Un entretien imaginaire entre Descartes et Fermat
Paris, cellule du Père Mersenne, 1638
Monsieur Descartes, je vous sais gré de ce déplacement. Mersenne me dit que votre Géométrie est née, pour partie, de votre formation chez les Jésuites. La Flèche, c’est bien cela ?
Tout vient de là, en effet, et pourtant rien n’en vient directement. Je suis entré au Collège Royal Henri-le-Grand de La Flèche en 1607 — j’avais onze ans. Les Jésuites avaient fondé cet établissement en 1604, sur ordre exprès d’Henri IV. C’était une institution d’exception : cinq cents élèves, des maîtres venus de tout l’Empire, une bibliothèque que j’ai dévorée, un observatoire. On nous enseignait tout — les humanités, la rhétorique, la philosophie scolastique, les mathématiques, la physique d’Aristote.
Mais voilà le paradoxe : c’est précisément parce que leurs enseignements m’ont semblé si incertains que j’ai cherché quelque chose de plus solide. On me donnait des opinions, des commentaires sur Aristote, des traditions. Je voulais des preuves. Les seules certitudes que j’ai trouvées en huit ans de Jésuites, c’était les mathématiques. Deux fois deux font quatre — cela, on ne le discute pas en grec ni en latin. Cela est.
Vous avez eu de la chance. À Toulouse, où j’ai fait mon droit, on nous enseignait bien moins de mathématiques. Mon goût pour elles est venu par la lecture — Viète, surtout, dont j’ai absorbé la notation, et les Anciens : Apollonios, Euclide, Pappus. Ces textes grecs de géométrie des courbes m’ont obsédé. J’y lisais une promesse non tenue.
Une promesse non tenue — voilà qui est bien dit. Apollonios décrit les coniques avec une précision admirable, mais la connexion entre les formes et le calcul reste mystérieuse, presque magique. On voit les courbes, on ne les tient pas.
Racontez-moi comment vous avez eu l’idée. Le problème de Pappus — c’est cela qui vous a mis sur la voie ?
Exactement. Pappus d’Alexandrie, au IVe siècle, mentionne en passant un problème que les Anciens avaient partiellement résolu — trouver le lieu géométrique de tous les points satisfaisant certaines conditions de distances à des droites données. Les Anciens avaient résolu le cas de trois ou quatre droites. Pappus demandait : qu’en est-il de cinq, six droites ? Personne n’avait répondu en quinze siècles.
J’ai réalisé que la difficulté venait du langage. Les Grecs décrivaient les courbes comme des tracés, des chemins dessinés dans le sable. Moi, j’ai pensé : et si l’on nommait les distances ? Si l’on donnait des lettres aux quantités inconnues, comme al-Khwarizmi l’avait fait pour les équations, et qu’on construisait une relation entre elles ?
L’idée fondamentale est simple à énoncer, extraordinaire à conséquence : fixer une position de référence, choisir deux directions, et repérer tout point par ses deux distances à ces directions. Deux nombres suffisent à saisir n’importe quel point du plan.
La parabole d’équation y = x² dans le plan cartésien. Le point P(2, 4) vérifie bien 4 = 2² — la courbe est entièrement capturée par cette relation algébrique.
C’est précisément là que nos chemins se rejoignent, monsieur Descartes, et peut-être aussi qu’ils divergent. Dans mon Introduction aux lieux plans et solides — rédigée vers 1636, soit un an avant votre Géométrie — je pars du même principe. Mais moi, je pars des courbes pour aller vers les équations. Vous, vous partez des équations pour en déduire les courbes. Ce sont deux lectures du même texte, l’une à l’endroit, l’autre à l’envers.
Illustrons cela pour quelqu’un qui n’aurait jamais vu nos travaux. La puissance de notre méthode : on peut aller dans les deux sens. Sens 1 : je vous donne une courbe — le cercle, la plus parfaite des figures — et je vous dis : donnez-moi son équation.
Sens 2 : je vous donne une équation que vous n’avez jamais vue — y = 2x + 1 — et je vous dis : dessinez la courbe correspondante. Qu’obtenez-vous ?
Une droite, bien sûr. Une droite de pente 2 coupant l’axe vertical en 1. On peut le vérifier : pour x = 0, y = 1 ; pour x = 1, y = 3 ; pour x = −1, y = −1. Trois points alignés déterminent une droite — ou plutôt la confirment. Et le fait que le coefficient de x soit 2 nous dit que la droite monte de deux unités pour chaque unité qu’elle parcourt horizontalement.
Fermat, je dois vous rendre ce crédit — même si notre correspondance n’a pas toujours été des plus cordiales. Votre méthode des adégaux pour trouver les tangentes et les maxima : je n’ai pas trouvé mieux. Comment est-elle née ?
En lisant Kepler, curieusement. Kepler avait observé que la valeur d’une quantité qui atteint un maximum varie très peu autour de ce maximum — comme si la courbe y était presque plate. J’ai transformé cette observation en méthode.
Considérez la parabole y = x². Je veux trouver la tangente en un point quelconque — disons, en x = 2. Voici mon raisonnement : je prends le point x, et un point légèrement décalé x + e, où e est un petit accroissement. Au lieu de calculer la droite qui passe par ces deux points, j’égale leurs pentes — les adégo (du latin adaequo : j’égale presque) — puis je simplifie par e, puis je pose e = 0.
La méthode de Fermat : la droite sécante (bleue, pointillés) passant par P et P+e se rapproche de la tangente (rouge) quand e tend vers 0. C’est le germe de la dérivée.
Ce qui me semble le plus beau dans notre méthode commune, monsieur Descartes, c’est qu’elle rend enfin maniable tout l’héritage grec des coniques. Apollonios avait décrit l’ellipse, la parabole, l’hyperbole en huit livres denses et difficiles. Avec les coordonnées, leurs équations s’écrivent en quelques lignes.
Et voilà ce que je voulais depuis La Flèche : une méthode universelle. Les Jésuites m’avaient appris la diversité des savoirs — et j’avais compris que cette diversité était un désordre. La géométrie analytique n’est pas seulement un outil mathématique. C’est l’illustration de ma conviction philosophique profonde : toute chose complexe se décompose en parties simples, et des parties simples on peut toujours remonter au tout. Diviser pour clarifier. C’est la première règle de mon Discours de la méthode, dont La Géométrie n’est qu’une annexe.
Vous êtes un philosophe qui fait des mathématiques, monsieur Descartes. Je suis un mathématicien qui fait des mathématiques. Nos routes arrivent au même endroit, mais pour des raisons différentes. Je n’ai pas de méthode universelle à défendre — j’ai des problèmes à résoudre. Certains jours, je me demande si ce n’est pas plus honnête.
Si un étudiant nous lisait dans cent ans — ou dans quatre cents ans — que devrait-il comprendre de ce que nous avons fait ?
Que les nombres et les figures ne sont pas deux royaumes séparés. Que la distance est un nombre, que la position est une paire de nombres, que la courbe est une relation entre nombres. Ce qui semblait être une intuition visuelle — voilà une jolie ellipse — devient un objet de calcul — voilà l’équation x²/9 + y²/4 = 1. Et alors, tout ce qu’on sait faire avec les nombres s’applique aux figures. On peut calculer des aires, des tangentes, des normales, des distances, des angles. On peut même le faire sans dessiner.
Et que la réciproque est tout aussi vraie. Quand Newton cherchera à comprendre pourquoi les planètes restent en orbite, il aura besoin de différentier des fonctions — c’est-à-dire de prolonger ma méthode des adégaux. Quand les ingénieurs construiront des ponts, ils calculer les forces par des équations de courbes. Quand les peintres voudront simuler la perspective sur une toile, ils auront besoin de coordonnées. Ce que nous posons là, en cette cellule, est une clé.
| Époque | Qui | Ce qui est construit sur la géométrie analytique |
|---|---|---|
| 1666–1687 | Newton | Calcul infinitésimal et lois du mouvement : les trajectoires planétaires sont des équations de coniques. F = ma requiert de différentier position deux fois. |
| 1684–1686 | Leibniz | Notation dy/dx pour la dérivée, ∫ pour l’intégrale. Le calcul devient un outil universel. |
| XVIIIe s. | Euler, Lagrange | Équations différentielles : élasticité, acoustique, thermique. Toute la physique classique s’écrit en coordonnées. |
| XIXe s. | Gauss, Riemann | Géométries non euclidiennes : étendre les coordonnées aux surfaces courbes, ouvrant la voie à la relativité générale. |
| 1905–1916 | Einstein | La relativité : l’espace-temps lui-même est repéré par des coordonnées (x, y, z, t). Sans Descartes, pas d’Einstein. |
| XXe–XXIe s. | Informatique | Pixels = coordonnées entières. Rendu 3D = matrices de transformations de coordonnées. GPS = intersections d’équations sphériques. |
Il fait nuit, Fermat. Mersenne dort probablement déjà dans sa cellule. Nous ne nous reverrons peut-être pas — je retourne en Hollande la semaine prochaine, et vous à Toulouse et à vos dossiers juridiques.
Nous nous reverrons par lettres, comme d’habitude — avec Mersenne comme facteur et arbitre. Mais je veux vous dire une chose avant que vous partiez : notre désaccord sur les tangentes en 1638, la sécheresse de vos premiers mots sur mon travail — je l’ai mal pris. Et pourtant, la dispute a été féconde. C’est peut-être cela, aussi, la science : les esprits qui s’entrechoquent et dont les étincelles éclairent plus loin que ne l’aurait fait chacun seul.
Peut-être. Bonne nuit, monsieur Fermat.
Cet entretien est une fiction pédagogique.
Tous les faits historiques et résultats mathématiques sont authentiquement attestés.
René Descartes mourut à Stockholm en 1650, à cinquante-trois ans,
convoqué par la reine Christine de Suède pour lui enseigner la philosophie.
Pierre de Fermat mourut à Castres en 1665, à cinquante-sept ans,
conseiller au Parlement de Toulouse, ses œuvres inédites.
Le « Grand Théorème de Fermat » fut démontré en 1995 par Andrew Wiles.
La marge était trop étroite, en effet — quelque 358 ans après la note.
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Article pédagogique · Math@mine · Première Spécialité
Sources : Descartes, La Géométrie, 1637 · Fermat, Ad Locos Planos et Solidos Isagoge, ~1636