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Chapitre 11 — Variations et extremums · Exercices

Seconde 2026 — Mathématiques générales · Math@mine

📖 Cours ✏️ Exercices
🟢 Groupe 1 — Lire un tableau de variations ▾
1

Lecture directe. Base

On donne le tableau de variations de \(f\) sur \([-3\,;\,5]\) :

\(x\)\(-3\)\(1\)\(4\)\(5\)
\(f(x)\) \(-4\) ↗ \(6\) ↘ \(0\) ↗ \(2\)
  1. Sur quels intervalles \(f\) est-elle croissante ? Décroissante ?
  2. Donner le maximum local et le minimum local de \(f\).
  3. Donner le maximum global et le minimum global de \(f\) sur \([-3\,;\,5]\).
  4. Combien de solutions l’équation \(f(x) = 3\) admet-elle sur \([-3\,;\,5]\) ?
  5. Résoudre \(f(x) \geq 2\) (donner un encadrement).
1. Croissante sur \([-3\,;\,1]\) et \([4\,;\,5]\). Décroissante sur \([1\,;\,4]\).
2. Maximum local : \(f(1)=6\). Minimum local : \(f(4)=0\).
3. Maximum global : \(6\) (en \(x=1\)). Minimum global : \(-4\) (en \(x=-3\)).
4. Sur \([-3\,;\,1]\) : \(f\) croît de \(-4\) à \(6\), donc \(3\) est atteint une fois.
Sur \([1\,;\,4]\) : \(f\) décroît de \(6\) à \(0\), donc \(3\) est atteint une fois.
Sur \([4\,;\,5]\) : \(f\) croît de \(0\) à \(2 < 3\), donc \(3\) n’est pas atteint.
Au total : 2 solutions.
5. \(f(x)\geq2\) : sur \([1\,;\,4]\), \(f\) descend de 6 à 0 et vaut 2 en un certain point entre 1 et 4 ; sur \([4\,;\,5]\), \(f\) atteint 2 en \(x=5\). Sans expression exacte on peut dire : \(f(x)\geq2\) pour \(x\in[\,x_1\,;\,5\,]\) où \(x_1\in[1\,;\,4]\) est l’antécédent de 2 sur la phase décroissante, plus \(x=5\).
2

Construire un tableau à partir d’une courbe. Base

1 -1 2 -2 1 2 -1 -2 f
  1. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-4\,;\,4]\).
  2. Identifier les extremums locaux et préciser s’ils sont aussi globaux.
1.
\(x\)\(-4\)\(-1\)\(2\)\(4\)
\(f(x)\)\(3\)↘\(-2\)↗\(2\)↘\(-1\)
2. Minimum local en \(x=-1\) : \(f(-1)=-2\). C’est aussi le minimum global sur \([-4\,;\,4]\).
Maximum local en \(x=2\) : \(f(2)=2\). Le maximum global est \(f(-4)=3\), pas en \(x=2\).
🔵 Groupe 2 — Monotonie et comparaisons ▾
3

Comparer des images par monotonie. Base

On sait que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,10]\) et croissante sur \([10\,;\,20]\).

  1. Comparer \(f(3)\) et \(f(7)\).
  2. Comparer \(f(12)\) et \(f(15)\).
  3. Peut-on comparer directement \(f(3)\) et \(f(15)\) ? Pourquoi ?
  4. Quel est le minimum de \(f\) sur \([0\,;\,20]\) ?
1. \(f\) décroissante sur \([0\,;\,10]\) et \(3 < 7\) donc \(f(3) > f(7)\).
2. \(f\) croissante sur \([10\,;\,20]\) et \(12 < 15\) donc \(f(12) < f(15)\).
3. Non — \(3\) et \(15\) sont sur des intervalles différents de monotonie. On ne peut pas conclure sans valeurs numériques.
4. En \(x = 10\) (point de changement de monotonie, c’est un minimum local et global sur \([0\,;\,20]\)).
4

Nombre de solutions par tableau de variations. Intermédiaire

On donne le tableau de variations de \(g\) sur \([-2\,;\,6]\) :

\(x\)\(-2\)\(0\)\(3\)\(6\)
\(g(x)\)\(5\)↘\(-3\)↗\(8\)↘\(1\)

Pour chaque valeur de \(k\), déterminer le nombre de solutions de \(g(x) = k\) sur \([-2\,;\,6]\).

  1. \(k = 0\)
  2. \(k = 6\)
  3. \(k = 9\)
  4. \(k = -5\)
1. \(k=0\) : sur \([-2\,;\,0]\) \(g\) décroît de 5 à -3 → passe par 0 une fois. Sur \([0\,;\,3]\) \(g\) croît de -3 à 8 → passe par 0 une fois. Sur \([3\,;\,6]\) \(g\) décroît de 8 à 1 : \(0 < 1\) donc non. 2 solutions.
2. \(k=6\) : \([-2\,;\,0]\) : non (\(6>5\)). \([0\,;\,3]\) : de -3 à 8, passe par 6, une fois. \([3\,;\,6]\) : de 8 à 1, passe par 6, une fois. 2 solutions.
3. \(k=9\) : maximum de \(g\) est 8 (en \(x=3\)) → \(9 > 8\). 0 solution.
4. \(k=-5\) : minimum de \(g\) est -3 (en \(x=0\)) → \(-5 < -3\). 0 solution.
🟣 Groupe 3 — Problèmes d’optimisation ▾
5

Périmètre et aire. Intermédiaire

On dispose de 60 m de clôture pour enclore un jardin rectangulaire. On note \(x\) la largeur (en mètres).

  1. Exprimer la longueur puis l’aire \(A(x)\) en fonction de \(x\).
  2. Quel est le domaine de définition de \(A\) ?
  3. Dresser un tableau de valeurs pour \(x \in \{1, 5, 10, 15, 20, 25, 29\}\).
  4. Conjecturer la valeur de \(x\) qui maximise \(A\). Calculer l’aire maximale.
1. Longueur : \(30 - x\). Aire : \(A(x) = x(30-x) = 30x - x^2\).
2. \(x > 0\) et \(30-x > 0\), donc \(x \in \left]0\,;\,30\right[\).
3.
\(x\)151015202529
\(A(x)\)2912520022520012529
4. Le maximum est atteint pour \(x = 15\). Aire maximale : \(A(15) = 15 \times 15 = \mathbf{225}\) m². Le jardin carré maximise l’aire (résultat isopérimétrique).
6

Bénéfice maximal. Intermédiaire

Une entreprise produit \(x\) unités par jour (avec \(0 \leq x \leq 100\)). Son bénéfice journalier est modélisé par : \(B(x) = -x^2 + 80x - 1200\) (en euros).

  1. Calculer \(B(0)\), \(B(20)\), \(B(40)\), \(B(60)\), \(B(80)\), \(B(100)\).
  2. Pour quelle valeur de \(x\) le bénéfice semble-t-il maximal ?
  3. Pour quelles valeurs de \(x\) l’entreprise est-elle bénéficiaire (\(B(x) > 0\)) ?
1. \(B(0)=-1200\) ; \(B(20)=-400+1600-1200=0\) ; \(B(40)=-1600+3200-1200=400\) ; \(B(60)=-3600+4800-1200=0\) ; \(B(80)=-6400+6400-1200=-1200\) ; \(B(100)=-1200\).
2. Maximum apparent en \(x=40\) : \(B(40)=400\) €. (Le vrai maximum est en \(x=40\), symétrie entre les racines 20 et 60.)
3. \(B(x)>0\) pour \(x\in]20\,;\,60[\) (d’après le tableau de valeurs : \(B(20)=B(60)=0\) et \(B(40)>0\)).
🔴 Groupe 4 — Construire un tableau de variations ▾
7

Tableau à partir de la définition. Intermédiaire

Dresser le tableau de variations de chaque fonction sur l’intervalle donné, en justifiant.

  1. \(f(x) = 3x + 1\) sur \([-2\,;\,5]\)
  2. \(g(x) = -2x + 7\) sur \([0\,;\,4]\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x}\) sur \([0\,;\,9]\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \([1\,;\,6]\)
1. \(f\) affine de pente \(3>0\) → croissante. \(f(-2)=-5\), \(f(5)=16\).
2. \(g\) affine de pente \(-2<0\) → décroissante. \(g(0)=7\), \(g(4)=-1\).
3. \(\sqrt{x}\) croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). \(h(0)=0\), \(h(9)=3\).
4. \(1/x\) décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). \(k(1)=1\), \(k(6)=1/6\).
🟡 Groupe 5 — Approfondissement ▾
8

La boîte en carton — exploration. Approfondissement

Reprendre le problème d’ouverture : \(V(x)=x(20-2x)(30-2x)\) pour \(x\in\left]0\,;\,10\right[\).

  1. Développer \(V(x)\) sous la forme \(ax^3 + bx^2 + cx\).
  2. Dresser un tableau de valeurs pour \(x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
  3. Encadrer le maximum entre deux entiers consécutifs.
  4. Affiner : tester \(x \in \{3{,}5\,;\,3{,}7\,;\,3{,}9\,;\,4{,}1\}\) et encadrer au dixième.
1. \(V(x)=x(600-100x-60x+4x^2)=x(600-160x+4x^2)=4x^3-160x^2+600x\).
2.
\(x\)123456789
\(V\)444832100810241000864644384126
3. Maximum entre \(x=3\) et \(x=5\), semble être atteint vers \(x=4\).
4. \(V(3{,}5)\approx1020\), \(V(3{,}7)\approx1026\), \(V(3{,}9)\approx1027\), \(V(4{,}1)\approx1025\).
Maximum encadré entre \(3{,}9\) et \(4{,}1\), proche de \(x\approx3{,}9\) cm.
9

Démontrer la croissance par la définition. Approfondissement

Soit \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\).

  1. En complétant le carré, écrire \(f(x)\) sous la forme \(a(x-h)^2 + k\).
  2. En déduire le minimum de \(f\) et la valeur en laquelle il est atteint.
  3. Démontrer par la définition que \(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\,2\right]\).
    (Prendre \(a < b \leq 2\) et montrer \(f(a) > f(b)\).)
1. \(f(x)=2(x^2-4x)+5=2(x^2-4x+4-4)+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3\).
2. \((x-2)^2\geq0\) donc \(f(x)\geq-3\), avec égalité en \(x=2\). Minimum : \(\mathbf{-3}\) atteint en \(x=2\).
3. Soient \(a|b-2|\geq0\), donc \((a-2)^2>(b-2)^2\).
En multipliant par \(2>0\) : \(2(a-2)^2>2(b-2)^2\), soit \(f(a)>f(b)\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,2]\). ✓
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