(\Delta V = V_2 - V_1\)
Variation relative (taux)	\(t = \frac{V_2 - V_1}{V_1}\)
Coefficient multiplicateur	\(\text{CM} = 1 + t = \frac{V_2}{V_1}\)
Évolutions successives	\(\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2\)
Évolution reciproque	\(\text{CM}_r = \frac{1}{\text{CM}}\)

Retenir :

Les taux d’evolution ne s’additionnent pas : on multiplie les coefficients multiplicateurs.
L’evolution reciproque utilise l'inverse du CM, pas l’oppose du taux.
Pourcentage de pourcentage = produit des proportions.

Solution du problème d’ouverture

Article a 200 €. Premiere remise de 30 % : \(200 \times 0{,}70 = 140\) €.

Deuxieme remise de 20 % sur 140 € : \(140 \times 0{,}80 = 112\) €.

Prix final : 112 €.

Si c’etait -50 %, on aurait \(200 \times 0{,}50 = 100\) €. Or \(112 \neq 100\).

Le CM global est \(0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56\), soit une baisse totale de 44 % (et non 50 %).

Solution de l’énigme — Augmentation puis baisse : retour à la case depart ?

Augmenter de 25 %, c’est multiplier par \(1{,}25\). Baisser de 20 %, c’est multiplier par \(0{,}80\).

Coefficient global : \(1{,}25 \times 0{,}80 = 1{,}00\).

Oui, on retrouve exactement le prix initial ! Ce n’est pas un hasard : \(\frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1\). Les deux evolutions sont reciproques l’une de l’autre.

Pieges et contre-exemples

Information chiffree : teste d’abord ton intuition, puis lis l’explication.

Score : 0 / 6 pieges identifies

1 On additionne les pourcentages

« Une baisse de 30 % suivie d’une baisse de 20 %, c’est une baisse de 50 %. »

Cette affirmation est-elle correcte ?

Explication

Les pourcentages ne s’additionnent pas. On multiplie les CM : \(0{,}70 \times 0{,}80 = 0{,}56\), soit une baisse de 44 %, pas 50 %.

La deuxième baisse s’applique au prix déjà reduit, pas au prix initial.

Toujours multiplier les CM, jamais additionner les taux.

Mini-test : +10 % puis +10 %, c’est :

Voir section 5 — Évolutions successives

2 Taux moyen = taux global / n

« Un prix baisse de 20 % en 3 ans, donc il baisse de \(20/3 \approx 6{,}7\,\%\) par an en moyenne. »

Ce calcul est-il correct ?

Explication

Le taux moyen se calcule avec la racine \(n\)-ieme du CM global, pas par division.

\(\text{CM}_{\text{moyen}} = \sqrt[3]{0{,}80} \approx 0{,}9283\), soit \(\approx -7{,}17\,\%\) par an (pas \(-6{,}67\,\%\)).

L’evolution est multiplicative, pas additive.

Taux moyen = \((\text{CM}_{\text{global}}^{1/n} - 1) \times 100\). Jamais une simple division.

Mini-test : un prix passe de 100 euros a 121 euros en 2 ans. Le taux annuel moyen est :

Voir section 5 — Évolutions successives

3 Point de pourcentage vs pourcentage

« Le chomage passe de 10 % a 8 %. Il a baisse de 2 %. »

Cette phrase est-elle rigoureuse ?

Explication

Il faut distinguer :

Variation absolue : \(8 - 10 = -2\) points de pourcentage
Variation relative : \(\frac{8-10}{10} \times 100 = -20\,\%\)

Dire « baisse de 2 % » est ambigu. On doit dire « baisse de 2 points » ou « baisse de 20 % en valeur relative ».

« Points de pourcentage » = variation absolue. « Pourcentage de variation » = variation relative.

Mini-test : le taux passe de 5 % a 6 %. La hausse en valeur relative est :

Voir section 3 — Variation absolue et relative

4 Indice base 100 = valeur

« L’indice des prix est de 115. Cela signifie que les prix valent 115 euros. »

Cette interprétation est-elle correcte ?

Explication

Un indice de 115 signifie que la grandeur a augmente de 15 % par rapport a l’annee de reference (base 100). Ce n’est pas une valeur en euros.

Si la valeur de reference etait 80 euros, la valeur actuelle est \(80 \times \frac{115}{100} = 92\) euros, pas 115 euros.

Un indice seul ne donne pas la valeur absolue — il faut toujours connaitre la valeur de reference.

L’indice mesure une evolution relative par rapport a une reference, pas une valeur absolue.

Mini-test : indice 90 en base 100 (2020). L’evolution depuis 2020 est :

Voir section 4 — Coefficient multiplicateur

5 Moyenne simple des proportions

« Groupe A : 80 % de reussite. Groupe B : 60 % de reussite. Le taux global est \((80+60)/2 = 70\,\%\). »

Ce calcul est-il correct ?

Explication

On ne peut pas faire la moyenne simple si les groupes n’ont pas le même effectif. Il faut une moyenne ponderee.

Exemple : A = 20 élèves (80 % soit 16 recus), B = 30 élèves (60 % soit 18 recus).

Taux global = \(\frac{16+18}{20+30} = \frac{34}{50} = 68\,\%\), pas 70 %.

Proportion globale = \(\frac{n_1 p_1 + n_2 p_2}{n_1 + n_2}\) (ponderer par les effectifs).

Mini-test : Classe A (10 élèves, 90 % reussite) et Classe B (40 élèves, 50 % reussite). Le taux global est :

Voir section 2 — Pourcentage d’un pourcentage

6 Hausse et baisse qui s’annulent

« Une hausse de 25 % suivie d’une baisse de 20 % ramene exactement au prix initial. »

Cette affirmation est-elle vraie ?

Explication

C’est vrai ! \(\text{CM} = 1{,}25 \times 0{,}80 = 1{,}00\). Le CM global vaut exactement 1, donc on retrouve le prix initial.

C’est parce que \(0{,}80 = \frac{1}{1{,}25}\) : la baisse de 20 % est le taux reciproque exact de la hausse de 25 %.

Attention : cela ne fonctionne pas avec +20 % puis \(-20\,\%\) (\(1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96 \neq 1\)).

Pour annuler une hausse de \(t\,\%\), il faut une baisse de \(\frac{t}{1+t/100}\,\%\), pas de \(t\,\%\).

Mini-test : quelle baisse annule exactement une hausse de 50 % ?

Voir section 6 — Évolution reciproque

➡️ Pour la suite

Ch. 13 — Statistique descriptive et écart type — Tu analyseras la dispersion d’une série de données (moyenne, médiane, écart type, diagrammes en boîte).

Chapitre 12 — Information chiffrée : proportions, évolutions

Soldes : -30 % puis -20 %, c’est -50 % ?

Les pourcentages dans le commerce medieval

Augmentation puis baisse : retour à la case depart ?

1. Proportions et pourcentages (rappels)

2. Pourcentage d’un pourcentage

3. Variation absolue et variation relative

4. Coefficient multiplicateur

5. Évolutions successives

6. Évolution reciproque

7. Taux moyen d’évolution

Bilan — Formules essentielles

Pieges et contre-exemples