Ch9 – Géométrie repérée

Groupe 1 — Vecteurs, milieu et distance ▾

1

On donne \(A(2, -1)\), \(B(5, 3)\), \(C(-1, 2)\).
a. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
b. Calculer \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
c. Déterminer le milieu \(I\) de \([AB]\) et le milieu \(J\) de \([AC]\).

vecteursdistancemilieu

a. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-6\\-1\end{pmatrix}\)
b. \(AB = \sqrt{9+16} = 5\) · \(AC = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}\) · \(BC = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}\)
c. \(I = \left(\dfrac{7}{2}, 1\right)\) · \(J = \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)

2

Les points \(A(1, 2)\), \(B(4, 5)\) et \(C(7, 8)\) sont-ils alignés ? Justifier en utilisant le déterminant.

colinéaritéalignement

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}\).
Déterminant : \(3 \times 6 - 3 \times 6 = 18 - 18 = 0\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.

3

\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(A(1,0)\), \(B(4,1)\), \(C(5,4)\). Déterminer les coordonnées de \(D\).

parallélogrammevecteurs

\(ABCD\) parallélogramme \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\). Si \(D(x,y)\), alors \(\overrightarrow{DC} = \begin{pmatrix}5-x\\4-y\end{pmatrix}\).
Donc \(5-x = 3\) et \(4-y = 1\), soit \(D(2, 3)\).

Groupe 2 — Équations de droites ▾

4

Déterminer l’équation réduite de la droite passant par \(A(2, 1)\) et \(B(-1, 4)\). En déduire une équation cartésienne.

équation de droite

\(m = \dfrac{4-1}{-1-2} = \dfrac{3}{-3} = -1\).
\(y - 1 = -1(x - 2) \Rightarrow y = -x + 3\).
Cartésienne : \(x + y - 3 = 0\).

5

Soit \(d_1 : 2x - 3y + 6 = 0\) et \(d_2 : y = \dfrac{2}{3}x + 1\).
a. Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont-elles parallèles ?
b. Donner un vecteur directeur et un vecteur normal de \(d_1\).

parallèlesvecteur directeurvecteur normal

a. \(d_1 : y = \dfrac{2}{3}x + 2\) (pente \(\dfrac{2}{3}\)). \(d_2\) a aussi pente \(\dfrac{2}{3}\) mais ordonnée différente. Parallèles non confondues.
b. Vect. dir. : \(\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}\)) · Vect. normal : \(\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}\).

6

Déterminer l’équation de la droite passant par \(A(3, 1)\) et perpendiculaire à la droite \(d : y = 2x - 5\).

perpendiculairespente

La pente de \(d\) est 2. La droite perpendiculaire a pente \(m' = -\dfrac{1}{2}\).
Équation : \(y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{5}{2}\).

7

Résoudre le système pour trouver l’intersection des droites \(d_1 : x + 2y - 5 = 0\) et \(d_2 : 3x - y + 1 = 0\).

intersectionsystème

De \(d_1\) : \(x = 5 - 2y\). On substitue dans \(d_2\) : \(3(5-2y) - y + 1 = 0 \Rightarrow 15 - 6y - y + 1 = 0 \Rightarrow 16 = 7y \Rightarrow y = \dfrac{16}{7}\).
\(x = 5 - \dfrac{32}{7} = \dfrac{3}{7}\). Point d’intersection : \(\left(\dfrac{3}{7}, \dfrac{16}{7}\right)\).

Groupe 3 — Distance d’un point à une droite ▾

8

Calculer la distance du point \(A(1, -2)\) à la droite \(d : 4x + 3y - 5 = 0\).

distance point-droite

\(d(A, d) = \dfrac{|4(1) + 3(-2) - 5|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \dfrac{|4 - 6 - 5|}{\sqrt{25}} = \dfrac{|-7|}{5} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4\).

9

Soit le triangle \(ABC\) avec \(A(0,0)\), \(B(6,0)\), \(C(2,4)\).
Calculer la hauteur issue de \(C\) (distance de \(C\) à la droite \((AB)\)), puis en déduire l’aire du triangle.

distance point-droiteaire

La droite \((AB)\) est l’axe des abscisses : \(y = 0\), soit \(0x + 1y + 0 = 0\).
\(d(C, (AB)) = \dfrac{|0(2)+1(4)+0|}{\sqrt{0+1}} = 4\).
Aire \(= \dfrac{1}{2} \times AB \times h = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\).

10

Le point \(M(k, 1)\) est à distance 2 de la droite \(d : 3x - 4y + 1 = 0\). Trouver les valeurs de \(k\).

distance point-droiteparamètre

\(\dfrac{|3k - 4(1) + 1|}{\sqrt{9+16}} = 2 \Rightarrow \dfrac{|3k - 3|}{5} = 2 \Rightarrow |3k-3| = 10\).
\(3k - 3 = 10 \Rightarrow k = \dfrac{13}{3}\) ou \(3k - 3 = -10 \Rightarrow k = -\dfrac{7}{3}\).

Groupe 4 — Cercles dans le plan ▾

11

Donner le centre et le rayon du cercle d’équation \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 49\). Le point \(M(5, 3)\) appartient-il au cercle ?

cerclecentrerayon

Centre \(\Omega(-2, 3)\), rayon \(r = 7\).
\(\Omega M = \sqrt{(5-(-2))^2+(3-3)^2} = \sqrt{49} = 7 = r\). Donc \(M\) est sur le cercle.

12

Écrire l’équation du cercle de diamètre \([AB]\) avec \(A(1, -1)\) et \(B(5, 3)\).

cerclediamètre

Centre = milieu de \([AB]\) : \(\Omega = (3, 1)\).
Rayon = demi-longueur : \(r = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{16+16}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).
Équation : \((x-3)^2 + (y-1)^2 = 8\).

13

Étudier la position relative du cercle \(\mathcal{C} : (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\) et de la droite \(d : 3x - 4y + 7 = 0\).

position droite-cercledistance

Méthode 1 — Formule de la distance point-droite
Centre \(\Omega(1, 2)\), rayon \(r = 5\).
Distance de \(\Omega\) à \(d\) : \(d(\Omega, d) = \dfrac{|3(1)-4(2)+7|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|3-8+7|}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Comme \(0{,}4 < 5 = r\), la droite est sécante au cercle (coupe en 2 points).

Autre méthode 2 — Projection orthogonale

Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(\Omega(1,2)\) sur \(d\). Le vecteur normal de \(d: 3x-4y+7=0\) est \(\vec{n} = \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\).

On pose \(\overrightarrow{\Omega H} = k\,\vec{n}\), c'est-à-dire : \[\begin{pmatrix}x_H-1\\y_H-2\end{pmatrix} = k\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3k\\-4k\end{pmatrix}\] On identifie : \(x_H = 1+3k\) et \(y_H = 2-4k\), donc \(H(1+3k,\; 2-4k)\).

\(H\) est sur \(d\), donc : \[3(1+3k)-4(2-4k)+7=0 \;\Longrightarrow\; 3+9k-8+16k+7=0 \;\Longrightarrow\; 25k+2=0\] \[k = -\dfrac{2}{25}\] La distance \(\Omega H\) est : \[\Omega H = \left\|\overrightarrow{\Omega H}\right\| = |k|\cdot\|\vec{n}\| = \dfrac{2}{25}\times 5 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\] Comme \(\Omega H = \dfrac{2}{5} < 5 = r\), la droite est sécante au cercle.

Autre méthode 3 — Substitution (discriminant)

On isole \(y\) dans l'équation de \(d\) : \[3x-4y+7=0 \;\Longrightarrow\; y = \dfrac{3x+7}{4}\] On reporte dans l'équation de \(\mathcal{C}\) : \[(x-1)^2 + \left(\dfrac{3x+7}{4}-2\right)^2 = 25 \;\Longrightarrow\; (x-1)^2 + \left(\dfrac{3x-1}{4}\right)^2 = 25\] En multipliant par 16 : \[16(x-1)^2 + (3x-1)^2 = 400\] \[16x^2-32x+16 + 9x^2-6x+1 = 400\] \[25x^2 - 38x - 383 = 0\] Calcul du discriminant : \[\Delta = (-38)^2 - 4\times 25\times(-383) = 1444 + 38300 = 39\,744\] \(\Delta > 0\) donc l'équation du 2nd degré admet deux solutions réelles distinctes : la droite coupe le cercle en 2 points, elle est sécante.

Groupe 5 — Problèmes de synthèse ▾

14

On donne \(A(2, 1)\), \(B(6, 3)\), \(C(4, 7)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Déterminer l’équation du cercle circonscrit au triangle.

triangle rectanglecercle circonscrit

\(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\).
Produit scalaire : \((-4)(-2) + (-2)(4) = 8 - 8 = 0\). Donc \(\overrightarrow{BA} \perp \overrightarrow{BC}\) : triangle rectangle en \(B\).

Pour un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse \([AC]\).
Centre = milieu de \([AC]\) : \(\Omega = (3, 4)\).
\(r = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{\sqrt{4+36}}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \sqrt{10}\).
Équation : \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 10\).

15

Un GPS positionne une ville \(V\) en \((0, 0)\) et un hôpital \(H\) en \((3, 4)\) (unité : km). Une ambulance roule sur la route d’équation \(x + y - 6 = 0\).
a. Calculer la distance entre \(V\) et \(H\).
b. À quel point de la route l’ambulance est-elle la plus proche de la ville \(V\) ?
c. À quelle distance minimale de \(H\) la route passe-t-elle ?

application concrètedistance

a. \(VH = \sqrt{9+16} = 5\) km.
b. Le point le plus proche de \(V(0,0)\) sur la route \(x+y-6=0\) est le pied de la perpendiculaire de \(V\) sur la droite.
Droite perp. par \(V\) de direction \(\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) : \(y = x\).
Intersection : \(x + x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\). Point : \(P(3, 3)\).
c. \(d(H, \text{route}) = \dfrac{|3+4-6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71\) km.

Chapitre 9 – Géométrie repérée